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第1章《集合与函数概念》复习课件校内公开课


概念 集合 集合间的基本关系

集合的运算
函数 映射

函数的概念
函数的基本性质

映射的概念

条件 象、原象

? 集合知识点 ? 1.集合中的元素有三个特征:(1) 确定性 ; (2)互异性 ;(3) 无序性 .

? 2.集合表示方法: 列举法

描述法

自然语言法

? 3.元素与集合的关系:有 a ? A 和

a ? A两种.

? 4.空集 ?:不含任何元素,是任何集合的子集。
(区分 ?,

?0?, ???)

? 5.集合与集合的关系: (1)子集定义: A ? B 或 B

?A
?

(2)真子集定义:A ? B 或 B ?
?

(如果任意x∈A,那么x∈B);

A

(A?B,且B中至少有一元素不属于A) (规定:空集是任何一个非空集合的真子集)

? 6. 若 A ? B且B ? A , 则 A ? B

? 7.集合的运算涉及交、并、补集. ? (1)交集定义: A∩B={x|x∈A且x∈B}; ? (2)并集定义:A∪B={x|x∈A或x∈B} ; ? (3)补集定义:设U为全集,A?U,由U中不属于 A的元素组成的集合叫做集合A在U中的补集, 记?UA, ?UA={x|x∈U且x?A};

? 8.常见集合符号: 自然数集 N (包括0) 正整数集 N ?或 N ? (注意 ? 和 ? 位置 ) 整数集 Z 有理数集 Q (整数 ? 分数 ) 实数集 R C 复数集 ? 9.子集个数:2 n 真子集个数:2
n

?1

例1:下列对象能构成集合的是___

(1)较长的竹竿;(2)所有四边形;(3)方 程2x2+3x-1=0的根;(4)充分接近2的数

例2:填空

(1){a, b, c} __{c, a, b}
(3) 3 __ Q
(5) 2 ___ N+

(2)Φ __{ 1,2}
(4) 2 ___Z

例 3 : (1) 集合 A = {y|y = x} , B = {y|y = x2} , 则A∩B=________.
[解析](1)集合A是函数y=x的值域,∴A=R,集合 B 是函数 y = x2 的值域, ∴ B = {y|y≥0} , ∴ A∩B = {y|y≥0}.故填{y|y≥0}.
(2) 集合 A = {(x , y)|y = x} , B = {(x , y)|y = x2} ,则 A∩B=________.

[解析] (2)集合 A 是直线 y=x 上的点的集合,集合 B 是抛物线 y
=x 的图象上点的集合, ∴A∩B
2

? ?y=x 是方程组? 2 ? ?y=x

的解为坐标的点

的集合,∴A∩B={(0,0),(1,1)}.

(3)已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N= {y|y=x+1,x∈R},则M∩N等于( ) A.(0,1),(1,2) B.{(0,1),(1,2)} C.{y|y=1或y=2} D.{y|y≥1}
[ 规范解答] 正确理解描述法是解题的关键. M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1}, N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}, ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1}, ∴选D. 答案: D

? ; (4)设集合 A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x2},则 A∩B=______
解析:(4)集合A中的元素为数,即表示二次函数y=x2自变量的取 值集合;集合B中的元素为点,即表示抛物线y=x2上的点的集 合.这两个集合不可能有相同的元素,故A∩B=?.

(5)集合 A={(x, y)|x+y≤1, x∈N, y∈N}中元素的个数是( C ) A.1 C.3 B.2 D.4

解析:(5)集合A中的元素是点集, ∵x∈N,y∈N,x+y≤1, ∴满足条件的点为(0,0),(0,1),(1,0)共3个.即集合A中元素 的个数为3.

例4:已知全集U=[0,4) ,集合A={x | 1 < x < 2} 求CUA.

例 5 :全集 U = R ,若集合 A = {x|3≤x < 10} , B = {x|2<x≤7}

(1)求A∩B,A∪B,(?UA)∩(?UB).
(2)若集合C={x|x>a},A?C,求a的取值范围.
【解析】 (1)A∩B = {x|3≤x < 10}∩{x|2 < x≤7} =

{x|3≤x≤7};
A∪B={x|3≤x<10}∪{x|2<x≤7}={x|2<x<10}; (?UA)∩(?UB)={x|x≤2,或x≥10}. (2)A = {x|3≤x < 10} , C = {x|x > a} , 要使 A?C , 结合数轴分 析可知a≤3,即a的取值范围是{a|a≤3}.

? ? ? ? ?

例 6 :已知集合 A = {x|x2 - 3x - 10≤0} ,集合 B = {x|p + 【解】 由x2-3x-10≤0,得-2≤x≤5. 当B=?时,即p+1>2p-1,p<2,符合题意; 当B≠?时,即p+1≤2p-1,∴p≥2. 由B?A,得-2≤p+1,且2p-1≤5,即-3≤p≤3,

1≤x≤2p-1}.若B?A,求实数p的取值范围.

?
?

∴2≤p≤3.
综上,可知p≤3.

例7:已知集合A={x|x<-1或x≥1},B= {x|2a<x≤a+1,a<1},若B?A,求实数a的取值 范围.
解: ∵a<1,∴2a<a+1.∴B≠?. 在数轴上表示集合 A,B 如图所示.

由 B?A 知,a+1<-1 或 2a≥1, 1 1 即 a<-2 或 a≥2.又∵a<1,∴a<-2 或2≤a<1. 故所求 a
?1 ? 的取值范围是(-∞,-2)∪?2,1?. ? ?

例 8:已知 A={x|-2≤x≤5},B={x|k-1≤x≤2k+1}, 求使 A∩B=?的实数 k 的取值范围.
解析: 当 B=?,即 k-1>2k+1 时,k<-2;当 B≠?时, 由
? ?2k+1<-2, A∩B=?,得? ? ?k-1≤2k+1 ? ?k-1>5, 或? ? ?k-1≤2k+1.

3 解得-2≤k<-2或 k>6. 综上所述,k
? ? ? 3 ? ? 的取值范围为 k k<-2 ? ? ? ? ? 或k>6?. ? ?

1.映射的基本概念
1. 3 .设两个集合 A、B,按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的任

何一个元素在集合 B 中都有唯一确定的元素与它对应, 这样的对应关 系叫从集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B. A→B 若 f: ,则把元素 b 叫元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原 a→b 象,象集?B. 映射 f:A→B 的对应类型可以是一对一或多对一,但不能是一对 多型.

2.函数的基本概念 (1)函数的定义 一般地,设A,B是两 非空个数集,如果按照某种确定

的对应关系f,使对于集合A中的 任意 一个数x,在集合B中都
有 唯一 确定的数f(x)与之对应;那么就称:f:A→B为从集合A 到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数的 定义域 ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数 值的集合叫做函数的 值域 .

2.函数的基本概念
(3)函数的三要素是: 定义域 、值域 和对应关系.

(4)表示函数的常用方法有: 解析法 、 列表法 和图象法. (5)分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因 对应关系 不同而分别 用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ,其值域 等于各段函数的值域的 并集 ,分段函数虽由几个部分组成,但它 表示的是一个函数.

问:分段函数图像如何画?

3.函数定义域的求法

定义域: 使函数有意义的自变量x 的取值范围。
1、分母不为零;

2、偶数次的开方数大于或等于零; 3、零的零次方无意义。
4.函数值域的求法

5.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任 意两个自变量x1,x2

定义

当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2) , 那么就说函数f(x)在区间D上是增 函数

当x1<x2时,都有 f(x1) > f(x2) , 那么就说函数f(x)在区间D上是减函 数

图象 描述

自左向右看图象是 上升的

自左向右看图象是 下降的 .

5.函数的单调性
(2)单调区间的定义

若函数y=f(x)在区间D上是 增函数 或 减函数 ,则称函数y=f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区 间.
(3)函数单调性判断步骤: 任取 作差(商) 论证 结论

6.函数的最值
前提 条件 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (1)对于任意x∈I,都有 f(x)≤M ; (3)对于任意x∈I,都有 f(x)≥M (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M. (4)存在x0∈I,使得 f(x0)=M. ;

结论

M为最大值

M为最小值

7.函数的奇偶性

一、函数的奇偶性定义、判断
前提条件:定义域关于原点对称。 1、奇函数 2、偶函数 f (-x)= - f (x) 或 f (-x)+ f (x) = 0 f (-x)= f (x) 或 f (-x)- f (x) = 0
③下结论

①判断定义域是 ②判断 f ?? x ? 与 函数奇偶性判断步骤: 否关于原点对称 f ?x ? 的关系

二、奇函数、偶函数的图象特点
1、奇函数的图象关于原点成中心对称图形;

2、偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形。

8.奇(偶)函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数在关于 原点对称的区间上的单调性 相反 (填“相同”、“相反”).

(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是 奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数 . ②两个偶函数的和函数、积函数是 偶函数 . ③一个奇函数,一个偶函数的积函数是 奇函数 . (3)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)= 0 .

例 1:(1)(教材改编)如图:

以 x 为自变量的函数的图象为②④.( (2)函数 y=1 与 y=x0 是同一函数.(

) )

x +1,x≤1, ? ? 13 (3)(2013· 济南模拟改编)设函数 f(x)=?2 则 f(f(3))= .( 9 ,x>1, ? ?x

2

)

3 ? ?x2-x+4,x≥0, (4)(2014· 浙江部分重点中学调研改编 )函数 f(x)=? 若 ? ?2x+1,x<0 1 1 f(a)= ,则实数 a 的值为 或-2.( 2 2 )

(5)已知 f(x)=2x2+x-1,则 f(x+1)=2x2+5x+2.( (6)已知 f( x-1)=x,则 f(x)=(x+1)2.( )

)

1 [-1,2)∪(2,+∞) 例 2:(1)函数 f(x)= x+1+ 的定义域为________. 2-x ? 0 3? (x+1) (-∞,-1)∪?-1,2? ? (2)函数 y= 3-2x 的定义域是________.?

(3)函数 y = 1- x 2 + x 2 - 1 的定义域是 ____________

(4)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数

f(x+1)定义域是________.

[-1,1]

(5) 已知函数f(x+1)的定义域为[-2,3], 则f(x-2)的定义域是_________

例3:已知函数 f (x) = {

x + 1, x ≤1 x + 3, x > 1 -



5 )] f [f ( 2

例4

(1 )

求函数
y ?

f ( x) = 2x -3 + 4x -13

的值域

(2)函数

x ?3 的值域为________. x ?1

例5 证明:函数 是增函数

f ( x) = x 2 + 2x

在[-1,+∞)上

例 6:: (1)若 f(x+1)=2x2+1,则 f(x)=________. (2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0≤x≤1 时, f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0 时,f(x)=________.

解析 (1)令 t=x+1,则 x=t-1, 所以 f(t)=2(t-1)2+1=2t2-4t+3. 所以 f(x)=2x2-4x+3. (2)当-1≤x≤0 时,有 0≤x+1≤1,所以 f(1+x)=(1+x)[1-(1+x)] x?x+1? 1 =-x(1+x),又 f(x+1)=2f(x),所以 f(x)= f(1+x)=- . 2 2 x?x+1? 2 答案 (1)2x -4x+3 (2)- 2

例7 对于定义域为R的奇函数f(x),下 列结论成立的是( ) A.f(x)-f(-x)>0 C.f(x) · f(-x) ≤0 E.
f (x) = f ( x)

B. f(x)-f(-x) ≤0 D. f(x) · f(-x) >0 F. f(x)+f(-x) =0

-

-

1

例8 函数f(x)是定义在区间[-6,6]上 的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式一 定成立的是( A.f(0)<f(6) ) B.f(3)>f(2)

C.f(-1)<f(3)

D.f(2)>f(0)

例9:已知函数f(x)在区间[-5,5]上是偶函数,在区间[0,5] 上是单调函数,且f(3)<f(1),则( :A.f(-1)<f(-3) C.f(-1)<f(1)
【解析】

)

B.f(0)>f(-1) D.f(-3)<f(-5)

函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数,又3>1,且f(3)<f(1),故

此函数在区间[0,5]上是减函数. 由已知条件及偶函数性质,知函数f(x)在区间[-5,0]上是增函数.

?

选项A中,-3<-1,故f(-3)<f(-1);

选项B中,0>-1,故f(0)>f(-1),同理选项C中f(-1)=f(1);

?
?

选项D中f(-3)>f(-5).
【答案】 B

mx2+2 5 例 10:已知函数 f(x)= 是奇函数,且 f(2)=3. 3x+n (1)求实数 m 和 n 的值; (2)判断函数 f(x)在(-∞,0)上的单调性,并加以证明.
解: (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), mx2+2 mx2+2 mx2+2 ∴ =- = . -3x+n 3x+n -3x-n 5 比较得 n=-n,n=0.又 f(2)=3, 4m+2 5 ∴ 6 =3,解得 m=2. 即实数 m 和 n 的值分别是 2 和 0.

(2)函数 f(x)在(-∞,-1]上为增函数,在(-1,0)上为减函数. 证明如下: 2x2+2 2x 2 由(1)可知 f(x)= = + . 3x 3 3x
? x1x2-1 1 ? 2 2 则 f(x1)-f(x2)= (x1-x2)?1-x x ?= (x1-x2)· . 3 3 x1x2 ? 1 2?

设任意的 x1<x2<0,

当 x1<x2≤-1 时,

x1-x2<0,x1x2>0,x1x2-1>0,

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴函数 f(x)在(-∞,-1]上为增函数; 当-1<x1<x2<0 时, x1-x2<0,x1x2>0,x1x2-1<0,

∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), ∴函数 f(x)在(-1,0)上为减函数.

例11:已知函数f(x)=|-x2+2x+3|.

(1)画出函数图象并写出函数的单调区间;
(2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等 的实根}.

?

【思路点拨】

(1) 先去掉绝对值号化为分段函数的形

式,再画出其图象,然后利用图象判断在哪些区间上是上升 的,在哪些区间上是下降的,进而写出单调区间. ? ? ? (2) 转化为求使 y = f(x) 与 y = m 的图象有四个不同交点的 【规范解答】 (1) 当- x2 + 2x + 3≥0 时,得- 1≤x≤3 , 实数m的集合. 函数y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 当-x2+2x+3<0时,得x<-1或x>3,函数y=x2-2x -3=(x-1)2-4,



2 ? ?-(x-1) +4(-1≤x≤3), y=? 的图象如下 2 ? ?(x-1) -4(x<-1或x>3)

图所示,单调增区间为[-1,1]和[3,+∞),单调减区间 为(-∞,-1)和(1,3).

? (2)由题意可知,函数y=f(x)与y=m的图 象有四个不同的交点,则0<m<4. ? 故集合M={m|0<m<4}.

例12 函数f(x)和g(x)均为奇函数,
h(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有

最大值5,那么h(x)在(-∞,0)的最小值
为( )

A.-5

B.-1

C.-3

D.以上都不对

例 13 :函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)
? 1? 时是增函数,若 f(1)=0,求不等式 f?x-2?<0 的解集. ? ?

?

【思路点拨】

本题主要考查函数单调

性的逆向应用.解题的关键是去掉 “ f” ,转 化为关于x的不等式问题.

解:

∵f(x) 是奇函数,且 f(1) = 0, f(x) 在(0,+ ∞ ) 上单调递

增,∴f(-1)=-f(1)=0,且f(x)在(-∞,0)上单调递增. ? 1? ∴不等式 f?x-2?<0 可化为: ? ? 1 ? 1 ? x- <0, ? x - > 0 , 2 ? 2 或? ? . ?? ? 1 ? ? 1 ? <f(-1), ?f?x- ?<f(1), ?f?x-2? ? 2? ?? 1 1 即 0<x- <1,或 x- <-1, 2 2

1 3 1 解得 <x< ,或 x<- . 2 2 2
? ? 1 1 3? 所以原不等式的解集是?x?x<-2,或2<x<2?. ? ? ?

? 1.已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1} ,则(?RA)∩B=( ) ? A.{-2,-1} B.{-2} ? C.{-1,0,1} D.{0,1} ? 解析: 解不等式求出集合A,进而得?RA, 再由集合交集的定义求解. ? 因为集合A={x|x>-1},所以?RA={x|x≤-1} , ? 则(?RA)∩B={x|x≤-1}∩{-2,-1,0,1}={- 2,-1}. ? 答案: A

2.设函数f(x)= ( ) A.-4或-2 C.-2或4

? ?-x,x≤0, ? 2 ? ?x ,x>0,

若f(α)=4,则实数α=

B.-4或2 D.-2或2

解析: 当α≤0时,f(α)=-α=4, 得α=-4; 当α>0时,f(α)=α2=4,得α=2. ∴α=-4或2.
答案: B

3.已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定 义域为( )
? 1? ? B.?-1,-2? ? ? ? ?1 ? ? D.?2,1? ? ? ?

A.(-1,1) C.(-1,0)

解析: 已知函数f(x)的定义域为[ a,b] ,求函数f(g(x))的 定义域,是求满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值集合. 要使函数有意义,需满足-1<2x+1<0,解得-1<x<-
? 1? 1 ? ,即所求函数的定义域为?-1,-2? ?. 2 ? ? 答案: B

4.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递 减的是( ) B.y=x+2 D.y=|x|

1 A.y= x C.y=-x2+1
解析:

利用偶函数的定义及函数单调性的判断方法求解.

1 A 项,y=x 是奇函数,故不正确; B 项,y=x+2 为非奇非偶函数,故不正确; C,D 两项中的两个函数都是偶函数,且 y=-x2+1 在(0,+∞) 上是减函数,y=|x|在(0,+∞)上是增函数,故选 C.

答案: C

5.给出下列四个函数:①y=x+1;②y=2x+1;③y=x2 -1;④y= 3 x .这四个函数中其定义域和值域完全相同的是

________.(填序号)
解析: ①中函数y=x+1的定义域和值域为R; ②中函数y=2x+1的定义域和值域为R; ③中函数y=x2-1的定义域为R,值域为[-1,+∞); 3 ④中函数y= 的定义域和值域为(-∞,0)∪(0,+∞). x
答案: ①②

6.设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A? B,则实数a的取 值范围是________.
解析: 如图所示,

∴a≥2.
答案: [2,+∞)

7.已知A={x}2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若 A∩B=?,求a的取值范围.
解析: 若A=?,则2a>a+3,∴a>3,此时符合题意; ?2a≤a+3, ? 若A≠?,则 ?2a≥-1, ?a+3≤5, ?
? ? ? ? 1 ? 意.故a的取值范围是 a?-2 ? ? ?

1 ∴- ≤a≤2,此时亦符合题 2

? ? ≤a≤2或a>3?. ? ?

m 8.已知函数 f(x)=x+ x ,且 f(1)=2. (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)判断函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用定义证明你 的结论.
解析: 1 由 f(1)=2 得 1+m=2,所以 m=1,所以 f(x)=x+ x.

1 (1)f(x)=x+x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
? 1? 1 f(-x)=-x+ =-?x+ x ?=-f(x), 所以 f(x)为奇函数. ? ? -x

1 (2)f(x)=x+ 在(1,+∞)上是增函数. x 证明:设任意的x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则 x1-x2 x1x2-1 f(x1)-f(x2)=(x1-x2)- =(x1-x2) , x1x2 x1x2 因为1<x1<x2, 所以x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在(1,+∞)上是增函数.



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