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高中立体几何最佳解题方法及考题详细解答


高中立体几何最佳解题方法总结
一、 线线平行的证明方法
1、 利用平行四边形; 2、 利用三角形或梯形的中位线; 3、 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面与这个相交,那么这条直线和交线平行。 (线面平行的 性质定理) 4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行的性质定理) 5、 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这

两条直线平行。 (线面垂直的性质定理) 6、 平行于同一条直线的两个直线平行。 7、 夹在两个平行平面之间的平行线段相等。

二、

线面平行的证明方法

1、 定义法:直线和平面没有公共点。 2、 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线就和这个平面平行。 (线面平行的判定 定理) 3、 两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。 4、 反证法。

三、

面面平行的证明方法

1、 定义法:两个平面没有公共点。 2、 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 (面面平行的判定定理) 3、 平行于同一个平面的两个平面平行。 4、 经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行。 5、 垂直于同一条直线的两个平面平行。

四、

线线垂直的证明方法

1、 勾股定理; 2、等腰三角形; 3、菱形对角线; 4、圆所对的圆周角是直角; 5、点在线上的射影; 6、如果一条直线和这个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。 7、在平面内的一条直线,如果和这个平面一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。 (三垂线定理) 8、 在平面内的一条直线,如果和这个平面一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 9、 如果两条平行线中的一条垂直于一条直线,那么另一条也垂直于这条直线。

五、

线面垂直的证明方法:

1、 定义法:直线与平面内的任意直线都垂直; 2、 点在面内的射影; 3、 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线就和这个平面垂直。 (线面垂直的判定定理) 4、 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。 (面面垂直的性质 定理) 5、 两条平行直线中的一条垂直于平面,那么另一条必垂直于这个平面。 6、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么这条直线必垂直于另一个平面。 7、 两相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交线必垂直于第三个平面。 8、 过一点,有且只有一条直线与已知平面垂直。 9、 过一点,有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、

面面垂直的证明方法:

1、 定义法:两个平面的二面角是直二面角; 2、 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直; (面面垂直的判定定理) 3、 如果一个平面与另一个平面的垂线平行,那么这两个平面互相垂直。

4、 如果一个平面与另一个平面的垂面平行,那么这两个平面互相垂直。

a ? ?? ??? ? ? a ? ??

高中立体几何经典考题及方法汇总

1 线面平行的判定

E 是 AA1 的中点, 1、如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, BDE 。 求证: AC 1 // 平面
证明:连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO , ∵ E 为 AA1 的中点, O 为 AC 的中点 ∴ EO 为三角形 A 1 AC 的中位线 ∴ EO // AC 1 B1 A
1

D1

E

C
1

A

D

BDE 外 又 EO 在平面 BDE 内, AC 1 在平面
B

BDE 。 ∴ AC 1 // 平面

C

2 线面垂直的判定 2、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证: AD ? 面 SBC . 证明:∵?ACB ? 90 °

? BC ? AC ? S A? B C 又 SA ? 面 ABC ? BC ? 面 SAC ? BC ? AD
A

S

D B C

又 SC ? AD, SC ? BC ? C ? AD ? 面 SBC 3 线面平行的判定(利用平行四边形) ,线面垂直的判定 3、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2) AC ? 面 AB1D1 . 1 证明: (1)连结 AC 1 1 ,设

D1 A1 D O A B B1

C1

AC 1 1 ?B 1D 1 ?O 1 ,连结 AO

1

C

∵ ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正方体 ∴A1C1∥AC 且 AC 1 1 ? AC

? A1 ACC1 是平行四边形

又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点,∴O1C1∥AO 且 O1C1 ? AO

? AOC1O1 是平行四边形 ?C1O∥AO1, AO1 ? 面 AB D , C O ? 面 AB D ∴C O∥面 AB D 1 1 1 1 1 1 1 1 (2) CC1 ? 面 A1B1C1D1 ?C C 1 ? B 1 D ! ∵ AC ? B D 1 1 1 1 又 , ? B1 D1 ? 面 A1 C1 C 即A 1 C? B 1 D 1 AC ? AD D B ? AD ? D 1 1 1 1 1 1 同理可证 , 又 ? 面 AB1D1 ? AC 1
4 线面垂直的判定 4、正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,求证: (1) AC ? 平面B ' D ' DB ; (2) BD ' ? 平面ACB ' .

5 线面平行的判定(利用平行四边形)

5、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中.(1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. 证明:(1)由 B1B∥DD1,得四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴B1D1∥BD, 又 BD ?平面 B1D1C,B1D1 ? 平面 B1D1C, ∴BD∥平面 B1D1C. 同理 A1D∥平面 B1D1C. 而 A1D∩BD=D,∴平面 A1BD∥平面 B1CD. (2)由 BD∥B1D1,得 BD∥平面 EB1D1.取 BB1 中点 G,∴AE∥B1G. A1 E

D1 B1

C1 F

D A

G B

C

从而得 B1E∥AG,同理 GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF.∴DF∥平面 EB1D1.∴平面 EB1D1∥平面 FBD. 6 三垂线定理 6 、如图 P 是 ?ABC 所在平面外一点, PA ? PB, CB ? 平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点,

AN ? 3NB (1)求证: MN ? AB ; (2)当 ?APB ? 90 , AB ? 2 BC ? 4 时,求 MN 的长。 证明: (1)取 PA 的中点 Q ,连结 MQ, NQ ,∵ M 是 PB 的中点, ∴ MQ // BC ,∵ CB ? 平面 PAB ,∴ MQ ? 平面 PAB A ? P B ,∴ ∴ QN 是 MN 在平面 PAB 内的射影 , 取 AB 的中点 D , 连结 PD , ∵P PD ? AB ,又 AN ? 3NB ,∴ BN ? ND ∴ QN // PD ,∴ QN ? AB ,由三垂线定理得 MN ? AB
[来源:学§科§网]

P M

C

A N

B

( 2 )∵ ?APB ? 90 , PA ? PB, ∴ PD ?

1 AB ? 2 ,∴ QN ? 1 ,∵ MQ ? 平面 PAB . ∴ MQ ? NQ ,且 2

MQ ?

1 BC ? 1 ,∴ MN ? 2 2

7 线面平行的判定(利用三角形中位线) ,面面垂直的判定

E 是 AA1 的中点. 7、如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, BDE ; (1)求证: AC 1 // 平面
(2)求证:平面 A1 AC ? 平面 BDE . 证明: (1)设 AC ? BD ? O , ∵ E 、 O 分别是 AA1 、 AC 的中点,? AC 1 ∥ EO

BDE 又 AC ? 平面 BDE , EO ? 平面 BDE ,? AC 1 ∥平面 1
(2)∵ AA1 ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , AA1 ? BD 又 BD ? AC ,

AC ? AA1 ? A , BD ? 平面 A AC , BD ? 平面 BDE , 平面 BDE ? 平面 A AC ? ? 1 1

8 线面垂直的判定,构造直角三角形 8、已知 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , AB ? 2 , PA ? AD ? 4 , E 为 BC 的中点. (1)求证: DE ? 平面 PAE ; (2)求直线 DP 与平面 PAE 所成的角.
2 2 2 证明:在 ?ADE 中, AD ? AE ? DE ,? AE ? DE

∵ PA ? 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,? PA ? DE 又 PA ? AE ? A ,? DE ? 平面 PAE (2) ? DPE 为 DP 与平面 PAE 所成的角 在 Rt ?PAD , PD ? 4 2 ,在 Rt ?DCE 中, DE ? 2 2 在 Rt ?DEP 中, PD ? 2 DE ,? ?DPE ? 30
0

9 线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)

9 、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 60 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是等边三角形,
0

且平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB ; (3)求二面角 A ? BC ? P 的大小. 证明: (1) ?ABD 为等边三角形且 G 为 AD 的中点,? BG ? AD 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,? BG ? 平面 PAD (2) PAD 是等边三角形且 G 为 AD 的中点,? AD ? PG 且 AD ? BG , PG ? BG ? G ,? AD ? 平面 PBG ,

PB ? 平面 PBG ,? AD ? PB
(3)由 AD ? PB , AD ∥ BC ,? BC ? PB 又 BG ? AD , AD ∥ BC ,? BG ? BC

? ?PBG 为二面角 A ? BC ? P 的平面角

在 Rt ?PBG 中, PG ? BG ,? ?PBG ? 45

0

10 线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直

M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: AO 10、如图 1,在正方体 ABCD ? A ? 平面 MBD. 1B 1C1D 1 中, 1
证明:连结 MO, A1M ,∵DB⊥ A 1 A ,DB⊥AC,

A1 A ? AC ? A ,

∴DB⊥平面 A ? 平面 A1 ACC1 ∴DB⊥ AO 1 ACC1 ,而 AO 1 . 1
2 设正方体棱长为 a ,则 A1O ?

3 2 3 a , MO 2 ? a 2 . 2 4


A1M 2 ? 在 Rt△ A1C1M 中,

9 2 2 2 2 a . ∵ AO , ∴A O O ? M ? MO ? A1M 1 1 4

∵OM∩DB=O,∴ AO 1 ⊥平面 MBD. 11 线面垂直的判定 11、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD, 作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H.求证:AH⊥平面 BCD. 证明:取 AB 的中点F,连结 CF,DF. ∵ AC ? BC ,∴ CF ? AB . ∵ AD ? BD ,∴ DF ? AB . 又 CF DF ? F ,∴ AB ? 平面 CDF. ∵ CD ? 平面 CDF,∴ CD ? AB . 又 CD ? BE , BE ? AB ? B , ∴ CD ? 平面 ABE, CD ? AH . ∵ AH ? CD , AH ? BE , CD ? BE ? E , ∴ AH ? 平面 BCD. 12 线面垂直的判定,三垂线定理 12、证明:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1C⊥平面 BC1D
D1 A1 B1 C1

D A B

C

证明:连结 AC

∵B D ⊥ AC ∴ AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影

? BD?A1C

? ? ? A1C?平面BC1 D 同理可证A1C?BC1 ?


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