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2016届高考数学二轮复习 第三部分 专题三 考前易错易混盘点 第二讲 三角函数、解三角形、平面向量课件 文


第 三 部 分

考前 30 天

专 题 三

考前易错易混盘点

第二讲

三角函数、解三角形、平面向量

易错点 12 忽视角的范围致误 5 10 已知 sin α= 5 ,sin β= 10 ,且 α,β 为锐角, 则 α+β=________.

[错解] ∵α、β 为锐角, 2 5 ∴cos α= 1-sin α= 5 ,
2

3 10 cos β= 1-sin β= 10 .
2

∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β 5 3 10 2 5 10 2 = 5 × 10 + 5 × 10 = 2 . 又 0<α+β<π. 3 π ∴α+β=4或 α+β=4π.

[错因分析]

5 10 错解中没有注意到 sin α= 5 ,sin β= 10 本身

对角的范围的限制,造成错解.

[正解] 因为 α,β 为锐角, 2 5 所以 cos α= 1-sin2α= 5 , 3 10 cos β= 1-sin β= 10 .
2

所以 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 2 5 3 10 5 10 2 = 5 × 10 - 5 × 10 = 2 , π 又因为 0<α+β<π,所以 α+β=4.

对三角函数的求值问题,不仅要看已知条件中角的范围, 还要挖掘隐含条件, 根据三角函数值缩小角的范围; 本题中(0, π) 中的角和余弦值一一对应, 最好在求角时选择计算 cos(α+β)来避 免增解.

[即时领悟 12] π? 4? (1)已知 sin θ+cos θ=3?0<θ<4?,则 sin θ-cos θ 的值为( ? ? 2 A. 3 2 B.- 3 1 C.3 1 D.-3 )

π 4 π (2)设 α 为锐角,若 sin(3-α)=5,则 sin(2α+3)的值为 ________.

4 [解析] (1)∵sin θ+cos θ=3,∴(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ= 16 7 π 9 ,∴sin 2θ=9,又 0<θ<4,∴sin θ<cos θ. ∴sin θ-cos θ=- ?sin θ-cosθ?2 2 =- 1-sin 2θ=- 3 ,故选 B.

π π π 4 π (2)依题意得 cos[2-(3-α)]=sin(3-α)=5,即 cos(6+ 4 π π 2π π α ) = 5 , 又 α 为 锐 角 , 因 此 6 < 6 + α< 3 , sin ( α + 6 ) = π 3 π π 1-cos (α+6)=5,sin(2α+3)=sin 2(α+6)=2sin(α
2

π π 24 +6)· cos(α+6)=25.

24 [答案] (1)B (2)25

易错点 13 图象变化不清致误 2 要得到 y=sin(-3x)的图象,只需将 y= (cos 3x 2 -sin 3x)的图象上所有的点( π A.向左平移 个单位长度 4 π B.向右平移 个单位长度 4 π C.向左平移12个单位长度 π D.向右平移12个单位长度 )

2 [错解] ∵y= 2 (cos 3x-sin 3x)
? ?π ? ? π ?? =sin?4-3x?=sin?-3?x-12??. ? ? ? ?? ?

π ∴把 y=sin(-3x)的图象向右平移12个单位长度即可得到 y 2 = 2 (cos3x-sin3x)的图象,选 D.

2 [错因分析] 题目要求由 y= 2 (cos3x-sin3x)的图象得到 y =sin(-3x)的图象,位臵颠倒导致错误.
?π ? 2 [正解] y= 2 (cos 3x-sin 3x)=sin?4-3x? ? ? ? ? π ?? =sin?-3?x-12??, ? ?? ? ? ? π ?? π 要由 y=sin?-3?x-12??到 y=sin(-3x)只需对 x 加上12即可, ? ?? ?

2 π 因而是对 y= 2 (cos 3x-sin 3x)向左平移12个单位,故选 C.

函数图象的左右平移是自变量 x 发生变化,如 φ ωx→ωx±φ(φ>0)这个变化的实质是 x→x± ω,所以平移的距离并不 是 φ.

[即时领悟 13] (1)(2015· 洛阳期末)把函数
? π? y=sin?x+6?图象上各点的横坐标 ? ?

1 π 缩小到原来的2(纵坐标不变),再将图象向右平移 3个单位,那么 所得图象的一条对称轴方程为( π A.x=-2 π C .x = 8 π B.x=-4 π D.x= 4 )

π (2)对于函数 f(x)=sin(2x+6) , π ①函数图象关于直线 x=-12对称; 5π ②函数图象关于点(12,0)对称; π ③函数图象可看作是把 y=sin 2x 的图象向左平移6个单位而 得到;

π ④函数图象可看作是把 y=sin(x+6)的图象上所有点的横坐 1 标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)而得到. 以上叙述所有正确的是________(填写序号).

[解析]

(1)把函数

? π? y=sin?x+6?图象上各点的横坐标缩小到 ? ?

? π? 1 原来的2(纵坐标不变)所得函数图象的解析式为 y=sin?2x+6?,再 ? ?

π 将图象向右平移3个单位所得函数图象的解析式为 y=
? ? ? π? π? π? ? ? sin?2 x-3 +6?=sin?2x-2?=-cos ? ? ? ? ? ?

2x, 即 y=-cos 2x, 令 2x=kπ,

kπ kπ k∈Z,则 x= 2 ,k∈Z,即对称轴方程为 x= 2 ,k∈Z,故选 A.

π π π (2)函数 f(x)=sin(2x+6)的对称轴为 2x+6=kπ+2,k∈Z,解 kπ π π 得 x= 2 +6,k∈Z.而当 x=-12时,k 无解,故①错误;函数 f(x) π π kπ =sin(2x+6)图象的中心对称点的横坐标为 2x+6=kπ, 解得 x= 2 5π 5π π -12,k∈Z,当 k=1 时,x=12,所以函数图象关于点(12,0)对

π 称,故②正确;将函数 y=sin 2x 的图象向左平移6个单位得到的 π π 函数图象为 y=sin 2(x+6)=sin(2x+3),故③错误;利用三角函数 伸缩性易得④正确,所以正确的有②④.

[答案] (1)A (2)②④

易错点 14

三角形解的个数不清致误

在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c 且 a=1, c= 3. π (1)若 C=3,求 A; π (2)若 A=6,求 b,C.

a c [错解] (1)在△ABC 中,sin A=sin C, asin C 1 π 5π ∴sin A= c =2,∴A=6或 6 . csin A 3 a c (2)由sin A=sin C得 sin C= a = 2 , π π π ∴C=3,由 C=3知 B=2, ∴b= a2+c2=2.

[错因分析]

在用正弦定理解三角形时,易出现漏解或多解

asin C 的错误, 如第(1)问中没有考虑 c 边比 a 边大, 在求得 sin A= c 1 π 5π =2后,得出角 A=6或 6 ;在第(2)问中又因为没有考虑角 C 有两 csin A 3 π π 解,由 sin C= a = 2 ,只得出角 C=3,所以角 B=2,解得 b=2.这样就出现漏解的错误.

a c [正解] (1)由正弦定理得sin A=sin C, asin C 1 即 sin A= c =2. π π 又 a<c,∴A<C,∴0<A<3,∴A=6. π 3· sin6 csin A 3 a c (2)由sin A=sin C,得 sin C= a = 1 = 2 , π 2π ∴C=3或 3 .

π π 当 C=3时,B=2,∴b=2; 2π π 当 C= 3 时,B=6,∴b=1. 综上所述,b=2 或 b=1.

已知两边及其中一边的对角解三角形时,注意要对解的情 况进行讨论,讨论的根据一是所求的正弦值是否合理,当正弦值 小于等于 1 时,还应判断各角之和与 180° 的关系;二是两边的大 小关系.

[即时领悟 14] (1)若满足条件 AB= 3,C=60° 的三角形 ABC 有两个,则边 长 BC 的取值范围是( A.(1,2) C.( 3,2) ) B.( 2, 3) D.( 2,2)

(2)在△ABC 中,B=30° ,AB=2 3,AC=2,则△ABC 的面 积为________.

[ 解析 ]

3 (1) 若满足条件的三角形有两个,则 2 = sin C<sin

BC AB A<1,又因为sin A=sin C=2,故 BC=2sin A, π 2π ∵A∈(3, 3 ),所以 3<BC<2,故选 C. AB· sin B 2 3×sin 30° 3 AC AB (2)由sin B=sin C,得 sin C= AC = =2. 2 ∵AB>AC,∴C>B. ∴C=60° 或 120° .

∴A=90° 或 30° . 1 由△ABC 的面积 S=2AB· AC· sin A, 得 S=2 3或 3.

[答案] (1)C (2)2 3或 3

易错点 15

忽视向量共线致误 已知 a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,a 与 b 的夹角为

θ.若 θ 为锐角,则 λ 的取值范围是________. [错解] 2λ+1 a· b ∵cos θ=|a|· |b|= 5· λ2+1.

因为 θ 为锐角,有 cos θ>0, 2λ+1 ∴ >0?2λ+1>0, 5· λ2+1
? 1 ? 1 得 λ>-2,λ 的取值范围是?-2,+∞?. ? ?

[错因分析] 当向量 a, b 同向时, θ=0, cos θ=1 满足 cos θ>0, 但不是锐角. [正解] ∵θ 为锐角,∴0<cos θ<1.
2λ+1 a· b 又∵cos θ=|a|· |b|= 5· λ2+1, 2λ+1 2λ+1 ∴0< 且 ≠1, 2 2 5· λ +1 5· λ +1
? ?2λ+1>0, ∴? 2 ? ?2λ+1≠ 5· λ +1

1 ? ?λ>- , 2 ,解得? ? ?λ≠2. .

∴λ

? ? ? 1 ? ? 的取值范围是 λ λ>-2且λ≠2? ? ? ?

在解决两向量夹角问题时,一般地,向量 a,b 为非零向量, a 与 b 的夹角为 θ,则①θ 为锐角?a· b>0 且 a,b 不同向;②θ 为 直角?a· b=0;③θ 为钝角?a· b<0 且 a,b 不反向.

[即时领悟 15] → → (1)已知向量 a,b 不共线,若AB=λ1a+b,AC=a+λ2b,则 “A,B,C 三点共线”是“λ1λ2=1”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(2)设两个向量 e1,e2,满足|e1|=2,|e2|=1,e1 与 e2 的夹角为 π .若向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,则实数 t 的范围为 3 ________.

→ → [解析] (1)依题意,由 A,B,C 三点共线,可设AB=mAC (m≠0), 则有 λ1a+b=ma+mλ2b, 又 a, b
? ?m=λ1, 不共线, 因此? ? ?mλ2=1,

得 λ1λ2=1.反过来,由 λ1λ2=1 显然能得出 A,B,C 三点共线.综 上所述,“A,B,C 三点共线”是“λ1λ2=1”的充分必要条件, 故选 C.

(2)(2te1+7e2)· (e1+te2) =2t|e1|2+(2t2+7)e1· e2+7t|e2|2 =2t×4+2t2+7+7t =2t2+15t+7 ∵向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角, 1 ∴2t +15t+7<0,得-7<t<-2.
2

14 由 2te1+7e2 与 e1+te2 反向,得 t=- 2 .

故t

? 的范围是? ?-7,- ?

? 14? 14 1? ? ? ? ∪ - ,- ? ?. 2 ? 2 2 ? ? ?

[答案] (1)C

? (2)? ?-7,- ?

? 14? 14 1? ? ? ? ∪ - ,- ? 2 ? 2 2? ? ? ?

易错点 16

向量夹角概念不清致误 → → → → 已知等边△ABC 的边长为 1, 则BC· CA+CA· AB

→ → +AB· BC=________. [错解] → → → ∵△ABC 为等边三角形,∴|BC|=|CA|=|AB|=1,向

→ → → 量AB、BC、CA间的夹角均为 60° . → → → → → → 1 ∴BC· CA=CA· AB=AB· BC=2. → → → → → → 3 ∴BC· CA+CA· AB+AB· BC=2.

[错因分析] 数量积的定义 a· b=|a|· |b|· cos θ, 这里 θ 是 a 与 b → → 的夹角, 本题中BC与CA夹角不是∠C.两向量的夹角就为平面上同 → → 一起点表示向量的两条有向线段间的夹角,如图 BC与CA的夹角 应是∠ACD.

→ → [正解] 如图BC与CA的夹角应是∠ACB 的补角∠ACD, 即 180° -∠ACB=120° . → → → 又|BC|=|CA|=|AB|=1, 1 → → → → 所以BC· CA=|BC||CA|cos 120° =-2. 1 → → → → 同理得CA· AB=AB· BC=-2. 3 → → → → → → 故BC· CA+CA· AB+AB· BC=-2.

在判断两向量的夹角时,要注意把两向量平移到共起点, 这样才不至于判断错误.平面向量与三角函数的结合,主要是指 题设条件设臵在向量背景下,一旦脱去向量的“外衣”,实质变 成纯三角问题.

[即时领悟 16] → → (1)(2015· 南昌零模)在△ABC 中,|AB|=3,|AC|=2,点 D 满 → → → → 足 2BD=3DC,∠BAC=60° ,则AD· BC=( 8 9 8 9 A.-5 B.5 C.5 D.-5 → → → → (2)已知△ABC 中,|AB|=4,|AC|=1,S△ABC= 3,则AB· AC的 值为________. )

→ → → 3→ → → [解析] (1)因为 2BD=3DC, 所以BD=5BC, 所以AD=AB+ → → 3→ → 3 → → BD=AB+5BC=AB+5(AC-AB)= 3→ 2→ → → ?3 → 2 → ? → ?3 → 2 → ? → ? AC+ AB?· ? AC+ AB?· AC + AB ,所以 AD · BC = BC = 5 ? 5 ? (AC 5 5 ?5 ?5 3→2 1→ → 2→2 3 1 2 → 2 - AB ) = 5 AC - 5 AB · AC - 5 AB = 5 ×2 - 5 ×2×3×cos 60° -5 9 ×3 =-5,故选 D.
2

1 3 (2)因为 S△ABC=2×4×1×sin A= 3,所以 sin A= 2 ,得 A 2π → → π =3或 A= 3 ,AB· AC=1×4×cos A=± 2.
[答案] (1)D (2)± 2


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