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2013-2014版高中数学(人教A版)选修1-1活页规范训练 2-3-1抛物线及其标准方程 Word版含解析]


2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程
双基达标
1.抛物线 y2=-8x 的焦点坐标是( A.(2,0) 解析 B.(-2,0)

(限时 20 分钟)
). C.(4,0) D.(-4,0)

p 依题意,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半轴上,由 2p=8,得 = 2

2,

故焦点坐标为(-2,0),故选 B. 答案 B ).

2.若抛物线 y2=8x 上一点 P 到其焦点的距离为 10,则点 P 的坐标为( A.(8,8) C.(8,± 8) 解析 B.(8,-8) D.(-8,± 8)

设 P(xP,yP),∵点 P 到焦点的距离等于它到准线 x=-2 的距离,∴xP

=8,yP=± 8,故选 C. 答案 C ). x2 y2 3.以双曲线16- 9 =1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( A.y2=16x C.y2=8x 解析 B.y2=-16x D.y2=-8x

x2 y2 由双曲线方程16- 9 =1,可知其焦点在 x 轴上,由 a2=16,得 a=4,

∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0),∴抛物线的焦点为 F(4,0).设抛物线的 p 标准方程为 y2=2px(p>0),则由2=4,得 p=8,故所求抛物线的标准方程为 y2=16x. 答案 A

4.设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离 是________.

解析

p 4 由抛物线的方程,得2=2=2,再根据抛物线的定义,可知所求距离为

4+2=6. 答案 6

5.若直线 ax-y+1=0 经过抛物线 y2=4x 的焦点,则实数 a=________. 解析 答案 抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0),代入 ax-y+1=0,解得 a=-1. -1

6.根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)准线方程是 y=3; (2)过点 P(-2 2,4); (3)焦点到准线的距离为 2. 解 p (1)由准线方程为 y=3 知,抛物线的焦点在 y 轴负半轴上,且2=3,则 p

=6,故所求抛物线的标准方程为 x2=-12y. (2)∵点 P(-2 2, 4)在第二象限, ∴设所求抛物线的标准方程为 y2=-2px(p>0) 或 x2=2py(p>0), 将点 P(-2 2,4)代入 y2=-2px,得 p=2 2;代入 x2=2py,得 p=1.∴所 求抛物线的标准方程为 y2=-4 2x 或 x2=2y. (3)由焦点到准线的距离为 2, 得 p= 2, 故所求抛物线的标准方程为 y2=2 2 x,y2=-2 2x,x2=2 2y 或 x2=-2 2y.

综合提高
A.椭圆 C.双曲线的一支 解析

(限时 25 分钟)
). B.双曲线 D.抛物线

7. 动点到点(3, 0)的距离比它到直线 x=-2 的距离大 1, 则动点的轨迹是(

已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线 x=-3 的距

离”,由抛物线的定义可判断,动点的轨迹为抛物线,故选 D. 答案 D

8.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到 直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ).

A.2 解析

B.3

11 C. 5

37 D.16

直线 l2:x=-1 为抛物线 y2=4x 的准线,

由抛物线的定义知,P 到 l2 的距离等于 P 到抛物 线的焦点 F(1,0)的距离,故本题化为在抛物线 y2=4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F(1,0)和直线 l1 的距离之和最小,最小值 |4-0+6| 为 F(1,0)到直线 l1:4x-3y+6=0 的距离,即 dmin= =2,故选择 5 A. 答案 A

9 .已知抛物线 y2 = 2px(p>0) 的准线与圆 (x - 3)2 + y2 = 16 相切,则 p 的值为 ________. 解析 p 由抛物线方程 y2=2px(p>0),得其准线方程为 x=-2,又圆的方程为

p (x-3)2+y2=16,∴圆心为(3,0),半径为 4.依题意,得 3-(-2)=4,解得 p =2. 答案 2

1 10.抛物线 y=-4x2 上的动点 M 到两定点 F(0,-1),E(1,-3)的距离之和的 最小值为________. 解析 将抛物线方程化成标准方程为 x2=-4y,

1 可知焦点坐标为(0,-1),-3<-4,所以点 E(1,-3)在抛物线的内部,如图所示,设抛物线 的准线为 l,过 M 点作 MP⊥l 于点 P,过点 E 作 EQ⊥l 于点 Q,由抛物线的定义可知,|MF|+|ME|=|MP|+|ME|≥|EQ|,当且 仅当点 M 在 EQ 上时取等号,又|EQ|=1-(-3)=4,故距离之和的最小值为 4. 答案 4

11.已知动圆 M 经过点 A(3,0),且与直线 l:x=-3 相切,求动圆圆心 M 的轨 迹方程. 解 法一 设动点 M(x,y),设⊙M 与直线 l:x=-3 的切点为 N,则|MA|=

|MN|,即动点 M 到定点 A 和定直线 l:x=-3 的距离相等,所以点 M 的轨迹 是抛物线,且以 A(3,0)为焦点,以直线 l:x=-3 为准线, p ∴2=3,∴p=6. ∴圆心 M 的轨迹方程是 y2=12x. 法二 设动点 M(x,y),则点 M 的轨迹是集合 P={M||MA|=|MN|},

即 (x-3)2+y2=|x+3|,化简,得 y2=12x. ∴圆心 M 的轨迹方程为 y2=12x. → → → → 12. (创新拓展)设 F(1, 0), 点 M 在 x 轴上, 点 P 在 y 轴上, 且MN=2MP, PM· PF =0. (1)当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹 C 的方程; (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲线 C 上除去原点外的不同三点,且 → → → |AF|,|BF|,|DF|成等差数列,当线段 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3,0) 时,求点 B 的坐标. 解 → → y (1)设 N(x,y),由MN=2MP,得点 P 为线段 MN 的中点,∴P(0,2),

M(-x,0), → y → y ∴PM=(-x,-2),PF=(1,-2). → → y2 由PM·PF=-x+ 4 =0,得 y2=4x. 即点 N 的轨迹方程为 y2=4x. (2)由抛物线的定义,知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,|DF|=x3+1, → → → ∵|AF|,|BF|,|DF|成等差数列, ∴2x2+2=x1+1+x3+1,即 x2= ∵线段 AD 的中点为( E(3,0), x1+x3 2 .

x1+x3 y1+y3 2 , 2 ),且线段 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点

y1+y3 2 -0 ∴线段 AD 的垂直平分线的斜率为 k= . x1+x3 2 -3 y3-y1 y3-y1 y1+y3 又 kAD= ,∴ · =-1, x3-x1 x3-x1 x1+x3-6 即 4x3-4x1 =-1. 2 2 (x3-x1)-6(x3-x1)

∵x1≠x3,∴x1+x3=2, 又 x2= x1+x3 ,∴x2=1. 2

∵点 B 在抛物线上,∴B(1,2)或(1,-2).


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