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【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练:选修4-4.1 坐标系 Word版含解析]


选修 4-4

第1讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. [2013· 渝北模拟]极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是( A. 两个圆 C. 一个圆和一条射线 答案:C 解析:原方程等价于 ρ=1 或 θ=π,前者是半径为 1 的圆,后者是一条射线.故选 C. 2. [2013· 中山检测]若曲

线的极坐标方程为 ρ2= 400 ,则这条曲线化为直角坐标方程为( 16cos2θ+25sin2θ A. C. x2 y2 + =1 25 16 x2 y2 + =1 16 25 B. D. ) B. 两条直线 D. 一条直线和一条射线 )

x2 y2 + =1 20 16 x2 y2 + =1 16 20

答案:A x2 y2 解析:将极坐标方程化为直角坐标方程为 16x2+25y2=400,即 + =1,故选 A. 25 16 π 3. 在极坐标系中,点(2, )到圆 ρ=2cosθ 的圆心的距离为( 3 A. 2 C. π2 1+ 9 B. D. 3 π2 4+ 9 )

答案:D π 解析:点(2, )和 ρ=2cosθ 的圆心在平面直角坐标系中分别为(1, 3)和(1,0).故选 D. 3 4. [2013· 海淀模拟]在极坐标系中,圆 ρ=-2sinθ 的圆心的极坐标是( π A. (1, ) 2 C. (1,0) 答案:B 解析:由 ρ=-2sinθ,得 ρ2=-2ρsinθ,化成直角坐标方程为 x2+y2=-2y,化成标准 π 方程为 x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为(1,- ). 2 π 5. [2013· 株洲模拟]在极坐标系中,直线 ρsin(θ+ )=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为( 4 ) π B. (1,- ) 2 D. (1,π) )

A. 2 2 C. 4 2 答案:D

B. 2 3 D. 4 3

π 解析:直线 ρsin(θ+ )=2 可化为 x+y-2 2=0,圆 ρ=4 可化为 x2+y2=16,由圆中的 4 弦长公式得 2 r2-d2=2 2 22 42-? ? =4 3. 2 )

4 6. [2013· 天津模拟]方程 ρ=-2cosθ 和 ρ+ =4 2sinθ 的曲线的位置关系为( ρ A. 相离 C. 相交 答案:B B. 外切 D. 内切

4 解析:方程 ρ=-2cosθ 和 ρ+ =4 2sinθ 即 ρ2=-2ρcosθ 和 ρ2-4 2ρsinθ+4=0. ρ 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2+y2+2x=0 和 x2+y2-4 2y+4=0, 分别配方,得(x+1)2+y2=1,x2+(y-2 2)2=4,分别表示圆心为 C1(-1,0),半径为 r1 =1 的圆和圆心为 C2(0,2 2),半径为 r2=2 的圆. ∵|C1C2|=3=r1+r2,∴两圆外切. 二、填空题 7. [2013· 广东模拟]在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 ρ=2sinθ 与 ρcosθ=-1 的交点 的极坐标为________. 3π 答案:( 2, ) 4 解析:曲线 ρ=2sinθ 化为直角坐标系方程为 x2+y2-2y=0.由 ρcosθ=-1 可化为 x=- 1.将 x=-1 代入 x2+y2-2y=0 得 y=1,因此交点的直角坐标为(-1,1),化为极坐标为( 2, 3π ). 4 π π 3 8. [2013· 怀化模拟]在极坐标系中,点 P(1, )到曲线 l:ρcos(θ+ )= 2上的点的最短 2 4 2 距离为________. 答案:2 2 π 2 3 解析:由题意,得曲线 l:ρcos(θ+ )= (ρcosθ-ρsinθ)= 2,所以曲线 l 的普通方程 4 2 2 |-1-3| 为 x-y-3=0,点 P 的直角坐标为 P(0,1),所以点到直线的距离 d= =2 2. 2 π 9. [2013· 宜宾模拟]在极坐标系中, 射线 θ= (ρ≥0)与曲线 C1:ρ=4sinθ 的异于极点的交 3 点为 A,与曲线 C2:ρ=8sinθ 的异于极点的交点为 B,则|AB|=________.

答案:2 3 π 解析:射线 θ= (ρ≥0)化为直角坐标方程为 y= 3x(x≥0),曲线 C1:ρ=4sinθ 化为直角 3 坐标方程为 x2+(y-2)2=4,曲线 C2:ρ=8sinθ 化为直角坐标方程为 x2+(y-4)2=16,联立

?y= 3x?x≥0?, ?x= 3, ?y= 3x?x≥0?, 解 得 故 点 A ( 3 , 3) . 联 立 解得 ?2 ? ?2 ?x +?y-2?2=4, ?y=3, ?x +?y-4?2=16, ?x=2 3, 故点 B(2 3,6).所以|AB|= ?2 3- 3?2+?6-3?2=2 3. ? ?y=6,
三、解答题 10. [2013· 潮洲模拟]在极坐标系中, 已知圆 ρ=2cosθ 与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切, 求实数 a 的值. 解:将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为 x2+y2=2x, 即(x-1)2+y2=1. 直线的方程为 3x+4y+a=0. |3×1+4×0+a| 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为 1,即有 =1, 32+42 解得 a=2 或 a=-8. 11. [2013· 德阳质检]在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标 π 系.曲线 C 的极坐标方程为 ρcos(θ- )=1,M、N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点. 3 (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. π 1 3 解:(1)由 ρcos(θ- )=1,得 ρ( cosθ+ sinθ)=1. 3 2 2 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y=1, 2 2 即 x+ 3y=2. 当 θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0). π 2 3 2 3 π 当 θ= 时,ρ= ,所以 N( , ). 2 3 3 2 (2)M 点的直角坐标为(2,0). 2 3 N 点的直角坐标为(0, ). 3 所以 P 点的直角坐标为(1, 3 ), 3

2 3 π π 则 P 点的极坐标为( , ),所以直线 OP 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R). 3 6 6 π 12. [2013· 长春模拟]已知曲线 C1 和 C2 的极坐标方程分别为 ρ=6 2cos(θ- )和 ρcos(θ+ 4

π )=4 2,长度为 1 的线段 AB 的两端点在曲线 C2 上,点 P 在曲线 C1 上,求△PAB 面积的 4 最大值和最小值. π 解:曲线 C1:ρ=6 2cos(θ- )=6cosθ+6sinθ, 4 即 ρ2=6ρcosθ+6ρsinθ,所以其直角坐标方程为 x2+y2=6x+6y, 即(x-3)2+(y-3)2=18; π 曲线 C2:ρcos(θ+ )=4 2表示直线 y=x-8,因为圆 C1 的圆心(3,3)到直线的距离 d= 4 4 2>3 2=r,即直线与圆相离,所以圆上的点 P 到直线的距离的最大值为 d+r=7 2,最 小值为 d-r= 2. 1 7 2 1 2 所以△PAB 面积的最大值为 ×1×7 2= ,最小值为 ×1× 2= . 2 2 2 2


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