平行关系
一、直线与平面平行
1. 几何条件:若一直线与平面上任一直线平行,则 此直线与该平面互相平行。
B D
b C A E
a b' f' d' d b c' c
e'
F
a f e
X
O
f a e
H
d
c
EF∥△ABC面上AD线 则EF∥△ABC
投影图
二、平面与平面平行
1. 几何条件:若一平面上的两条相交直线对应平行于 另一平面上的两条相交直线,则该两平面互相平行。
P
B N M H F
b'
e' f' n' c'
R
E G
a' X
m' b
g' O e
f
c n a m
△ABC∥△EFG
g
例
已知 :MN、PQ决定的平面与平面ABC平行, 试补全三角形ABC的正面投影。
n'
q' 1'
b'
做图步骤: 作n1//bc n2//ba
nn ' 11 ' //b' c' m' 2' p'
~
~
c'
X
a' n b 1 q a
O
~
c
n' 2?// b' a'
m p
~
2
一般位置平面与特殊位置平面相交
一平面有积聚投影m?
V M B K F m N C f b n H k a l L P
b?
c?
f? n? m
k?
l?
a?
k b f
a l
c
n
c PH
一般位置直线与一般位置平面相交
M
无积聚投影
过MN 作平面Q 垂直于V 投影面
A
C
B
N 以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
以铅垂面为辅助平面求线面交点
示意图
A
M
K E
F
C
B
N
过MN作平面P垂直于H投影面
以正垂面为辅助平面求线面交点 QV f? c?
1?
b? k?
步骤: 1、 过EF作正 垂平面Q。 2、求Q平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。
2?
e?
f b k
a? a
2
3、求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。
1
c
e
两一般位置平面相交 方法1: 辅助平 面法
3'
判别可见性
c' m'
4'
d' f' n'
1'(2')
B E M
L
R C
a' e'
b' c
2
A a
J
D m
b d RH c
e
3(4)
n 1 m
b
f
QH
e
H
a
d
RH
定理1:若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于 该平面的水平线的水平投影;直线的正面投影必垂直于属于该平面 的正平线的正面投影。 n?
直角定理
V
a? C
E B D n a k
k? d?
e?
c?
b?
A
e d
c b
定理2(逆): 若直线的正面投影垂直于平面上的正平线的正面投影 直线的水平投影垂直于平面上的水平线的水平投影。 n?
V
f? c? C E B d? k?
A
a?
b?
f
d a c b
k
D
则直线垂直平面 ( 根据直角定理)
n
例题
平面由? BDF给定,试过定点K作已知平面的垂面
h?
f? c? g? k? b?
a?
d? f
k c b h g
a
d
直线、平面的相互关系综合题
方法1
过K点作一 直线KL与 平面ABC平 行与直线 EF相交 过K点作 一平面 KDP与平 面ABC平 行。 求平面 KDP与直 线EF交 点L,连 KL
d'
m'
l' // f' b' // k' c' n' f l n // b k c a'
e'
p'
p
//
a
d m e Ph
直线、平面的相互关系综合题
(b1)a1 k1 c1 f1 f' l' X1 b'
过K点作 一直线KL 与平面ABC
e1
l1
平行与直
线EF相交 。
e'
方法二 用换面 法求解 l f
k'
c'
a'
c a
b e k
例题
试过定点A作直线与已知直线EF正交。 f?
e? e
a?
a
f
分析 过已知点A作平面与已知直线EF垂直交于点K,连接AK,AK即为 所求。 A
E
K
F
2?
f?
作图过程
k?
2?
f?
e?
1?
a?
PV
e?
1?
a?
e
e
2
a
2
k
a
f
f
1
1
特点记忆
b?
一框两线平行面,线框显实形,直线竖或横。 两框一线垂直面,两框类似形,斜线积聚成。 c? b b?
a?
c?
a?
?
b?
c
a? b
?
β c
b c
? α
a
?
a
a X
b
w
O
?
c
c
b
a
?
b
a
c
a c
三框无线一般面,位置最分明。
取属于平面的点 b? e?
d?
B E D C
c?
a? c
a
d
A
e b
取属于平面的点,要取自属于该平面的已知直线
取属于平面的直线
b?
e?
B
E D C F
f?
d? a?
c?
a
c
A
d
b
f e
取属于平面的线,要先取自属于该平面的已知点
例题:已知四边形ABCD的V面投影及AB、BC的H面投影, 完成H面投影。 解1 解2
a' b' a
e'
d' c'
O X
a'
d'
e'
b'
c'
O
X
d e
c
a
d e c
b
b
例题 已知直线EF在平面 上,求其未知投影。 , ABC , c e , , f s , k , b , a a b
k
s c e f
16
投影变换 综合作图问题
如何求点到直线的距离呢?
投影面 垂直线
距离
用变换投影面法,简单!
将直线变换为投影面垂直线。
例题
求K点到直线AB之 距离及投影。
距离 A X V H O1
k? a?
t?
b?
a t k b
O
K H2
k2
T
k1?
a1?
t1?
b1?
B a2(b2) (t2)
H V1 X 1 O2 a2(b2) (t ) 2
V1 X2 H 2 k2
距离
如何求两平面的夹角? 两平面的交线
?
将两平面的交线变换成投影面垂直线
例题
求具有公共边BC的△ABC和△BCD的夹角?。
a? C b? d? c?
X B c (b)
? D H d c2 (b2) a1? a2 d2 X2 X1 a b b1? c
O
O1
A
d
a
c1?
d1?
思考题
如何求两直线AB与CD间的距离?
b?
b?
a? c? X V d b d? X
a?
提示
V H
b a a2 (b2)
c
a
例题:已知直线AB和CD,其距离为20mm,求CD的V面投影。
X1 a1(b1) b? d? c1(d1)
a? X a c
c? O b d
四棱柱体表面定线
d c b b (d )
c
D
C B
a y d a
A
定线先定点 特殊点:利用从属性 一般点:利用积聚性
(a)b
c
y
2、三棱锥体表面上取点
S
S' k'
S" k"
(N)
K C B
E
a'
a
1'
b'
k S
c'
a"(c'') c
b"
A
1
b
一般位置表面 上的点采用辅 助线的方法作 图。但要判断 可见性。
特殊位置表面上的点 利用平面的积聚性
三棱锥体的特殊位置表面上点的求法
S
s s
n (n) a a c c y1 s a (c )
(N)
b
n
A
y1 b
C B
b
特殊位置表面 上的点利用表 面的积聚性作 图。。
圆柱体表面定线
c 1 a b
(c)
(1)
a y
b
a 1
c y
b
定线先定点 特殊点:利用从属性 一般点:利用积聚性
圆锥体表面定线
c?
1? a? b?
(c?)
(1?) a? b?
解题时注意 曲线AB的 性质
y a b c 1 定线先定点 特殊点:利用从属性 一般点:作辅助素线或辅助 维圆 y
例:作四棱柱被截切后的投影。
a' (b') b"?
?a"
B
A
b
a
分析:四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切,因四棱柱的四个 棱面均垂直于水平面,截平面与棱线 的交点均在棱面的投影上。此题还应 作出两截平面的交线AB的投影。
完成后的投影图
例:求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4?) 3? 1? 2? 4?
● ●
1?
●
2?
●
3?
4 3
●
●
●
1
●
2
★ 投影分析 ★ 求截交线 ★ 分析棱线的投影 ★ 检查
分析:圆柱的轴线是侧垂 例:已知圆柱截断体的正面和侧面投影,求水平投影。 线,截断体分别由侧平面、 1" 1' 正垂面、水平面截切圆柱 · · 3" ? ? 2" (3') ? 2' 体而成的。
10' a' (b')
?
11" ?
?10" ?
8' ? 6'(7') 4 ' (9') ? (5') ? 7
?
(11')
9"
b"
? ?
8"
a"
(5") ? 7"
?
5
?
?
9 b 11 ?3 ? 1
(4") 6"
侧平面与圆柱轴线垂直, 截交线为圆弧,其正面投 影为直线,侧面投影为圆 弧。 正垂面与圆柱轴线倾斜, 截交线为部分椭圆,正面 投影为直线,侧面投影与 圆重合。 水平面与圆柱轴 线平行截交线为矩形,正 面、侧面投影均直线。
6
?
4
?
8 a 10
?
?
?2
完成后的投影图
圆锥被水平面截切,求出截交线的另外两个投影。
a'
k'(l')
c'(d')
d" l"
a" k" c" 具体步骤如下:
(1)先求特殊点。
(2)再求一般点。 (3)依次光滑连接各点。
d
l
D L
a k c
A
K
C
平面与圆锥相交
两圆柱相交
例:求两圆柱正交的相贯线 分析相贯线的三面投影
求正交两圆柱的相贯线
。
例:求两圆柱正交的相贯线。
作图步骤:
a' b'
(1)求特殊点:
最左点A 和最右点B; 最前点C和最后点D 。
?? 1'
? ? ? 2' c' (d')
a" (b“) 1
d"?
? ?" (2 ") ? c"
(2)求一般点:
任取两点1、2,求侧面投影 1″、2″,然后作出正面 投影1′、2′ 。
?
a
d
(3) ?
b
光滑连相贯线
? 1?
? c
?2
完成后的投影图
相贯线
的简化
画法
两圆柱体直径相等且轴线垂直相交
相贯线为两个相同 的椭圆,椭圆平面 垂直于两轴线所决 定的平面。
两正交圆柱相贯线的变化趋势
例: 求圆柱和圆锥相贯线的投影。
作图:
1 、求特殊点 A 、 B 、 C 、 D点 . 2 、求一般点
a' c '(d') ? 1'(2') ? ? b'
? ?3 '(4 ')
4" ? d" ? 2" ?
? ?
b"
a"
?3" ?c" ?1"
作辅助水平面。 3 、连相贯线,判别可见性。
? ?? 4 (b) ? ? a ? ?3 (1) ?
c
(2)
d
完成后的相贯线三视图
例图
思考:已知两轴正交圆柱孔的水平和侧面投影,作出其相 贯线的正面投影。 分析:两圆柱孔 是等直径孔,它 们的相贯线为椭 圆。两回转体的 轴线都平行于正 面,相贯线的正 面投影为直线。
图例: