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4[1].2.1《直线与圆的位置关系》课件(新人教A版必修2)


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4.2.1《直线与圆的位置关系》

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教学目标

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/>1、知识与技能 (1)理解直线与圆的位置的种类; (2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离; (3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 3、情态与价值观 让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,培养学生数形结合的思 想.

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二、教学重点、难点: 重点: 直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 难点: 用坐标法判直线与圆的位置关系.

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一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台 的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受影响 的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台 风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么 它是否会受到台风的影响?
y

为解决这个问题,我们以 台风中心为原点 O,东西方向 为 x 轴,建立如图所示的直角 坐标系,其中取 10km 为单位 长度.

港口

O

轮船

x

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这样,受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的 圆的方程为:
x ? y ?9
2 2

轮船航线所在直线 l 的方程为:

y 港口

4 x ? 7 y ? 28 ? 0

问题归结为圆心为O的 圆与直线l有无公共点.

O

轮船

x

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想一想,平面几何中,直线与圆有哪几种位置关系?
平面几何中,直线与圆有三种位置关系:
(1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点.

(1)

(2)

(3)
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在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关 系?现在,如何用直线和圆的方程判断它们之 间的位置关系? 先看几个例子,看看你能否从例子中总结 出来.

(1)

(2)

(3)
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3 例1 如图,已知直线l: x
2 2

? y ? 6 ? 0 和圆心为C的

圆 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 果相交,求它们交点的坐标. 分析:方法一,判断直线l与圆的位置关系,就是看由 它们的方程组成的方程组有无实数解; 方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系, 判断直线与圆的位置关系.

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3 例1 如图,已知直线l: x
2 2

? y ? 6 ? 0 和圆心为C的

圆 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 果相交,求它们交点的坐标. 解法一:由直线 l 与圆的方程,得:
?3 x ? y ? 6 ? 0, ? 2 2 ? x ? y ? 2 y ? 4 ? 0.

消去y,得:
x
2

? 3x ? 2 ? 0

因为: ? ? ( ? 3 ) 2 ? 4 ? 1 ? 2 =1>0 所以,直线 l 与圆相交,有两个公共 点.
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3 例1 如图,已知直线l: x
2 2

? y ? 6 ? 0 和圆心为C的

圆 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 果相交,求它们交点的坐标.
2 2 解法二:圆 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 可化为 x ? ( y ? 1 ) ? 5 .

2

2

其圆心C的坐标为(0,1),半径长为 5 ,点C (0,1)到 直线 l 的距离
d ? |3? 0 ? 1? 6 | 3 ? 12
2

?

5 10

?

5

所以,直线 l 与圆相交,有两个公共点.

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3 例1 如图,已知直线l: x
2 2

? y ? 6 ? 0 和圆心为C的

圆 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 果相交,求它们交点的坐标. 解: 由 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,解得:
x1 ? 2 , x 2 ? 1 x2 ? 1 把 x 1 ? 2 ,代入方程①,得 y 1 ? 0 ; x 1 ? 把 x 2 ? 1 代入方程① ,得 y 2 ? 3 . 2,

所以,直线 l 与圆有两个交点,它们的坐标分别是:

A(2,0),B(1,3)
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例2 已知过点 M ( ? 3 , ? 3 ) 的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求直线的方程. 解:将圆的方程写成标准形式,得:
x ? ( y ? 2 ) ? 25
2 2

如图,因为直线l 被圆所截得的弦长是 4
5 ? (
2

5

,所以弦心距为

4 2

5

)

2

?

5

即圆心到所求直线的距离为 5 .
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例2 已知过点 M ( ? 3 , ? 3 ) 的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求直线的方程.

解:因为直线l 过点 M ( ? 3 , ? 3 ) ,
所以可设所求直线l 的方程为:y ? 3 ? k ( x ? 3 )

即: kx ? y ? 3 k ? 3 ? 0
根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线l 的距离:
d ? | 2 ? 3k ? 3 | k
2

?1

因此:

| 2 ? 3k ? 3 | k
2

?1

?

5
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例2 已知过点 M ( ? 3 , ? 3 ) 的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求直线的方程.

解:即: 3 k ? 1 | ? |

5 ? 5k

2

两边平方,并整理得到: 2 k ? 3 k ? 2 ? 0
2

解得: k ? ?

1 2

,或 k ? 2

所以,所求直线l有两条,它们的方程 分别为:
y ? 3 ? ? 1 2 ( x ? 3)



y ? 3 ? 2 ( x ? 3)

即: x ? 2 y ? 9 ? 0 , 或 2 x ? y ? 3 ? 0
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回顾我们前面提出的问题:如何用直线和 圆的方程判断它们之间的位置关系?
判断直线与圆的位置关系有两种方法:

方法一:判断直线l与圆C的方程组成的方程组是 否有解.如果有解,直线l与圆C有公共点.有两组实 数解时,直线l与圆C相交;有一组实数解时,直线l与 圆C相切;无实数解时,直线l与圆C相离.
方法二:判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半 径r的关系.如果d< r ,直线l与圆C相交;如果d= r , 直线l与圆C相切;如果d> r ,直线l与圆C相离.
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知识小结

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有无交点,有几个.

判断直线与圆 的位置关系

直线l与圆C的方程组成的方 程组是否有解,有几个解.

判断圆C的圆心到直线l的距 离d与圆的半径r的关系(大 于、小于、等于).
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