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2013年上海市浦东区高考一模数学(文)试题及答案


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浦东新区 2012 学年度第一学期期末质量抽测 高三数学试卷(文科)
注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、 填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若集合 A ? ?0, m? , B ? ?1,2? , A ? B ? ?1 ? ,则实数 m ? 2.已知二元一次方程组 ?

?a1 x ? b1 y ? c1 ?1 ? 1 1 ? 的增广矩阵是 ? ?1 1 3 ? ? ,则此方程组的解是____ ? ? ?a2 x ? b2 y ? c2

3.函数 y ? log2 ( x ? 2) 的定义域 4.已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 5.函数 y ? 1 ? x ( x ? 0 )的反函数是 6.函数 f ( x) ? 2sin ?

?? ? ?? ? ? x ? cos ? ? x ? 的最小正周期为 ?4 ? ?4 ?

7.等差数列 ?an ? 中, a6 ? a7 ? a8 ? 12 ,则该数列的前 13 项的和 S13 ? 8.已知数列 {an } 是无穷等比数列,其前 n 项和是 Sn ,若 a2 ? a3 ? 2 , a3 ? a4 ? 1 ,则 lim Sn
n??

的值为

?2 x ? y ? 0 ? 9.已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 5 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最小 ?y ?1 ?
于 10.若一个圆锥的轴截面是边长为 4 的等边三角形,则这个圆锥的侧 为
1 ? 的展开式前三项系数成等差数列,则 11.二项式 ? n? ?x? ? 2 x? ?
n

值 等

主视图

面 积
左视图

12.如图所示,一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为 13.非零向量 OA 与 OB ,对于任意的 t ? R, OA ? tOB 的 最小值的几何意义为 。
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俯视图

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

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14. 1, 2,3, 4,5 共有 5! 种排列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,其中满足“对所有 k ? 1, 2,3, 4,5 都有 ak ? k ? 2 ”的不同排列有 种 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15 . 已 知 △ ABC 两 内 角 A 、 B 的 对 边 边 长 分 别 为 a 、 b , 则 “ A ? B ” 是 “ a cos A ? b cos B ( ) ”的

( A) 充分非必要条件 ( B ) 必要非充分条件
16.已知函数 f ( x ) ?
x

(C ) 充要条件

( D) 非充分非必要条件

( A) ?

1 2

1 1 ,若函数 y ? f ( x ? ) ? n 为奇函数,则实数 n 为( ) 2 4 ?2 1 1 (B) ? (C ) ( D) 0 4 4


17.若 x1 , x2 , x3 ,…, x2013 的方差为 3 ,则 3 x1 , 3 x2 , , 3 x3 ,…, 3 x2013 的方差为(

( A) 3

(B) 9

(C ) 18

( D) 27

18.定义域为 ? a, b? 的函数 y ? f ( x) 图象的两个端点为 A, B ,向量 ON ? ?OA ? (1 ? ? )OB , M ( x, y ) 是 f ( x ) 图象上任意一点,其中 x ? ?a ? (1 ? ? )b, ? ?? 0,1? 。若不等式 MN ? k 恒成立,则称函数 f ( x ) 在 ? a, b? 上满 足“ k 范围线性近似”,其中最小的正实数 k 称为该函数的线性近似阀值.下列定义在 ?1, 2? 上函数中,线性近似 阀值最小的是( )

????

??? ?

??? ?

( A) y ? x 2

(B) y ?

2 x

(C ) y ? sin

?
3

x

( D) y ? x ?

1 x

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本小题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ? AA 1 ? 2 , ?ABC ? 45 (1)求直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积; (2)若 D 是 AC 的中点,求异面直线 BD 与 AC 1 所成的角。
B1
?

A1

c1

A

D C

B

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20. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知复数 z1 ? 2sin ? ? 3i, z2 ? 1 ? (2cos ? )i, ? ? ?0, ? ? (1)若 z1 ? z2 ? R ,求角 ? ;

(2)复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OZ1, OZ2 ,其中 O 为坐标原点,求 OZ1 ? OZ2 的取值范围。

???? ? ???? ?

???? ? ???? ?

21. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建一个 占地面积为 S 的矩形 AMPN 健身场地,如图点 M 在 AC 上,点 N 在 AB 上,且 P 点在斜边 BC 上,已知

?ACB ? 60? 且 | AC |? 30 米, AM =x , x ? [10,20] 。
(1)试用 x 表示 S ,并求 S 的取值范围; ( 2 ) 设 矩 形 AMPN 健 身 场 地 每 平 方 米 的 造 价 为
B

37k ,再把矩形 S
N P

AMPN 以 外

(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为

12k ( k 为正常数) ,求总造 S

价 T 关于 S 的

函数 T ? f (S ) ;试问如何选取 | AM | 的长使总造价 T 最低。 (不要求求
A M C

出最低造价)

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22. (本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 定义数列 {xn } , 如果存在常数 p , 使对任意正整数 n , 总有 ( xn?1 ? p)( xn ? p) ? 0 成立, 那么我们称数列 {xn } 为 “ p ? 摆动数列” .
? (1)设 an ? 2n ? 1, bn ? ( ? ) , n ? N ,判断 {an } 、 {bn } 是否为“ p ? 摆动数列” ,并说明理由;
n

1 2

(2)设数列 {cn } 为“ p ? 摆动数列” , c1 ? p ,求证:对任意正整数 m, n ? N * ,总有 c2n ? c2m ?1 成立。 (3)设数列 { d n } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? (?1)n ? n ,试问:数列 { d n } 是否为“ p ? 摆动数列” ,若是,求出 p 的取值范围;若不是,说明理由。

23. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分)

(1)求函数 y ? T ( x ) 和 y ? ?T ( x)? 的解析式,并指出它们的单调递增区间
2

1 ? 2 x , 0 ? x ? ? ? 2 设函数 T ( x) ? ? 1 ?2(1 ? x), ? x ? 1 ? ? 2

2

(2)是否存在非负实数 a ,使得 T ( x)+a ? T ( x ? a) 恒成立,若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由.
2
? (3)定义 Tn?1 ( x) ? Tn (T ( x)) ,且 T1 ( x) ? T ( x) , n ? N

?

?

① 当 x ? ? 0,

? ?

1 ? 时,求 y ? T4 ( x) 的解析式. 16 ? ?

已知下面正确的命题:

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i ? i ?1 i ? 1 ? 时 ( i ? N ?, , 1 ? i ? 15) ,都有 T3 ( x) ? T3 ( ? x) 恒成立. ? 8 ? 16 16 ? ② 若方程 T3 ( x) ? kx 恰有 15 个不同的实数根,确定 k 的取值;并求这 15 个不同的实数根根的和.
当 x??

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上海市浦东区 2013 届高三一模数学试题(文科) 参考答案
一、填空题 1、1 2、 ?

?x ? 2 ? y ?1

3、 [3,??) 4、

1 16

5、 y ? ( x ?1)2 ( x ? 1 ) 6、 ? 7、 52 8、 16
3

9、 ? 1 10、 8? 11、 8 12、 2? ?

2 3 3

13、点 A 到直线 OB 的距离 14、54 二、选择题 15、A 16、B 17、D
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18、D 三、解答题 19、解: (1) V ?

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1 ?2?2?2 ? 4 2

(2)设 M 是 AA1 的中点,连结 DM , BM

??BDM 是异面直线 BD 与 AC ? DM // AC 1 , 1 所成的角。
在 ?BDM 中, BD ? BM ? 5, MD ? 2

? 5? ? ? 2? ?? 5? cos ?BDM ?
2 2

2

2? 2 ? 5

?

10 10

即 ?BDM ? arccos

10 10 10 。 10

? 异面直线 BD 与 AC 1 所成的角为 arccos

20、 (1) z1 ? z 2 ? (2 sin ? ? 3i)? 1 ? (2 cos? )i? = (2 sin ? ? 2 3 cos? ) ? (2 sin 2? ? 3)i ? R

? sin 2? ?

3 2

又 ? 0 ? 2? ? 2? ,? 2? ?

?

2 ? ? 或 ? , ?? ? 或 3 3 6 3

(2) OZ1 ? (2 sin ?, ? 3), OZ2 ? ( 1,2 cos? )

OZ1 ? OZ2 ? 2 s i n ? ?2 3c o? s
? 4 sin(? ? ??

?
3

)

?
3

?? ?

?
3

?

2? ? ,? ?2 3 ? 4 sin(? ? ) ? 4 3 3

?OZ1 ? OZ2 ? ? 2 3,4

?

?

21、解: (1)在 Rt ?PMC 中,显然 | MC |? 30 ? x , ?PCM ? 60

?

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所以 | PM |?| MC | ? tan?PCM ? 3(30 ? x) -----2 分 矩形 AMPN 的面积 S ?| PM | ? | MC |? 3x(30 ? x) , x ?[10, 20] ------4 分 于是 200 3 ? S ? 225 3 为所求--------6 分 (2) 矩形 AMPN 健身场地造价 T1 ? 37k S --------------7 又 ?ABC 的面积为 450 3 , 即草坪造价 T2 ?

12k (450 3 ? S ) , S

--------8 分

由总造价 T ? T1 ? T2 所以 T ? 25k ( S ?

216 3 ) , 200 3 ? S ? 225 3 -------------10 分 S
-------------11 分

? S?

216 3 ? 12 6 3 S

当且仅当 S ?

216 3 即 S ? 216 3 时等号成立---------12 分 S

此时 3x(30 ? x) ? 216 3 ,解得 x ? 12 或 x ? 18 , 所以选取 | AM | 的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低。---------------14 分 22、 (1)解:假设数列 {an } 是“ p ? 摆动数列” , 即存在常数 p ,总有 2n ? 1 ? p ? 2n ? 1 对任意 n 成立, 不妨取 n ? 1 时则 1 ? p ? 3 ,取 n ? 2 时则 3 ? p ? 5 ,显然常数 p 不存在, 所以数列 {an } 不是“ p ? 摆动数列” ;???????? 2 分 而数列 {bn } 是“ p ? 摆动数列” , p?0。

1 n 1 2 n ?1 ? 0 对任意 n 成立, 2 2 所以数列 {bn } 是“ p ? 摆动数列” 。?????????? 4 分 (2)证明:由数列 {cn } 为“ p ? 摆动数列” , c1 ? p ,
由 bn ? ( ? ) ,于是 bnbn ?1 ? (? ) 即存在常数 p ,使对任意正整数 n ,总有 (cn ?1 ? p)(cn ? p) ? 0 成立 即有 (cn ? 2 ? p)(cn ?1 ? p) ? 0 成立 则 (cn ? 2 ? p)(cn ? p) ? 0 ,?????????? 6 分
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所以 c1 ? p ?? c3 ? p ? ? ? c2m?1 ? p ?????????? 7 分 同理 (c2 ? p)(c1 ? p) ? 0 ? c2 ? p ? c4 ? p ? ? ? c2n ? p ?????????? 8 分 所以 c2 n ? p ? c2 m ?1 ?????????? 9 分 因此对任意的 m, n ? N * ,都有 c2n ? c2m ?1 成立。?????????? 10 分 (3)解:当 n ? 1 时, d1 ? ?1 当 n ? 2, n ? N ? 时, dn ? Sn ? Sn ?1 ? (?1)n (2n ? 1) 综上, dn ? (?1)n (2n ? 1) ?????????? 12 分 即存在 p ? 0 ,使对任意正整数 n ,总有 d n d n?1 ? (?1) 2n?1 (2n ? 1)(2n ? 1) ? 0 成立, 所以数列 {d n } 是“ p ? 摆动数列 ”; ?????????? 14 分 当 n 为奇数时 dn ? ?2n ? 1 递减,所以 dn ? d1 ? ?1 ,只要 p ? ?1即可 当 n 为偶数时 dn ? 2n ? 1递增, dn ? d2 ? 3 ,只要 p ? 3 即可???????? 15 分 综上 ? 1 ? p ? 3 , 所以数列 { d n } 是“ p ? 摆动数列” , p 的取值范围是 (?1,3) 。? 16 分

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? 2 2 0? x? ?2 x ? ? 2? 2 23、 (1)解: 函数 y ? T ( x 2 ) ? ? 单调递增区间 ? 0, ? 2 ? 2 ? ?2(1 ? x 2 ) ? x ?1 ? ? 2 1 ? 2 4 x 0 ? x ? ? ?1 ? 2 2 函数 y ? ?T ( x) ? ? ? 单调递增区间 ? ,1? 1 ?2 ? ?4(1 ? x) 2 ? x ?1 2 ? 1 ? 1 ? 2x ? a2 , 0? x? 2 x ? 2a, 0? x?a? ? ? ? 2 ? 2 2 (2)解: T ( x ) ? a ? ? , T ( x ? a) ? ? ?2(1 ? x) ? a 2 , 1 ? x ? 1 ?2(1 ? x ? a), 1 ? x ? a ? 1 ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 则必须 a ? 2a , a ? ?2a ,即 a ? 0 此时 T ( x) ? a ? T ( x ? a) ? T ( x) 恒成立 ? 1 ? (3)解:① 当 x ? ? 0, 时,对于任意的正整数 j ? N ?, 1 ? j ? 3, ? 16 ? ? 1 j 都有 0 ? 2 x ? ,故有 y ? T4 ( x) ? T3 (2x) ? T2 (22 x) ? T1 (23 x) ? 16x 2 ? 1 ? ② 由①可知 x ? ? 0, 时有 T4 ( x) ? 16x ,根据命题的结论可得 ? 16 ? ?
当 x??

? 1 2 ? ? 0 2 ? , ? , ? 16 16 ? ? ? ? 16 16 ? ?
1 8 1 8

时,

1 ? 0 1 ? ? 0 2 ? ? x?? , ? ? ? , ? 8 ? 16 16 ? ? 16 16 ?

故有 T4 ( x) ? T4 ( ? x)=16( ? x) ? ?16x ? 2 因此同理归纳得到,当 x ? ?

? i i ?1 ? , ( i ? N, 0 ? i ? 15) 时, ? 16 16 ? ?
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? 2i ? 1? ? (?1)i ? i i ?1 ? x ? x?? , 时, 解方程 得, T ( x ) ? kx 4 32 ? (?1)i 2k ? 16 16 ? ? 要使方程 T4 ( x) ? kx 在 x ?? 0,1 ? 上恰有 15 个不同的实数根,
32 ? (?1) 2k 16 ? (?1) 2k n ? 2n ?1? ? (?1) ( n ? N, 1 ? n ? 15) 方程的根 xn ? 32 ? (?1)n 2k 这 15 个不同的实数根根的和. S ? x1 ? x2 ? ? ? x14 ? x15 0+2+4+6+8+10+12+14 2+4+6+8+10+12+14 225 ? + ? 16 16 32 161615 15
14 15

?24 x ? i, i 是偶数 1 1 ? T4 ( x) ? (?1)i (2 4 x ? i ? ) ? = ? 4 2 2 ? ?-2 x ? i ? 1,i 是奇数

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则必须

? 2 ?14 ? 1? ? (?1)14 ? ? 2 ?15 ? 1? ? (?1)15

解得 k ?

16 15

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