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第1章1.3.1第1课时同步训练及详解


高中数学必修一同步训练及解析

1.函数 y=-x2 的单调减区间是( ) A.[0,+∞) B.(-∞,0] C.(-∞,0) D.(-∞,+∞) 解析:选 A.根据 y=-x2 的图象可得. 2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( A.y=|x| B.y=3-x 1 C.y= x D.y=-x2+4

)

>1 解析:选 A.∵-1<0,所以一次函数 y=-x+3 在 R 上递减;反比例函数 y= 在(0,+∞) x 上递减;二次函数 y=-x2+4 在(0,+∞)上递减.故选 A. 3.如图所示为函数 y=f(x),x∈[-4,7]的图象,则函数 f(x)的单调递增区间是________.

答案:[-1.5,3],[5,6] x 4.证明:函数 y= 在(-1,+∞)上是增函数. x+1 证明:设 x1>x2>-1, x1-x2 x1 x2 则 y1-y2= - = , x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1? ∵x1>x2>-1,∴x1-x2>0,x1+1>0,x2+1>0, x1-x2 ∴ >0.即 y1-y2>0,y1>y2, ?x1+1??x2+1? x ∴y= 在(-1,+∞)上是增函数. x+1 [A 级 基础达标] 1.下列说法中正确的有( ) ①若 x1,x2∈I,当 x1<x2 时,f(x1)<f(x2),则 y=f(x)在 I 上是增函数; ②函数 y=x2 在 R 上是增函数; 1 ③函数 y=- 在定义域上是增函数; x 1 ④y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). x A.0 个
1

B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析:选 A.函数的单调性的定义是指定义在区间 I 上任意两个值 x1,x2,强调的是任意,从 而①不对;②y=x2 在 x≥0 时是增函数,x<0 时是减函数,从而 y=x2 在整个定义域上不具 1 1 有单调性;③y=- 在整个定义域内不是单调递增函数.如-3<5,而 f(-3)>f(5);④y= 的 x x 单调递减区间不是(-∞,0)∪(0,+∞),而是(-∞,0)和(0,+∞),注意写法. 2.函数 y=x2-3x+2 的单调减区间是( ) A.[0,+∞) B.[1,+∞) C.[1,2] 3 D.(-∞, ] 2 3 解析:选 D.由二次函数 y=x2-3x+2 图象的对称轴为 x= 且开口向上,所以单调减区间为 2 3 (-∞, ],故选 D. 2 3.函数 y=f(x)在 R 上为增函数,且 f(2m)>f(-m+9),则实数 m 的取值范围是( ) A.(-∞,-3) B.(0,+∞) C.(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) 解析:选 C.因为函数 y=f(x)在 R 上为增函数,且 f(2m)>f(-m+9),所以 2m>-m+9,即 m>3,故选 C. 4.函数 f(x)=|x-3|的单调递增区间是________,单调递减区间是________. 解析:

?x-3,x≥3, ? f(x)=? ?-x+3,x<3. ? 其图象如图所示,则 f(x)的单调递增区间是[3,+∞),单调递减区间是(-∞,3]. 答案:[3,+∞) (-∞,3] ax+1 5.若函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围为________. x+2 解析:设任意的 x1,x2∈(-2,+∞),且 x1<x2, ax1+1 ax2+1 f(x1)-f(x2)= - x1+2 x2+2 ?x1-x2??2a-1? = . ?x1+2??x2+2? ∵f(x)在(-2,+∞)上单调递增, ∴f(x1)-f(x2)<0. ?x1-x2??2a-1? ∴ <0, ?x1+2??x2+2? ∵x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0, 1 ∴2a-1>0,∴a> . 2

2

1 答案:( ,+∞) 2 6.作出函数 y=x|x|+1 的图象并写出其单调区间. 解:

2 ? ?x +1,x≥0, 由题可知 y=? 2 作出函数的图象如图所示,所以原函数的单调增区间为 (- ?-x +1,x<0, ?

∞,+∞). [B 级 能力提升] 7. 对于函数 y=f(x), 在给定区间上有两个数 x1, x2, 且 x1<x2, 使 f(x1)<f(x2)成立, 则 y=f(x)( ) A.一定是增函数 B.一定是减函数 C.可能是常数函数 D.单调性不能确定 解析:选 D.由单调性定义可知,不能用特殊值代替一般值. 8.若函数 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则( ) A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a) C.f(a2-1)<f(a) D.f(a2+1)<f(a) 1 3 解析:选 D.∵a2+1-a=(a- )2+ >0, 2 4 ∴a2+1>a. ∴f(a2+1)<f(a).故选 D. 1 9. 已知函数 f(x)为区间[-1,1]上的增函数, 则满足 f(x)<f( )的实数 x 的取值范围为________. 2 -1≤x≤1, ? ? 1 解析:由题设得? 1 即-1≤x< . 2 ?x<2, ? 1 答案:-1≤x< 2 10.作出函数 f(x)=|2x-1|的图象并写出其单调区间. 解:

1 1 当 x> 时,f(x)=2x-1,当 x≤ 时,f(x)=-2x+1, 2 2 1 2x-1,x> , 2 所以 f(x)= 1 -2x+1,x≤ , 2

? ? ?

3

1 1 画出函数的图象如图所示,所以原函数的单调增区间为[ ,+∞),减区间为(-∞, ]. 2 2 11.若 f(x)=x2+bx+c,且 f(1)=0,f(3)=0. (1)求 b 与 c 的值; (2)试证明函数 f(x)在区间(2,+∞)上是增函数. 解:(1)∵f(1)=0,f(3)=0, ? ?1+b+c=0 ∴? ,解得 b=-4,c=3. ?9+3b+c=0 ? (2)证明:∵f(x)=x2-4x+3, ∴设 x1,x2∈(2,+∞)且 x1<x2, 2 f(x1)-f(x2)=(x2 1-4x1+3)-(x2-4x2+3) 2 =(x1 -x2 2)-4(x1-x2) =(x1-x2)(x1+x2-4), ∵x1-x2<0,x1>2,x2>2, ∴x1+x2-4>0. ∴f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)在区间(2,+∞)上为增函数.

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