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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(27)


加试模拟训练题(27) (附详细答案) 1、在直角三角形 ABC 中,AD 是斜边 BC 上的高.连接△ABD 的内心与△ACD 的内心的直 线,分别与边 AB 及 AC 交于 K 及 L 两点.△ABC 与△AKL 的面积分别记为 S 与 T.求证: S≥2T. 2.设 ?ABC 三边长为 a, b, c ,有不等式 试证不等式①中的系数 ? (b ? c) 2 ? 1 b?c (b ? c) 2 , ------① ? 3 a 1 是最优的. 3 2 2 2 3、设 x1 , x 2 , ? , x n 为实数,满足 x12 ? x 2 ? x3 ? ? ? xn ? 1, 求证:对于每一整数 k ? 2 , 存在不全为零的整数 a1 , a 2 , ? , a n , 使得 | ai |? k ? 1(i ? 1,2,3, ? , n), 并且 | a1 x1 ? a 2 x 2 ? ? ? a n x n |? (k ? 1) n . k n ?1 4、设 a ? 10 1010 ,计算某星期一后的第 a 天是 6 星期几? 加试模拟训练题(27) 1、在直角三角形 ABC 中,AD 是斜边 BC 上的高.连接△ABD 的内心与△ACD 的内心的直 线,分别与边 AB 及 AC 交于 K 及 L 两点.△ABC 与△AKL 的面积分别记为 S 与 T.求证: S≥2T. 【题说】 第二十九届(1988 年)国际数学奥林匹克题 5.本题由希腊提供. 【证】 设△ABD 的内心为 M,△ACD 的内心为 N.由于△ADB∽△CDA,并注 DM BD 意到 DM 与 DN 是由 D 出发的两条分角线,故有 = 且∠MDN=90? DN AD 从而得 △NMD∽△ABD 所以, △DMN 与△ABD 的对应边的交角相等, 即∠LKA=∠BDM=45?. 故△ALK 是等腰直角三角形.又由∠AKM=45?=∠MDA,则△AMK≌△AMD 得 AK=AD=AL 2 2 1 1 1 AB ·AC 于是 T= AK·AL= AD2= · 2 2 2 2 AB +AC2 2 2 S AB +AC 因此 = ≥1,即 S≥2T 2T 2AB·AC 2.设 ?ABC 三边长为 a, b, c ,有不等式 试证不等式①中的系数 分析 可将系数 ? (b ? c) 2 ? 1 b?c (b ? c) 2 , ------① ? 3 a 1 是最优的. 3 1 1 一般化,设系数为 k ,再证明 k 的取值范围是 k ? . 3 3 a?b 证明 在不等式①中,取 a ? b ,设 ? ? ? (a ? b) 2 ? k ? ( a ? b) 2 c ? (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a ) 2 ? k[ b?c c?a a?b (b ? c) 2 ? (c ? a ) 2 ? ( a ? b) 2 ] a b c 令 a ? b ,所以 ? ? 2(b ? c) 2 ? 2k 2k (b ? c) 2 1 ? k b?c 2 ? [b( ) ? c], (b ? c) b k b 又因在 ?ABC 中,三边长为 a, b, c ,取 a ? b ,显然有不等式 2b ? c ? 0, 所以,要使 ? ? 0 ,注意到 k 为正数,则须 是成立的,故 k ? 1? k 1 ? 2 ,即 k ? ,但已证不等式① k 3 1 是不等式①的最优值. 3 2 2 2 3、设 x1 , x

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