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广东省中山市中山纪念中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题


中山纪念中学高一数学期末综合测试题
一、选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (A)1 2 2. 向量 (A) ∥ (C) 与 的夹角为 60° (B)3 2 , (C)-1 2 ,则 (B) ⊥ (D) 与 的夹角为 30° ) (D)-3 2 ( ) ( )

3. 若 =(2,1), =(3,4),则向量 在向量 方

向上的投影 ( (A) (B)2 (C) (D)10

4. 下面四个函数中,既是区间 函数的是 (A) 5. 函数 (A) 6. 计算: (A) (B) (B) (B)

上的增函数,又是以 为周期的偶 ( (C) (D) ( (D) ( (C) (D) ) ) )

的最小正周期是 (C)

7. 函数 (A) (B)

的一个单调递增区间是 (C) (D)

(

)

8. 下列程序的功能是

(

)

(A)求 1×2×3×4×…×10 000 的值 (B)求 2×4×6×8×…×10 000 的值 (C)求 3×5×7×9×…×10 000 的值 (D)求满足 1×3×5×…×n>10 000 的最小正整数 n 9. 用秦九韶算法计算 时,当 (A)0 10. 已知集合 时, 的值为 (B)80 (C)-80 (D)-32 的横坐标 ( ) ( 的值 )

, 从中任取两个元素分别作为点 内的概率是 (D) 一个周期的图象,则 的值等于

与纵坐标,则点 恰好落入圆 (A) 11. 如图是函数 (B) (C)

(

)

(A) 12. 已知点 坐标是

(B)2

2

(C)2+

(D)2 取最小值时,点 的 ( )

,点 在 轴上,当

(A)(2,0)

(B)(4,0)

10 (C), 0 (D)(3,0)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 整数 459 与 357 的最大公约数是________. 14. 为了解某地高一年级男生的身高情况,从其中的一个学校选取容量 为 60 的样本(60 名男生的身高,单位:cm),分组情况如下: 分组 频数 频率 则表中的 a=________. 15. 在大小相同的 5 个球中,2 个是红球,3 个是白球,若从中任取 2 个,则所取的 2 个球中至少有一个红球的概率是 16. 若对 个向量 得 依此规定,能说明向量 的实数 依次可以取 存在 个不全为零的实数 成立,则称向量
,使

151.5~158.5 158.5~165.5 165.5~172.5 172.5~179.5

6

21 a 0.1

为“线性相关” , “线性相关”

.(只写出一组数值即可)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (本小题满分
12 分)为了调查甲、乙两个交通站的车流量,随机选取

了 14 天,统计每天上午 8:00—12:00 间各自的车 流量(单位:百辆) ,得如下所示的统计图, (1)甲、乙两个交通站的车流量的极差分别是多少? (2)甲交通站的车流量在间的频率是多少? (3)甲、乙两个交通站哪个站更繁忙?并说明理由. 18. (本小题满分 12 分)已知向量 (1)求 和 , . .

; (2)当 为何值时,

19. (本小题满分 12 分)已知函数 (Ⅰ)求 的周期和振幅;

(Ⅱ)在给出的方格纸上用五点作图法 作出 在一个周期内的图象; 的单调递减区间。 6

(Ⅲ)写出函数 20. (本小题满分

12 分)在一个盒子中装有

枝圆珠笔,其中 3 枝黑色,2 枝蓝色,1 枝红色,从中任取 3 枝. (1)该实验的基本事件共有多少个? 若将 3 枝黑色圆珠笔编号为 、 、 ,2 枝蓝色圆珠笔编号为 , ,1 枝红色圆珠笔编号为 , 用 表示基本事件,试列举出该实验的所有基本事件;

(2)求恰有一枝黑色的概率; (3)求至少 1 枝蓝色的概率. 21. (本小题满分
12 分)已知圆

, 为坐标原点, .

动点 在圆 外,过 作圆 的切线,设切点为 (1)若点 运动到 (2)求满足条件 处,求此时切线

的方程;

的点 的轨迹方程.

22. (本小题满分 14 分)已知平面向量 (1)证明: ; , ; 的解的情况。

(2)若存在不同时为零的实数 和 ,使 且 ,试求函数关系式

(3)根据(2)的结论,讨论关于 的方程

期末综合测试题参考解答
一、选择题
题号 答案

1 B

2 B

3 B

4 D

5 A

6 B

7 B

8 D

9 B

10 D

11 A

12 D

二、 填空题 13. 51 14. 0.45 15.
16.

17 解:(1)甲交通站的车流量的极差为:73-8=65,乙交通站的车流量 的极差为:71-5=66.……4 分 (2)甲交通站的车流量在间的频率为 .……8 分

(3)甲交通站的车流量集中在茎叶图的下方,而乙交通站的车流量集 中在茎叶图的上方. 从数据的分布情况来看, 甲交通站更繁忙. …… 12 分

18 解: (1)因为向量 , 故 (2)因为



,则

, ……4 分 , , , ……9 分 ,解得 .……12 分 . ……6 分



,则

19 解: (Ⅰ) 函数 (Ⅱ)列表: 的周期为 T=

= ,振幅为 2。 ……4 分



0

2

0

-2

0

图象如上(作图不规范者扣 1 分) 。

……8 分

(Ⅲ)由

解得:

所以函数的递减区间为

……12 分

20 解: (1)从 6 枝圆珠笔任取 3 枝,基本事件共有 20 个,所有基本事 件如下 , , , , , , , , , , , , ; ……9 分 , , , , , , ,

. ……6 分

(2)P( “恰有一枝黑色” )=

(3)P( “至少 1 枝蓝色” )=

.……12 分

21 解:把圆 C 的方程化为标准方程为(x+1) +(y-2) =4, ∴圆心为 C(-1,2),半径 r=2. ……3 分

2

2

(1) 当 l 的斜率不存在时,此时 l 的方程为 x=1,C 到 l 的距离

d=2=r,满足条件.……4 分
当 l 的斜率存在时,设斜率为 k,得 l 的方程为 y-3=k(x-1), 即 kx-y+3-k=0,则
|-k-2+3-k| =2,解得 1+k2

k=-3 4.

∴l 的方程为 y-3=-4(x-1),即 3x+4y-15=0. ……7 分 综上,满足条件的切线 l 的方程为 x=1 或 3x+4y-15=0. ……8 分 (2)设 P(x,y),则|PM| =|PC| -|MC| =(x+1) +(y-2) -4, |PO| =x +y , ……10 分 ∵|PM|=|PO|.∴(x+1) +(y-2) -4=x +y ,整理得 2x-4y+1=0,∴点 P 的轨迹方程为 2x-4y+1=0. ……12 分 22 解:① ② 整理得: 因 ③ 且方程 点的个数……11 分 时, 与 有两个交点,因此方程 有两解; 的解的情况可以看作曲线 ,则 , ,即 ……7 分 …9 分 ……10 分 与直线 的交 ……3 分
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3

时, 时,

与 与

有一个交点,因此方程 没有交点,方程

有一解; 无解。…14 分


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