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【恒心】2015届山东省济宁市育才中学高三上学期期中考试数学(文科)试题及参考答案(含解析)【纯word版】


山东省济宁市育才中学 2015 届高三上学期期中考试数学(文)试题 2014.11

第Ⅰ 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要 求的选项. )
1. 设集合 M= x x 2 ? 3 ? 0 ,则下列关系式正确的是( (A)0 ? M 【答案】C 【

解析】 (B) 0 ? M (C) 0 ? M

?

?

) (D) 3 ? M

M ? x x 2 ? 3 ? 0 ? x ? 3 ? x ? 3 ,? 0 ? M .
2. 如果复数 (A) 2 【答案】D 【解析】

?

? ?

?

2 ? bi ) ? b ? R ? 的实部和虚部互为相反数,那么 b 等于( i (B) ? 2 (C) 2 (D) ?2

2 ? bi ?2 ? bi ? ? i b ? 2i ? ? ? ?b ? 2i, i i ?i ?1 由已知得, b ? ?2 3.已知 a, b, c, d 为实数,且 c ? d ,则“ a ? b ”是“ a ? c ? b ? d ”的(
(A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件



【答案】A 【解析】 c ? d , a ? b 能推出 a ? c ? b ? d (不等式的性质) ,而在 c ? d 条件下, a ? c ? b ? d 不能推出 a ? b , 也可能 a ? b . 4.函数 y = log 2 (2 x ? 1) 的定义域为( (A) ( ) (C) (

【答案】B 【解析】 由 log2 ?2 x ? 1? ? 0, 得 2 x ? 1 ? 1 ,? x ? 1 . (A)10000 【答案】A 【解析】 (B)1000

1 ,??) 2

(B) [1, ? ? )

1 ,1 ] 2

(D) ( ? ? ,1)

5. 在正项等比数列 ?an ? 中, lg a3 ? lg a 6 ? lg a9 ? 6 ,则 a1 a11 的值是 ( (C) 100 (D)10



lg a3 ? lg a 6 ? lg a9 ? lg?a3 a 6 a9 ? ? lg?a 6 ? ? 2 lg a 6 ? 6,? a 6 ? 10 3.
3

? a1 a11 ? a 6 ? 10 2

2

? ?

2

? 10000 .

6.下列函数是偶函数,且在

?0,1? 上单调递增的是(
2

) (C) y ? ? x
2

(A) y ? cos ? x ? 【答案】D 【解析】

? ?

??
? 2?

(B) y ? 1 ? 2 cos 2 x

(D) y ? sin(? ? x)

排除法:A 选项 y ? cos ? x ?

? ?

?? ? ? ? sin x 为奇函数,排除 A;
2?

B 选项 y ? 1 ? 2 cos 2 2 x = ? cos 4 x 在 ?0,
2

? ?? 上单调递增,排除 B; ? 4? ?

C 选项 y ? ? x 在 ? 0,1? 上单调递减,排除 C;故选 D. 7. 已知 a ? 1, b ? 6, a ? (b ? a ) ? 2 ,则向量 (A)

a 与 b 的夹角为(
?
6



?
2

(B)

?
3

(C)

?
4

(D)

【答案】B 【解析】

? a ? 1, b ? 6, a ? (b ? a ) ? 2, ? a ? b ? a ? a ? b ? 1 ? 2, ? a ? b ? 3, ? cos a, b ? a ?b ab ? 1 , 2
2

? a, b ? ?0, ? ?, ? a, b ?

?
3

.
1 3

17 3

8. 若 ? ? (0, ? ) ,且 cos ? ? sin ? ? ? ,则 cos 2? ? (
17 9 【答案】A 【解析】

(A)

(B) ?

17 9

(C) ?

17 9

(D)

? cos ? ? sin ? ? ?
1 ?1 ? sin 2? ? , 9 8 ? sin 2? ? ? . 9

1 3,

? 8 ? 17 令 cos? ? sin ? ? x,则x 2 ? 1 ? sin 2? ? 1 ? ? ? ? ? , ? 9? 9 1 又 ? ? (0, ? ) ,且 cos ? ? sin ? ? ? , 3 17 ? x ? 0,? x ? ? , 3

1 17 ? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? ?cos? ? sin ? ??cos? ? sin ? ? ? ? x ? . 3 9 9. 已知函数 f ( x) 的导函数图象如右图所示,若 ?ABC 为锐角三角形,则一定成立的是( (A) f (cos A) ? f (cos B ) (B) f (sin A) ? f (cos B ) y (C) f (sin A) ? f (sin B ) (D) f (sin A) ? f (cos B )
【答案】B 【解析】

)

O 1

?

x

由导函数图象可知, f ( x) 在(0,1)单调递增,在 ?1,??? 单调递减, 因为 ?ABC 为锐角三角形,所以 A ? B ?

?
2

,0 ?

?
2

? B ? A,

?? ? ? 0 ? sin? ? B ? ? sin A ? 1, ?2 ? 即 0 ? cos B ? sin A ? 1, ? f (sin A) ? f (cos B) .
10. 对任意实数 a , b 定义运算 “ ? ” : a ? b ? ?

? b, a ? b ? 1, 设 f ( x) ? ( x 2 ? 1) ? (4 ? x) ,若函数 ?a, a ? b ? 1. ) y ? f ( x) ? k 恰有三个零点,则实数 k 的取值范围是( (A) (?2, 1) (B) ?0, 1? (C) ?? 2,0 ? (D) ?? 2, 1?

【答案】D 【解析】

?4 ? x, x ? ?2, 或x ? 3, 画出草图,如图所示当函数 y ? f ( x) ? k 恰有三个零 f ( x) ? ( x 2 ? 1) ? (4 ? x) = ? 2 ? x ? 2,?2 ? x ? 3, 点时需满足 ? 1 ? ?k ? 2,
? ?2 ? k ? 1.

第Ⅱ 卷

(非选择题 共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.不要求写出解题步骤,只要求将题目 的答案写在答题卷的相应位置上.) 11. 已知向量 a ? (1, m) , b ? (m, 2) , 若 a // b , 则实数 m 等于 【答案】 ? 【解析】 ▲ .

2

? a // b, a ? (1, m) , b ? (m, 2) ,
? m 2 ? 2, ? m ? ? 2.
12. 已知 ?an ? 为等差数列,若 a3 ? a 4 ? a8 ? 9 ,则前 9 项和 S 9 ? 【答案】27 【解析】 ▲ .

设 ?an ? 的公差为 d,则 a3 ? a 4 ? a8 ? 3a1 ? 12d ? 9, ? a1 ? 4d ? 3,

? S9 ? 9a1 ? 36d ? 9?a1 ? 4d ? ? 9 ? 3 ? 27.
13. ?ABC 中,三边之比 a : b : c ? 2 : 3 : 4 ,则最大角的余弦值等于 【答案】 ? 【解析】 设 a ? 2k , b ? 3k , c ? 4k , 则cosC ? ▲ .

1 4

a 2 ? b 2 ? c 2 ?2k ? ? ?3k ? ? ?4k ? 1 ? ?? . 2ab 2 ? 2k ? 3k 4
2 2 2

? x ? y ? 1 ? 0, ? x ? 2, ,则 z ? y ? x 的 14. 若实数 x, y 满足 ? ? y ? 3, ?
是 ▲ . 【答案】-3 【解析】 画出不等式组表示的可行域,如图所示,当直线 y ? x ? z 经过点 M 时, z 最小. 由?

最小值

? x ? 2, ? x ? 2, 得? ? x ? y ? 1, ? y ? ?1,

? M ?2,?1? , z min ? ?1 ? 2 ? ?3.
15.给出下列四个命题:

1 ? 2; lg x 2 2 ② 设 x, y ? R ,命题“若 xy ? 0, 则x ? y ? 0 ”的否命题是真命题; 5 π ③ 函数 y ? cos(2 x ? ) 的一条对称轴是直线 x ? ?; 3 12 ④ 若定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是奇函数,则对定义域内的任意 x 必有 f (2 x ? 1) ? f ( ?2 x ? 1) ? 0 .
① 若 x ? 0 ,且 x ? 1 则 lg x ? 其中,所有正确命题的序号是 【答案】② ④ 【解析】 ▲ .

对于① ,当 0 ? x ? 1 时, lg x ? 0 ,所以① 不对; 对于② , xy ? 0 ? x ? y ? 0 ,所以② 成立;
2 2

对于③ ,当 x ?

5 5 不成立; ? 时, y ? 0 ? ?1 ,所以 x ? ? 不是对称轴,所以③ 12 12

对于④ ,? y ? f ( x) 是奇函数,? f ?? x ? ? ? f ?x ? ,? f ?2 x ? 1? ? ? f ?? 2 x ? 1? ,所以④ . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (本小题满分 12 分) 已知命题 p :不等式 x 2 ? 2ax ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立;命题 q :函数 f ( x) ? (3 ? 2a ) 是增函数.若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.
x

17.(本小题满分 12 分) ? ? 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若向量 m ? (? cos B, sin C ) , n ? (? cos C ,? sin B ) , 且m?n ?

? ?

1 . 2

(I)求角 A 的大小; (II)若 b ? c ? 4, ?ABC 的面积 S ? 3 ,求 a 的值. 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin(

x ? x ? ? ) cos( ? ) ? sin( x ? ? ) . 2 4 2 4

(I)求 f ( x) 的最小正周期; π (II)若将 f ( x) 的图象向右平移 个单位,得到函数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间[0,π]上的最大值和 6 最小值.

19. (本小题满分 12 分) 如图,某广场要划定一矩形区域 ABCD,并在该区域内开辟出三块形状大小相同的小矩形绿化区,这 三块绿化区四周和绿化区之间均设有 1 米宽的走道,已知三块绿化区的总面积为 200 平方米,求该矩形区 域 ABCD 占地面积的最小值。

20. (本小题满分 13 分) 已知数列 {a n } , {c n } 满足条件: a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? 1 , c n ? (I)求证数列 {a n ? 1} 是等比数列,并求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ )求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn ,并求使得 Tn ?

1 . (2n ? 1)(2n ? 3)

1 对任意 n ? N ? 都成立的正整数 m 的最小值. am

21. (本小题满分 14 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

1 2 ax ? ln x . 2 (I) 当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1,f (1)) 处的切线的斜率; (Ⅱ ) 讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅲ ) 是否存在实数 a ,使得方程 f ( x) ? 2 有两个不等的实数根?若存在,求出 a 的取值范围;若不存

在,说明理由.

答案(文)
CDABA DBABD

11.

? 2

12.

27

13. ?

1 4

14. ?3

15. ② ④

16. (本小题满分 12 分) 解: p 为真: ? ? 4a 2 ? 16 ? 0 ? ?2 ? a ? 2 ,

……………………3 分 ……………………6 分

q 为真: 3 ? 2a ? 1 ? a ? 1 因为 p 或 q 为真, p 且 q 为假, ? p,q 一真一假 ?? 2 ? a ? 2 当 p 真 q 假时, ? ? 1? a ? 2 ?a ? 1
当 p 假 q 真时, ?

……………………8 分

?a ? 2或a ? ?2 ?a ? 1

? a ? ?2

……………………11 分 ……………………12 分

? a 的取值范围为 ?1, 2 ?
17.(本小题满分 12 分) (Ⅰ )∵m ? n ?

? ??, ?2?

1 , 2
1 , 2
………………2 分 …………………………4 分

∴cos B ? cos C ? sin B ? sin C ? 即 cos( B ? C ) ? ∴cos A ? ?

1 1 ,∴cos( π ? A) ? , 2 2

1 . 2 2π . 3
…………………………6 分

又 A ? (0, π) ,∴A ? (Ⅱ ) S ?ABC ?

1 1 2π ? 3, bc ? sin A ? bc ? sin 2 2 3 ∴bc ? 4 .

…………………………8 分

又由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos
2 2

2π ? b 2 ? c 2 ? bc , ………………10 分 3
…………………………12 分

∴a ? (b ? c) ? bc ? 16 ? 4 ? 12 , a ? 2 3 . 18. (本小题满分 12 分) 解 π x+ ?+sin x (I)因为 f(x)= 3sin? ? 2? 3 1 ? ? 2 cos x+2sin x?

= 3cos x+sin x=2?

π? =2sin? ?x+3?,………………………4 分 所以 f(x)的最小正周期为 2π. ………………………5 分 π (II)∵ 将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象, 6 π? ? π? π ∴ g(x)=f? ?x-6?=2sin[?x-6?+3]

π? =2sin? ?x+6?.………………………7 分 π ?π 7π? , ,………………………8 分 ∵ x∈ [0,π],∴ x+ ∈ 6 ?6 6 ? π? π π π ∴ 当 x+ = ,即 x= 时,sin? ?x+6?=1,g(x)取得最大值 2. ………………………10 分 6 2 3 π? π 7π 1 当 x+ = ,即 x=π 时,sin? ?x+6?=-2,g(x)取得最小值-1. ………………………12 分 6 6 19. (本小题满分 12 分) 解:设绿化区域小矩形平行于 BC 的一边长为 x,另一边长为 y, 则 3xy=200,所以 y ?

200 ( x ? 0) . …………………………3 分 3x 200 800 ? 2) ? 208 ? 6 x ? ? 208 ? 2 1600 ? 288. ……………10 分 3x 3x

设矩形区域 ABCD 的面积为 S,则

S ? (3 x ? 4)( y ? 2) ? (3 x ? 4)(
当且仅当 6 x ?

800 20 时取等号. , 即x ? 3x 3

所以,矩形区域 ABCD 的面积的最小值为 288 平方米. ………………………12 分 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ )∵a n ?1 ? 2a n ? 1 ∴a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1) ,∵a1 ? 1 , a1 ? 1 ? 2 ? 0 …………2 分 ∴ 数列 {a n ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 . ∴a n ? 1 ? 2 ? 2 n ?1 ∴a n ? 2 n ? 1 (Ⅱ )∵c n ? …………5 分

1 1 1 1 ? ( ? ) ,…………7 分 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 ∴Tn ? ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 n n . …………9 分 ? ( ? )? ? 2 3 2n ? 3 3 ? (2n ? 3) 6n ? 9 T n ? 1 6n ? 9 6n 2 ? 15n ? 9 9 ∵ n ?1 ? ? ? ? 1? 2 ? 1 ,又 Tn ? 0 , 2 Tn 6n ? 15 n 6n ? 15n 6n ? 15n ∴Tn ? Tn ?1 , n ? N*,即数列 {Tn } 是递增数列. 1 ∴ 当 n ? 1 时, Tn 取得最小值 . …………11 分 15 1 1 1 要使得 Tn ? 对任意 n ? N*都成立,结合(Ⅰ )的结果,只需 ,由此得 m ? 4 .∴ 正整 ? m 15 2 ? 1 am 数 m 的最小值是 5. …………13 分
21. (本小题满分 14 分) 解:(1)当 a ? 1 时, f ?( x) ? x ?

1 ,x ? 0 x

? k ? f ?(1) ? 0
…………………………3 分

所以曲线 y= f (x)在点 (1,f (1)) 处的切线的斜率为 0. (2) f ?( x) ? ax ?

1 ax 2 ? 1 ? ,x ? 0 …………………………………………4 分 x x ? ?) 上单调递减; ………………………6 分 ① 当 a ? 0时,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0,

② 当 a ? 0时,令f ?( x) ? 0, 解得x ?

a . a

a a 当x ? (0, )时,f ?( x) ? 0;当x ? ( , ? ?)时,f ?( x) ? 0 . a a

a a ?函数f ( x)在(0, )内单调递减;在( , ? ?)内单调递增 a a
3

………………8 分

(3)存在 a ? (0,e ) ,使得方程 f ( x) ? 2 有两个不等的实数根. ………………9 分 理由如下: 由(1)可知当 a ? 0时,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, ? ?) 上单调递减,方程 f ( x) ? 2 不可能有两个不等的实数 根; 由(2)得, 函数f ( x)在(0, ………………………11 分

a a 使得方程 f ( x) ? 2 有两个不等 )内单调递减,在( , ? ?)内单调递增, a a
a a 1 1 ) ? 2 ,即 f ( ) ? ? ln a ? 2 ,解得 0 ? a ? e 3 a a 2 2
………………………………14 分

的实数根,等价于函数 f ( x) 的极小值 f ( 所以 a 的取值范围是 (0,e )
3


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