大一上-画法几何总复习

平行关系
一、直线与平面平行
1. 几何条件：若一直线与平面上任一直线平行，则 此直线与该平面互相平行。
B D
b C A E

a b' f' d' d b c' c

e'

F
a f e

X

O
f a e

H

d

c

EF∥△ABC面上AD线 则EF∥△ABC

投影图

二、平面与平面平行
1. 几何条件：若一平面上的两条相交直线对应平行于 另一平面上的两条相交直线，则该两平面互相平行。

P
B N M H F

b'

e' f' n' c'

R
E G

a' X

m' b

g' O e
f

c n a m

△ABC∥△EFG

g

例

已知 ：MN、PQ决定的平面与平面ABC平行， 试补全三角形ABC的正面投影。
n'
q' 1'

b'

做图步骤： 作n1//bc n2//ba
nn ' 11 ' //b' c' m' 2' p'

~

~

c'

X

a' n b 1 q a

O
~
c

n' 2?// b' a'
m p

~
2

一般位置平面与特殊位置平面相交
一平面有积聚投影m?
V M B K F m N C f b n H k a l L P

b?

c?

f? n? m

k?

l?
a?

k b f

a l

c
n

c PH

一般位置直线与一般位置平面相交
M

无积聚投影

过MN 作平面Q 垂直于V 投影面

A

C

B
N 以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图

以铅垂面为辅助平面求线面交点

示意图

A

M

K E

F

C

B

N
过MN作平面P垂直于H投影面

以正垂面为辅助平面求线面交点 QV f? c?

1?
b? k?

步骤： 1、 过EF作正 垂平面Q。 2、求Q平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。

2?
e?
f b k

a? a

2

3、求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。

1

c

e

两一般位置平面相交 方法1： 辅助平 面法
3'

判别可见性

c' m'
4'

d' f' n'
1'(2')

B E M

L

R C

a' e'

b' c
2

A a

J

D m
b d RH c

e
3(4)

n 1 m

b

f

QH

e

H

a

d

RH

定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于 该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面 的正平线的正面投影。 n?

直角定理

V

a? C
E B D n a k

k? d?

e?

c?

b?

A

e d

c b

定理2（逆）： 若直线的正面投影垂直于平面上的正平线的正面投影 直线的水平投影垂直于平面上的水平线的水平投影。 n?

V

f? c? C E B d? k?

A

a?

b?

f
d a c b

k

D

则直线垂直平面 （ 根据直角定理）

n

例题

平面由? BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面
h?
f? c? g? k? b?

a?
d? f

k c b h g

a
d

直线、平面的相互关系综合题
方法1
过K点作一 直线KL与 平面ABC平 行与直线 EF相交 过K点作 一平面 KDP与平 面ABC平 行。 求平面 KDP与直 线EF交 点L，连 KL
d'

m'
l' // f' b' // k' c' n' f l n // b k c a'

e'

p'

p

//
a

d m e Ph

直线、平面的相互关系综合题
(b1)a1 k1 c1 f1 f' l' X1 b'

过K点作 一直线KL 与平面ABC

e1

l1

平行与直
线EF相交 。

e'
方法二 用换面 法求解 l f

k'

c'

a'

c a

b e k

例题

试过定点A作直线与已知直线EF正交。 f?

e? e

a?

a

f

分析 过已知点A作平面与已知直线EF垂直交于点K，连接AK，AK即为 所求。 A

E

K

F

2?

f?

作图过程
k?

2?

f?

e?

1?

a?
PV

e?

1?

a?

e

e

2

a

2
k

a

f

f

1

1

特点记忆
b?

一框两线平行面，线框显实形,直线竖或横。 两框一线垂直面，两框类似形,斜线积聚成。 c? b b?

a?
c?

a?

?

b?

c

a? b

?

β c

b c

? α

a

?
a

a X
b

w

O

?
c

c

b

a

?
b
a

c

a c

三框无线一般面，位置最分明。

取属于平面的点 b? e?

d?
B E D C

c?

a? c

a

d
A

e b

取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线

取属于平面的直线

b?
e?
B
E D C F

f?

d? a?

c?

a

c

A

d
b

f e

取属于平面的线，要先取自属于该平面的已知点

例题：已知四边形ABCD的V面投影及AB、BC的H面投影， 完成H面投影。 解1 解2

a' b' a

e'

d' c'
O X

a'

d'

e'
b'

c'
O

X

d e

c

a

d e c

b

b

例题 已知直线EF在平面 上，求其未知投影。 , ABC , c e , , f s , k , b , a a b

k
s c e f

16

投影变换 综合作图问题

如何求点到直线的距离呢？

投影面 垂直线

距离

用变换投影面法，简单！

将直线变换为投影面垂直线。

例题
求K点到直线AB之 距离及投影。
距离 A X V H O1

k? a?

t?

b?

a t k b

O

K H2
k2

T
k1?

a1?

t1?
b1?

B a2(b2) (t2)

H V1 X 1 O2 a2(b2) (t ) 2

V1 X2 H 2 k2

距离

如何求两平面的夹角? 两平面的交线

?
将两平面的交线变换成投影面垂直线

例题

求具有公共边BC的△ABC和△BCD的夹角?。
a? C b? d? c?

X B c (b)
? D H d c2 (b2) a1? a2 d2 X2 X1 a b b1? c

O
O1

A

d

a

c1?

d1?

思考题

如何求两直线AB与CD间的距离？
b?

b?
a? c? X V d b d? X

a?

提示

V H
b a a2 (b2)

c
a

例题:已知直线AB和CD,其距离为20mm,求CD的V面投影。
X1 a1(b1) b? d? c1(d1)

a? X a c

c? O b d

四棱柱体表面定线
d c b b (d )

c

D

C B
a y d a

A
定线先定点 特殊点:利用从属性 一般点:利用积聚性

(a)b
c

y

2、三棱锥体表面上取点
S

S' k'

S" k"
(N)

K C B
E

a'
a

1'

b'
k S

c'
a"(c'') c

b"

A

1

b

一般位置表面 上的点采用辅 助线的方法作 图。但要判断 可见性。

特殊位置表面上的点 利用平面的积聚性

三棱锥体的特殊位置表面上点的求法
S
s s

n （n） a a c c y1 s a (c )

(N)

b
n

A
y1 b

C B

b

特殊位置表面 上的点利用表 面的积聚性作 图。。

圆柱体表面定线

c 1 a b

(c)

(1)

a y

b

a 1

c y

b

定线先定点 特殊点:利用从属性 一般点:利用积聚性

圆锥体表面定线
c?

1? a? b?

（c?）
（1?） a? b?

解题时注意 曲线AB的 性质

y a b c 1 定线先定点 特殊点:利用从属性 一般点:作辅助素线或辅助 维圆 y

例：作四棱柱被截切后的投影。
a' (b') b"?

?a"

B
A

b

a

分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个 棱面均垂直于水平面，截平面与棱线 的交点均在棱面的投影上。此题还应 作出两截平面的交线AB的投影。

完成后的投影图

例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4?) 3? 1? 2? 4?
● ●

1?
●

2?

●

3?

4 3
●

●

●

1

●

2

★ 投影分析 ★ 求截交线 ★ 分析棱线的投影 ★ 检查

分析：圆柱的轴线是侧垂 例：已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。 线，截断体分别由侧平面、 1" 1' 正垂面、水平面截切圆柱 · · 3" ? ? 2" (3') ? 2' 体而成的。
10' a' (b')
?

11" ?

?10" ?

8' ? 6'(7') 4 ' (9') ? (5') ? 7
?

(11')

9"

b"

? ?

8"

a"

(5") ? 7"
?

5
?

?

9 b 11 ?3 ? 1

(4") 6"

侧平面与圆柱轴线垂直， 截交线为圆弧，其正面投 影为直线，侧面投影为圆 弧。 正垂面与圆柱轴线倾斜， 截交线为部分椭圆，正面 投影为直线，侧面投影与 圆重合。 水平面与圆柱轴 线平行截交线为矩形，正 面、侧面投影均直线。

6

?

4

?

8 a 10

?

?

?2

完成后的投影图

圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。
a'
k'(l')

c'(d')

d" l"

a" k" c" 具体步骤如下：

（1）先求特殊点。

（2）再求一般点。 （3）依次光滑连接各点。
d
l

D L

a k c

A

K

C

平面与圆锥相交

两圆柱相交
例：求两圆柱正交的相贯线 分析相贯线的三面投影

求正交两圆柱的相贯线

。

例：求两圆柱正交的相贯线。
作图步骤：
a' b'

（1）求特殊点：
最左点A 和最右点B; 最前点C和最后点D 。

?? 1'

? ? ? 2' c' (d')

a" (b“) 1

d"?

? ?" (2 ") ? c"

（2）求一般点：
任取两点1、2,求侧面投影 1″、2″，然后作出正面 投影1′、2′ 。

?
a

d

(3) ?
b

光滑连相贯线

? 1?

? c

?2

完成后的投影图

相贯线
的简化

画法

两圆柱体直径相等且轴线垂直相交

相贯线为两个相同 的椭圆，椭圆平面 垂直于两轴线所决 定的平面。

两正交圆柱相贯线的变化趋势

例： 求圆柱和圆锥相贯线的投影。

作图：
1 、求特殊点 A 、 B 、 C 、 D点 . 2 、求一般点

a' c '(d') ? 1'（2'） ? ? b'

? ?3 '(4 ')

4" ? d" ? 2" ?

? ?
b"

a"

?3" ?c" ?1"

作辅助水平面。 3 、连相贯线，判别可见性。

? ?? 4 (b) ? ? a ? ?3 (1) ?
c

(2)

d

完成后的相贯线三视图

例图

思考：已知两轴正交圆柱孔的水平和侧面投影，作出其相 贯线的正面投影。 分析：两圆柱孔 是等直径孔，它 们的相贯线为椭 圆。两回转体的 轴线都平行于正 面，相贯线的正 面投影为直线。

图例：