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2011届高考数学第一轮复习测试题1


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2011 高三数学一轮复习测试题 (理科)
1、命题“若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ”的逆否命题为 ( A.若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c B.若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c C

.若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b D.若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b 2、已知 ? a n ? 是等差数列,且 a 2 ? ? 5, a 6 ? a 4 ? 6 ,则 a 1 ? A. ? 9 B. ? 8 C. ? 7 D. ? 4 ( D.
32 3



(

)

3、在 ? A B C 中,已知 a ? 8, B ? 6 0 ? , C ? 7 5 ? ,则 b 等于 A. 4 2 B. 4 3 C. 4 6



4、 a ? 0 是 ab ? 0 的什么条件 A.充分不必要条件 C.充要条件

( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (



5、已知等比数列 ? a n ? 中, a1 ? a 2 ? 3 0, a 3 ? a 4 ? 1 2 0, 则 a 5 ? a 6 ? A.150 6、椭圆
x
2

)

B.200
? y
2

C.360

D.480

25

9

? 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 6, P 到另一个焦点的距离为

( A.5
?



B.6
?

C.4

D.10

7.设 u ? ( ? 2 , 2 , 5 ) 、 v ? (6, ? 4, 4) 分别是平面 ? , ? 的法向量,则平面 ? , ? 的位置关系是 ( ) A.平行
2

B.垂直

C.相交但不垂直 B. ? x ? 2 ? x ? 1?
????

D.不能确定 ( ) D. ? )

8、不等式 ? x ? x ? 2 ? 0 的解集是 A. ? x x ? ? 2 或 x ? 1? C. ? x ? 2 ? x ? 1?

9.在正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, A1 E ? A. x ?
1 2 ,y ? 1 2

? ???? ??? ???? ? 1 ????? ??? A1 C 1 , A E ? x A A1 ? y ( A B ? A D ) ,则( 4

4 ??? ??? ? ? 10、设坐标原点为 O ,抛物线 y ? 2 x 与过焦点的直线 l 交于 A、B 两点,则 O A ? O B 等于
2

B. x ?

1 2

,y ?1

C. x ? 1, y ?

1 3

D. x ? 1, y ?

1

( A.
3 4

) B. ?
3 4
2

C. 3

D. ? 2

11、在 ? A B C 中, 若 ( a ? c )( a ? c ) ? b ? b c ,则 A= 12、数列 ? a n ? 的通项为 a n ?
1 n ?1 ? n

,若 S n ? 9 ,则项数 n ? __________

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? x?2? 0 ? 13、设实数 x , y 满足 ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值是 ?x ? 2y ? 2 ? 0 ?

14、 F1 、 F2 是双曲线
? F1 P F2 ?

x

2

?

y

2

9

16

? 1 的两个焦点, P 在双曲线上且满足 P F1 ? P F 2 ? 3 2 ,则

_____________

15.在平行六面体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中 A B ? 1 , A D ? 2 , A A1 ? 3 , ? B A D ? 90 ? ,
? B A A1 ? ? D A A1 ? 60 ? ,则 A C 1 的长为

16、已知命题 p : m ? 4 ; 命题 q : 方程 4 x ? 4( m ? 2) x ? 9 ? 0 无实根. 若 p ? q 为真, p ? q 为假, ? p 为假,求 m 的取值范围.
2

17、 已知数 列 ? a n ? 是 等差数列 , a1 ? 1 , 公差为 2 ,又已知 数列 ? b n ? 为 等比 数列, 且
b1 ? a1 , b 2 ( a 2 ? a1 ) ? b1 .

(1)求数列 ? a n ? 、 ? b n ? 的通项公式;

(2)设 c n ?

an bn

,求 ? c n ? 的前 n 项和 S n .

18、在△ABC 中, ? A 、 ? B 、 ? C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 (1)求 cos B 的值; (2)若 b ?

co s C co s B

?

2 sin A ? sin C sin B

.

7 , a ? c ? 4 ,求△ABC 的面积.

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19、经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量 y (千辆/小时)与汽 车的平均速度 ? (千米/小时)之间的函数关系为: y ?
(? ? 0 ) . ? ? 3? ? 1600 (1)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?
2

920 ?

(2)在该时段内,当汽车的平均速度 ? 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(结 果可保留分数形式)

20、 (如图,四棱锥 P ? A B C D 中,底面 ABCD 为矩形, P D ? 底面 ABCD,AD=PD=1,AB= 2 a ( a ? 0 ) ,F 分别 CD、PB 的中点. ,E (1)求证:EF ? 平面 PAB; (2)当 a ?
2 2

时,求 AC 与平面 AEF 所成角的正弦值. P

C

F

E

D A

B

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21、如图,斜率为 k 的直线 l 过椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 对称轴上的定点 D ( ? a , 0 ) ( ? 为

非零常数, ? ? ? 1 ) ,且 l 交椭圆于 A 、 B 两点. (1)当 k ? ? ?
1 2

,且线段 A B 中点的横坐标等于

a

时,求椭圆的离心率;

4 ???? ???? ? ? (2)试探究:在 x 轴上是否存在定点 M ,使 A M ? B M 恒为定值?

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参考答案及评分标准
一. 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题序 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 D 6 C 7 B 8 C 9 D 10 B

二. 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 题序 答案 11
120?

12 99

13 2

14
90?

15
23

三. 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 16、 (本题满分 12 分) 解:命题 p : m ? 4 由方程 4 x 2 ? 4( m ? 2) x ? 9 ? 0 无实根,得 2 2 ? ? 16( m ? 2) ? 16 ? 9 ? 16( m ? 4 m ? 5) ? 0 ,解得, ? 1 ? m ? 5 所以,命题 q : ? 1 ? m ? 5 (5 分) ? p ? q 为真, p ? q 为假, ? p 为假, ? 命题 p 为真,命题 q 为假,
?

?m ? 4 ?m ? 4 或? ? ?m ? 5 ?m ? ?1

,解得, m ? 5 (12 分)

? m

的取值范围是 [5, ? ? )

17、 (本题满分 12 分) 解: (1)由 ? a n ? 是等差数列, a1 ? 1 ,公差为 2,得 a n ? 2 n ? 1 数列 ? b n ? 为等比数列,且 b1 ? a1 , b 2 ( a 2 ? a1 ) ? b1 ,
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可得, b1 ? 1 , b 2 ? (2)? c n ?
?
an bn

1 2

, b n ? b1 ( ) n ? 1 ?
2
n ?1

1

1 2
n ?1

(5 分)

? ( 2 n ? 1) ? 2

T n ? c1 ? c 2 ? ? ? ? ? c n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ? ? (2 n ? 1) ? 2
0 1

n ?1

① ②

2 T n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) ? 2
1 2

n

① ? ②,得
? T n ? 1 ? 2? 2?
1

? 2

2

? ??? ? 2
n

?2

n?

2 ?
1

n ?( 2 ?
n

n

1)

2

? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? (2 n ? 1) ? 2
2 3
1 2 3 n

? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ( 2 n ? 1) ? 2 ? 1 ?
n

2 ( 2 ? 1)
n

2 ?1

? ( 2 n ? 1) ? 2 ? 1
n

? T n ? 3 ? (2 n ? 3) ? 2

n

(12 分)

18、 (本题满分 12 分) 解: (1)由 得, cos C ? sin B ? 2 sin A ? cos B ? cos B ? sin C co s B sin B ? 2 sin A ? cos B ? sin B ? cos C ? cos B ? sin C ? sin( B ? C ) ? sin( ? ? A ) ? sin A
?
0 ,? co s B ?

co s C

2 sin A ? sin C

?s i n ? A

1 2

. (6 分)

(2)? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ac cos B ? a 2 ? c 2 ? 2 ac ? 7
? (a ? c ) ? 3ac ? 7
2

,? ac ? 3 ,? S ? A B C ?
920 v

1 2

a c sin B ?

1 2

? 3?

3 2

?

3 3 4

(12 分)

19、 (本题满分 13 分) 解: (1)由条件得
v ? 3 v ? 1600
2

? 10 ,

整理得 v 2 ? 8 9 v ? 1 6 0 0 ? 0 , (2)依题意, y ?
920 3 ? (v ?

即 ( v ? 2 5)( v ? 6 4 ) ? 0 ,
? ) 920 3 ? 2 1600 ? 920 83

解得 2 5 ? v ? 6 4 .(6 分)
,

1600 v

当且仅当 v ? 所以 y max ?

1600 v

, 即 v ? 40 时 , 上式等号成立

,

(13 分)

920 83

( 千辆 / 小时 ).

20、 (本题满分 13 分) 解: (1)建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz (如图) , AD=1,PD=1,AB= 2 a ( a ? 0 ) ,则 E(a,0,0), C(2a,0,0), B(2a,1,0), P(0,0,1),
??? ? ??? ? P B ? ( 2 a ,1, ? 1) , A B ? ( 2 a , 0, 0 ) .

A(0,1,0),
z P

??? ? 1 1 1 1 F ( a , , ) .得, E F ? (0 , , ) , 2 2 2 2

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F 电话:010-62754468 E C

D A

B

y

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由 E F ? A B ? (0, , ) ? ( 2 a , 0, 0 ) ? 0 ,
2 2 ??? ? ??? ? 得 E F ? A B ,即 E F ? A B , 同理 E F ? P B ,又 A B ? P B ? B ,

??? ??? ? ?

1 1

所以,EF ? 平面 PAB. (6 分) (2)解:由 a ?
????

2 2

,得 E (
??? ?

2 2
2 2

, 0, 0 )
, ? 1, 0 )

,F(
??? ?

2 1 1 , , ) , C ( 2 , 0, 0 ) . 2 2 2

有 A C ? ( 2 , ? 1, 0 ) , A E ? (

, E F ? (0 , , ) .
2 2

1 1

设平面 AEF 的法向量为 n ? ( x , y ,1) ,
1 1 1 ? ?1 ??? ? y? ?0 ? ( x , y ,1) ? (0, 2 , 2 ) ? 0 ?2 ?n ? EF ? 0 2 ? ? ? 由 ? ???? ? ? ? ? ?n ? AE ? 0 ? ? ( x , y ,1) ? ( 2 , ? 1, 0 ) ? 0 ? 2 x? y ?0 ? ? 2 ? 2 ?

,解得 ?

? y ? ?1 ? ?x ? ? ? 2

.

于是 n ? ( ? 2 , ? 1,1)

设 AC 与面 AEF 所成的角为 ? , A C 与 n 的夹角为 ? A C , n ? .

????

????

???? ( 2 , ? 1, 0 ) ? ( ? 2 , ? 1,1) AC ? n ???? 3 ? ? 则 sin ? ? co s ? A C , n ? ? ???? 6 2 ?1? 0 2 ?1?1 AC ? n

.

所以,AC 与平面 AEF 所成角的大小的正弦值为 21、 (本题满分 13 分) 解:设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? ? a )
? y ? k (x ? ?a) ? 由? x2 y2 ,消去 y ? 2 ? 2 ?1 b ?a
2 2 2 2 2 3 2

3 6

. (13 分)

y

整理得,
2 4 2 2

A O B
? y 1 ? k ( x1 ? ? a ) ? y2 ? k ( x2 ? ? a )

l

M D
x

(k a ? b ) x ? 2k ? a x ? (k ? a ? a b ) ? 0

设, A ( x1 , y1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ,则
? ?? ? 0 ? 2 3 2k ? a ? x1 ? x 2 ? 2 2 ? 2 k a ?b ? 2 2 4 2 2 ? k ? a ?a b ? x1 ? x 2 ? 2 2 2 k a ?b ?

①,

且?



(1)? k ? ? ?

1 2
x1 ? x 2 2 k ?a
2 2 2 3 2

由中点坐标公式及①式得,

?

a 2 ???? ???? ? ? (2)若存在定点 M 符合题意,可设 M ( m , 0) ( m 为常数) ,且 A M ? B M ? r ???? ???? ? ? ???? ???? ( r 为常数) ,则 A M ? B M ? M A ? M B ? r .
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k a ?b

?

a 4

,解得 e ?

c

?

3

(6 分)

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而 则

???? ???? M A ? ( x1 ? m , y 1 ) , M B ? ( x 2 ? m , y 2 )
( x1 ? m , y ) ( x ? 1 2 m , 2y ?)
1

y 2y ?

r

r 即 x1 x 2 ? m ( x ? x ) 2? m 2 ? y y 1 ? 2 1 把① ②两式代入③式,整理得,


r ( b ?
2

k a (?
2 2

2

a? ?
2

2

b?

2

m?

2

b? 2

2

?m ? ) a

m ?

2

a) ?
2

0 ? r



(其中 a , b , ? , m , r 都为常数) 要使④式对变量 k 恒成立,当且仅当
2 2 2 ? ? 2 a 2 ? ? b ? m ? 2b ? 2 ? m a ? r ? 0 ? ? 2 2 ?m ? a ? r ? 0 ?
2 2 2 2 ? ( ? ? 1) a ? ( ? ? 1) b (? ? 0) ?m ? 解得, ? ,故存在定点 M ( m , 0) 符合题意. 2? a ?r ? m 2 ? a2 ? 2 2 2 2 ???? ???? ? ? ( ? ? 1) a ? ( ? ? 1) b 其中, m ? , A M ? B M ? m 2 ? a 2 . (13 分) 2? a

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