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排列组合中的分组问题


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数 学 通 讯 

2 0 0 6年第 1 O期 

排 列 组合 中的分 组 问题 
郭润波  
( 卢 氏县 第 一 高 级 中 学 , 河南 4 7 2 2 0 0 )  

排 列组 合

一 章 的 习 题 中 , 常 常 涉 及 到 对 元 素进 

4 ) 分给甲、 乙、 丙三 人 , 甲得 1 本, 乙 得 2本 , 丙  得 3本 有 多 少 种分 法 ?  

行分组的问题. 题 目有 对 相 同元 素 分 组 和 对 不 同 元  素 分组 , 有 组 的 位 置 确 定 和 不确 定 多 种 情 况 . 学 生 弄  不 清 这 些题 目的 区 别 和 联 系 , 解 答 时 很 容 易 重 复 或  者遗漏. 本 文 编 拟 口诀 并 举 例 介 绍 巧 妙 解 决 分 组 问  题的方法.   1 相 同元 素 的 分 组 问题 ( 口诀 : 同元 分 组 用 挡 板 J   例1 将 1 2 个 相 同的 小 球 放 人 编 号 为 1 , 2 , 3 , 4   的盒子中 , 问 每 个 盒 子 中 至 少 有 一 个 小 球 的 放 法 有  多少种?   解 本题是将 1 2 个 球 分 成 四组 , 每组 必 须 有 球  的 问题 . 将 1 2个 球 排 成 一 排 , 中间有 l 1 个 间隔 , 在  这1 1 个 间 隔 中任 意选 出 3个 插 入 挡 板 , 把球 分成 4   组, 例如ooo { oooo I oo { ooo, 从 左 到 右  每 一组 的球 数 就 是 放 人 编 号 为 1 , 2 , 3 , 4的盒 子 中 的  球数 . 挡 板 的 每一 种 插 法 就 对 应 着 一 种 放 球 的 方 法 ,   所 以有 c }   =1 6 5种 不 同 的放 球 方 法 .   例2 将1 2个 相 同 的小 球 放 人 编 号 为 1 , 2 , 3 , 4   的 盒子 中 , 每 盒可 空 , 问有 多少 种 不 同的 放 球 方 法 ?   解 本题是将 1 2个 球 分 成 四组 , 允 许 若 干 组 无  球 的问 题 . 因为 若 干组 元 球 , 所 以挡板 可以 相邻. 有  1 5 个 位 置 选 择 其 中 任 意 3个 位 置 放 挡 板 , 其余 1 2   个位置放球 , 挡 板 的 每 一 种 放 法 就 对 应 着 一 种 放 球  的方 法 , 所 以有 C { s =4 5 5种 不 同 的放 球 方 法 .   例3 ( n 1 +  +n   + … +n   )  的 展 开 式 共 有 多 
少项7   .  

5 ) 分给甲、 乙、 丙三人 , 一人 1 本, 一 人 2本 , 一 
人 3本 , 有多少种分法?   一   6 ) 分成 4组 , 其 中’ 2组 各 1 本, 2 组 各 2本 , 有 多  少种分法?  



,   1 ) 第 一 组 可 以 从 6本 书 中 任 选 2本  第 二 

组可从剩余 的 4本 书中任选 2本 , 第三组 从最后 剩  余的 2 本 书中选  2 本, 有C : C :   种 方法 , 但任 意两 
组互 换 或 三 组 轮 换 分 法 是 相 同 的 , 所以 6 本 不 同 的 
2,   r I 2  

书平 均分成 3组有 
除 阶 乘)  

=1 5种方 法。( 等员分组 

2 ) 第 一组 可 以 从 6 本 书 中任选 1 本, 第 二 组 可  以从 剩 余 的 5本 书 中任 选 2本 , 第 三 组 从 最 后 剩 余  的 3本 书 中选 3 本, 所 以有 C :  C i =6 0种 不 同 的分  法. ( 不 等 员 一 分就 成 功 )   3 ) 6 本 不 同 的 书 平 均 分 成 3组 , 有  C 2  / A i   种方法 , 把 3组 不 同 的 分 给 甲 、 乙、 丙三人有 A j种分 
, 、z  z ,’ z  

法, 所 以甲 、 乙、 丙 三人 每人 2 本有 (  

) ×A i 一  

C : C i   =9 0种 不 同 分 法 . ( 等组 到位 去 分 母 )   4 ) 把6 本 不 同 的书 分 成 3 组, 一组 1 本, 一组 2   本, 一组 3本 , 有C :   a 种 分法 , 这 3 组 书分 给甲 、   乙、 丙三人 , 甲得 1 本, 乙得 2本 , 丙得 3 本 只 有 一 种  方法 , 所 以本 题 有 C :  C i 一6 0种 不 同 的 分 法 . ( 组  位 确 定 同 分组 )   5 ) 把6 本 不 同的 书 分 成 3 组, 一组 1 本, 一组 2   本, 一组 3 本, 有C :  C ; 种 不 同 的分 法 , 这 3 组 书 分  给 甲、 乙、 丙三人 , 一人  1奉 , 一人 2本 , 一人 3本 有 

解  展 开 式 每 一 项 的 形 式 为 n 1 ’?   ? n   勺   … ? ? n   , 其 中z 1 +  +z 3 + … +矗 一t . . . . t 一1 +  1 +1 +…+1 , 共£ 个1 , 将 t 个 1 分 成  组 , 第 (   =  1 , 2 , …, , z ) 组 中  l ” 的个数( 可 以 是 0个 ) 即 为 嚣 的  值. 用 一 1个 挡 板 将 t 个 1分 成 , z 组 的 具 体 方 法  为: 在£ +, z 一1 个位 置中任 意选 出 , z 一1 个 放挡 板 ,   共有 C  : 一   种放法 , 所 以 展 开 式 中共 有 C  一   项.   2 不 同元 素 的 分 组 问题 ( 口诀 : 异元分组选元素 J   口诀 : 等元分组除 阶乘 , 不等元 一分就 成功 ; 等  组 到 位 去 分母 , 不 等组 到位 两 种 情 形 : 组 位 确 定 同 分  组, 组位变换乘阶乘.   例 4 有 6本 不 同 的 书 ,   1 ) 平 均 分成 3组 有 多 少 种 不 同 的分 法 ?   2 ) 分成 3组 , 一组 1 本, 一 组 2本 , 一组 3   本, 有  多少种分法?   3 ) 分给 甲、 乙、 丙 三人 , 每 人 2本 有 多 少 种 不 同  的 分法 ?   。  

‘ 

A i 种分法 , 所  本 题甫 C ;  C j ×A i 一3 6 0 种不 同  
的分法。( 组 位变 换 乘 阶乘 )   6 ) 第一组从 6 1 本书 巾任 选 1 本, 第二 组从剩 余 

的5 本 书申任选 1本 , 第 三组从剩 余 的 4本 书中任 
选2 本, 第 四 组 从 最后 剩 余 的 2本 书 中 选 2本 , 有  C { c 5   C i   种方法 , 但 第 一组 和 第二 组 互换 分 法 相  ‘   士  
rl   r 、 2  

同, 第三组和第 四组互换 分 法相 同 , 所 以共有 
、  
r 、 2r 2  
?

^2  

∑   种分法. ( 部 分等 员分组 除 以元 素个敷 相 同 
^ 2  

的组 数 的 阶乘 )  

…  ( 收 稿 日期 : 2 o 0 5 一O 9 —2 7 )  


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