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1.2.1排列 (4)


高中数学选修2-3

第一章 计数原理
1.2.1 排 列
(第三课时)

教学目标
1.熟练掌握排列数公式; 2.熟悉并掌握一些分析和解决排列问题的 基本方法; 3.能运用已学的排列知识,正确地解决简 单的实际问题

教学重点
重点:分析和解决排列问题 难点:分析和解决排列问题

的基本方法

复习: 一、基本知识
1 .排列的定义:
从n个不同元素中,任取m( m ? n )个元素(m个元素不可重复 取)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列.

2.排列数的定义:
从n个不同元素中,任取m( m ? n )个元素的所有排列的个数 m 叫做从n个元素中取出m个元素的排列数 An

3.有关公式: ?1?.阶乘:n! ? 1? 2 ? 3 ? ? ? ? ?(n ? 1)? n (2)排列数公式:
m n

n! A ? n ?(n ? 1)? ? ?(n ? m ? 1) ? (m、 n? N*, m ? n) (n ? m)!

A ? n!
n n

二、基本方法
1.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置;⑵某些 元素要求连排(即必须相邻);⑶某些元素要求分 离(即不能相邻); 2.基本的解题方法: (1)有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是 先排特殊元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素 (位置)法(优先法); 特殊元素,特殊位置优先安排策略

二、基本方法
(2)某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元 素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻 元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法”;相邻 问题捆绑处理的策略。
(3)某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素, 再将这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插 空法”;不相邻问题插空处理的策略。

有约束条件的排列问题
例1:一天要排语、数、英、物、体、班会六节 课,要求上午的四节课中,第一节不排体育课, 数学排在上午;下午两节中有一节排班会课,问 共有多少种不同的排法? 解:特殊元素应该优先考虑。本题可以先考虑 体育,需要分两类:(1)体育排在上午有3种 排法, 数学有3种排法,班会有2种排法,其他 3门课全排列有6种,共有3×3×2×6=108种; (2)体育排下午有2种排法 ,数学有4种排法, 班会有1种排法,其他3门课全排列有6种, 共 有2×4×1×6=48种,总共有 108+48=156种排 课方式。

有约束条件的排列问题 例2:有4个男生和3个女生排成一排,按下列要求各 有多少种不同排法: 6 A ? 720 6 7 6 5 (1)男甲排在正中间; A7 -2 A6 ? A5 ? 3720 (2)男甲不在排头,女乙不在排尾; (3)三个女生排在一起;A ? A ? 720
5 5 3 3 4 3 A ? A 5 ? 1440 (4)三个女生两两都不相邻; 4

(5)若甲必须在乙的右边(可以相邻,也可以不相 7 2 邻),有多少种站法? A7 ? A2 ? 2520 (6)全体站成一排,甲、乙、丙三人自左向右顺序 不变,有多少种站法? A7 ? A3 ? 840
7 3

有约束条件的排列问题
例3:由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数,其中小于50000的偶数共有多少个? 万位
1 3

千位

百位

十位

个位

A 解法一:(正向思考法)个位上的数字排列数
1 有A2 种(从2、中选);万位上的数字排列数有 4 1 A3 种(5不能选),十位、百位、千位上的排列数

A

3 3

1 A2

有A 种,故符合题意的偶数有A A A ? 36个。
3 3 1 2 1 3 3 3

有约束条件的排列问题
例3:由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数,其中小于50000的偶数共有多少个?

万位

千位

百位

十位

个位

解法二:(逆向思维法)由1、、 2 3、、组成无重复 45
5 1 4 数字的5位数有A5 个,减去其中奇数的个数A3 A4 个, 1 3 再减去偶数中大于50000的数A2 A3 个,符合题意的 5 1 4 1 3 偶数共有:A5 ? A3 A4 ? A2 A3 ? 36个

例4: 7位同学站成一排.

⑴甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? 解:根据分步计数原理:第一步 : 甲、乙站在两端有 A22种;第二步:余下的5名同学进行全排列有A55种 , 则共有A22 A55 =240种排列方法
① 甲 ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

d

e

a

b

c



A22
① ② ③

A55







⑦ 甲



c

a

e

b

d

有约束条件的排列问题 ⑵甲不能站在排头且乙不能站在排尾的排法共有多少 种? 解 ( 分两步 ) :第一步 : 从(除去甲、乙)其余的 5 位 同学中选 2位同学站在排头和排尾有 A52种方法;第 二步: 从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列) 有A55种方法 ,所以一共有A52 A55 =2400种排列方 法.

小结1:对于“在”与“不在”等有特殊元素 或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元 素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位 置)法(优限法)。

⑶甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?

解(分两步):第一步:甲、乙两位同学“捆绑”在一起看 成一个元素与其余的 5 个元素(同学)一起进行全排列 有 A66 种方法;第二步 : 甲、乙两个同学“松绑”进行排 列有A22种方法.所以这样的排法一共有A66 A22 =1440 种.
变式 1 :①甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少 5A 3 =720种. 种?解:方法同上,一共有 A 5 3 ②甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾 的排法有多少种?
解法一 (分三步 ):将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元 素,此时一共有 6 个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以 可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾,有 A52 种方法;将剩下的 4个元素进行全排列有 A44种方法;最后将甲、 乙两个同学“松绑”进行排列有 A22 种方法.所以这样的排法 一共有A52 A44 A22 =960种方法.

解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元 素,此时一共有 6 个元素,若丙站在排头或排尾有 2A55 种方法,所以丙不能站在排头和排尾的排法有 ( A66 -2A55)· A22=960种方法.
解法三(分三步):第一步:将甲、乙两同学“捆绑”在 一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素,因为丙不 能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择 共有 A41 种方法 ; 第二步 : 将其余的 5个元素进行全排列 共有A55种方法;第三步:将甲、乙两同学“松绑”,所 以这样的排法一共有A41 A55 A22 =960种方法.

小结 2 :对于相邻问题,常 用“捆绑法”(先捆后 松).

⑷甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?
解法一:(排除法) A77-A66 A22 =3600 解法二:(插空法)分两步:第一步:先将其余五个同学排好 有 A55 种方法,此时他们留下六个位置(就称为“ 空 ” ) ; 第二步 : 将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有 A62种方 法,

a

b



c

d



e

所以一共有A55 A62=3600种方法.

有约束条件的排列问题
变式2:③甲、乙和丙三个同学都不能 相邻的排法共有多少种? 解:分两步 : 第一步 : 先将其余四 个同学排好有 A44种方法,此时他们留 下五个“空”;第二步:将甲、乙和丙三 个同学分别插入这五个“空”有A53 种 方法,所以一共有A44 A53 =1440种.

小结 3 :对于不相邻问题,常用 “插空法”(特殊元素后考 虑).

例5.(1)0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个 无重复数字的五位数? A1 ? A4 ? 600

注意:〈1〉“特殊”元素,应优先安 排 (2)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复 1 1 3 数字的五位奇数? A3 ? A4 ? A4 ? 288 〈2〉合理分类,准确分步
变式3:0,1,2,3,4,5可组成多少个无 重复数字的五位偶数?

5

5

分两类:(1)个位数为零: A ? 120 1 1 3 (2)个位数为2或4: A2 ? A4 ? A4 ? 192
4 5

共有A ? A ? A ? A ? 312
4 5 1 2 1 4 3 4

(3)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字且 能被5整除的五位数? 4 分两类:(1)个位数为0: A5 ? 120

A ? A ? 96 4 1 3 共有 : A5 ? A4 ? A4 ? 216
(2)个位数为5:
1 4 3 4

(4)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字且 大于31250的五位数?
分四类: (1)万位数字是4、5:

A ?A
1 2

4 5

(2)万位数字是3,千位数字是2、4、5:

A ?A
1 3

3 4

(3)万位数字是3,千位数字是1,百位数字4、5: (4)数字3125×:
1 2 4 5

A ?A
1 2

2 3

1个
1 3 3 4 1 2 2 3

共有 : A A ? A ? A ? A ? A ? 1 ? 325

变式4:31250是由0,1,2,3,4,5组成的无重复 数字的五位数中从小到大的第几个数?

方法一:(间接法) A1 ? A4 ? 325 ? 275 5 5 方法二:(直接法)
3

(1、2)
3 1

A ?A
1 2

4 5
3

0
1 2

A

3 4

0
3 1 2

A

2 3

1 (0、4) 2

A ?A

1 2

5 0

共有 : A ? A ? A ? A ? A ? A ? 1 ? 275
1 2 4 5 3 4 2 3 1 2 1 2

例6:从数字0,1,3,5,7中取出不同的三位数作系 2 数,可以组成多少个不同的一元二次方程ax+bx+c=0? 其中有实根的方程有多少个? 解:(1)因为a不等于0,先确定a,有4种,然后从 剩下4个数中选2个,有4×3=12种,所以可以组成 4×12=48个不同的一元二次方程。 (2) 若方程有实根: 1)c=0时,方程总有解,有4×3=12种; 2)c不等于0,b=0时,方程总无解; 3)a,b,c均不为0时,满足b ^2-4ac大于等于0, 才有解, 只有:5^2-4×1×3 ,5^2-4×3×1, 7^2-4×1×3, 7^2-4×3×1, 7^2-4×1×5, 7^2-4×5×1,…… 共6种可能,所以有实数解的 方程有12+6=18个

例6:从数字0,1,3,5,7中取出不同的三位数作系 2 数,可以组成多少个不同的一元二次方程ax+bx+c=0? 其中有实根的方程有多少个?
解法二:(2)若方程有实根:
1)b=0时,b^2-4ac<0,组成的一元二次方程无实根。 2)b=1时, 要使b^2-4ac≥0,只有c=0, a可取3, 5, 7任意 一个。共有3个方程符合要求。 3)b=3时,要使b^2-4ac≥0, c=0时, a可取1, 5, 7;c≠0时, 不存在符合要求的方程。因此共有3个方程符合要求。 4)b=5时,要使b^2-4ac≥0,c=0时,a可取1, 3, 7;c=1时, a可取3;c=3时, a可取1。共有5个方程符合要求。 5)b=7时,要使b^2-4ac≥0,c=0时,a可取1, 3, 5;c=1时, a可取3, 5;c=3时,a取1;c=5时, a取1。共有7个方程符 合要求。所以总共可组成18个符合要求的一元二次方程。

练习:
1、4名男生和4名女生站成一排,若要求男女相间, 4 4 则不同的排法数有( B ) 2 A4 ? A4 ? 1152

A.2880

B.1152

C.48

D.144

2、今有10幅画将要被展出,其中1幅水彩画,4幅 油画,5幅国画,现将它们排成一排,要求同一品 种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端。则 5760 种。2 A5 ? A4 ? A1 ? 5760 不同的排列方式有
5 4 1

3、一排长椅上共有10个座位,现有4人就座,恰有 480 五个连续空位的坐法种数为 。(用数字 4 2 作答) A4 ? A5 ? 480

小结: 1.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置; ⑵某些元素要求连排(即必须相邻); ⑶某些元素要求分离(即不能相邻); 2.基本的解题方法: ⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排 特殊元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置 )法“优限法”; ⑵ 某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看 作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的 内部排列,这种方法称为“捆绑法”; ⑶ 某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将 这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法” 。

有约束条件的排列问题
例7:6个人站成前后两排照相,要求前排2人,后排4人,那 么不同的排法共有( C )
A.30种 B. 360种 C. 720种
7

D. 1440种
6 5

例8:有4个男生和3个女生排成一排,按下列要求各有多少种 6 不同排法:(1) A6 ? 720 (2) A7 ? 2 A6 ? A5 ? 3720
3 5 4 3 (3) A A ? 720 (4) A (1)男甲排在正中间; 3 5 4A 5 ? 1440 7 3 (5) A ? A 7 3 ? 840 (2)男甲不在排头,女乙不在排尾;

(3)三个女生排在一起; 对于相邻问题,常用“捆绑法”

对于不相邻问题,常用 “插空法” (4)三个女生两两都不相邻;
(5)全体站成一排,甲、乙、丙三人自左向右顺序不变; (6)若甲必须在乙的右边(可以相邻,也可以不相邻),有 7 2 多少种站法?(6) A7 ? A2 ? 2520


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