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2016届高考数学大一轮复习 第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件


第四节函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数 模型的简单应用

基础盘查一

y=Asin(ωx+φ)的有关概念

(一)循纲忆知
了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象,了解参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影响.

(二)小题

查验

2 π? 2 ?1 3 , (人教 A 版教材习题改编)函数 y= sin?2x-4 ?的振幅为_____ 3 ? ?
π - 4π 4 . 周期为____,初相为_____

基础盘查二

“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的图象的步骤

(一)循纲忆知
熟练运用“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象.

(二)小题查验
?1 π? (人教 A 版教材例题改编)用“五点法”作函数 y=2sin?3x- 6 ?的 ? ?

图象,试写出相应的五个点坐标.
?π ? ?7π ? ?13π ? 答案:?2,0?,(2π,2),? 2 ,0?,(5π,-2),? 2 ,0? ? ? ? ? ? ?

基础盘查三

y=sin x 变换到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图 象的步骤

(一)循纲忆知
了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用 三角函数解决一些简单的实际问题,并能进行图象变换.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)将函数 y=sin ωx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度,得到 函数 y=sin(ωx-φ)的图象 (× )

(2)要得到函数 y=sin ωx(ω>0)的图象,只需将函数 y=sin x 上 所有点的横坐标变为原来的 ω 倍 (× )

(3)将函数 y=sin x 图象上各点的纵坐标变为原来的 A(A>0)倍, 便得到函数 y=Asin x 的图象 ( √ )

(4)函数 f(x)=sin2x 的最小正周期和最小值分别为 π,0 ( √ )
(5)函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,那么函数图象的两 T 个相邻对称中心之间的距离为 2 ( √ )

2.(人教 A 版教材例题改编)如图是某简谐运动的图象,则这个 5π y=2sin x,x∈[ 0,+∞) 2 简谐运动的函数表达式为__________________________ .

考点一

求函数y=Asin?ωx+φ?的解析式 (基础送分型考点——自主练透)

[必备知识]
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念

y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)

振幅
A

周期 2π T= ω

频率 1 ω f=T= 2π

相位
ωx+φ

初相

φ

2.求三角函数的解析式的一般方法是待定系数法, 即把已知 点的坐标代入三角函数式 y=Asin(ωx+φ)+b,求出需要确定的 系数 A,ω,φ,b,得到三角函数的解析式.

[题组练透]
1.(2015· 山西四校联考)已知函数 f(x)=sin(ωx
? ? π ? ? ? + φ)?ω>0,? ?φ ?< ? 的部分图象如图所示, 2? ?

则 y=f

? π? ?x+ ? 6? ?

取得最小值时 x 的集合为 ( )

? ? ? π ? ? A . x x=kπ-6 ,k∈Z ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

B D

? ? ? π ? ? . x x=kπ-3 ,k∈Z ? ? ?

? ? ? ? ?

C

? ? ? π ? ? . x x=2kπ-6 ,k∈Z ? ? ?

? ? π ? ? ? .?x|x=2kπ- 3 ,k∈Z? ? ? ?

解析:根据所给图象,周期 ∴ω=2,因此

?7π π? T=4×?12-3 ?=π,故 ? ?

2π π= ω ,

?7π ? f(x)=sin(2x+φ),另外图象经过?12 ,0?, ? ?

7π π π 代入有 2× +φ=kπ(k∈Z),再由|φ|< ,得 φ=- , 12 2 6 ∴f
? ? π? π? ?x + ?=sin?2x+ ?,当 6? 6? ? ?

π π 2x+ =- +2kπ(k∈Z), 6 2

? π? π 即 x=- +kπ(k∈Z)时,y=f ?x+6 ?取得最小值. 3 ? ?

答案:B

2.(2015· 东北三校联考)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的 π π 最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 x= 是其图象 2 3 的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为
? π? A.y=4sin?4x+6? ? ? ? π? C.y=2sin?4x+3?+2 ? ? ? π? B.y=2sin?2x+3 ?+2 ? ? ? π? D.y=2sin?4x+ 6?+2 ? ?

(

)

解析:由函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的最大值为 4,最小值为 0,可 π 2π π 知 b=2,A=2.由函数的最小正周期为 ,可知 ω = ,得 ω=4. 2 2 π π π 由直线 x= 是其图象的一条对称轴,可知 4× +φ=kπ+ ,k∈ 3 3 2
? π? 5π Z,从而 φ=kπ- ,k∈Z,故满足题意的是 y=2sin?4x+6 ?+2. 6 ? ?

答案:D

[类题通法]

确定 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法

(1)求 A,b: 确定函数的最大值 M 和最小值 m ,则 A =
M-m M+m ,b= ; 2 2

2π (2)求 ω: 确定函数的周期 T,则可得 ω= ; T

(3)求 φ:常用的方法有:

①代入法: 把图象上的一个已知点代入(此时 A,ω,b 已知)或

代入图象与直线 y=b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还 是在下降区间上).

②五点法: 确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的某一个

点为突破口.具体如下:
“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时 ωx+φ=0; “第 π 二点”(即图象的“峰点”)时 ωx+φ= ;“第三点”(即图象下降 2 时与 x 轴的交点)时 ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”) 3π 时 ωx+φ= ;“第五点”时 ωx+φ=2π. 2

考点二 函数y=Asin?ωx+φ?的图象 (题点多变型考点——全面发掘)

[必备知识]
1.五点作图法是画正弦函数、余弦函数草图的重要方法,正 弦函数 y=sin x,x∈[0 , 2π]的图象上五个关键点是(0 ,
?3π ? (π,0),? 2 ,-1?,(2π,0);余弦函数 ? ? ?π ? 0),?2,1?, ? ?

y=cos x,x∈[0 , 2π]的图

象上五个关键点是(0 ,

?π ? ?3π ? 1),?2,0?,(π,-1),? 2 ,0?,(2π,1). ? ? ? ?

2. 由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0) 的图象的两种方法

[一题多变]
[典型母题]
? π π? (2014· 重庆高考)将函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,-2≤φ<2 ?图象 ? ?

π 上每一点的横坐标缩短为原来的一半, 纵坐标不变, 再向右平移 个 6 单位长度得到 y=sin x 的图象,则 f
?π? ? ?=________. ?6 ?

[解析]

π 把函数 y=sin x 的图象向左平移 个单位长度得到 y= 6
? π? y=sin?x+6 ?图象上每一点的横坐标伸长 ? ? ?1 π? f(x)=sin?2x+ 6 ?的图象,所 ? ?

? π? sin?x+ 6 ?的图象, 再把函数 ? ?

为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 以f
?π? ?1 π π? π ? ?=sin? × + ?=sin = 4 ?6 ? ?2 6 6 ?

2 . 2

[答案]

2 2

[题点发散 1] 得到

将本例变为:由函数 y=sin x 的图象作怎样的变换可

π 解:把 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 个单位,得到 y= 3
? π? sin?x- 3 ?的图象,再把 ? ? ? π? y=sin?x-3 ?的图象上的点的横坐标缩短 ? ?

? π? y=2sin?2x-3 ?的图象? ? ?

? π? 1 到原来的 倍(纵坐标不变),得到 y=sin?2x-3 ?的图象,最后把 2 ? ? ? π? y= sin?2x-3 ? 上所有点的纵坐标伸长到原来的 ? ?

2 倍 (横坐标不

变),即可得到

? π? y=2sin?2x-3 ?的图象. ? ?

[题点发散 2]

?1 π? 将函数 f(x)= sin?2x+ 6 ?的图象向左平移 m(m>0)个单位长 ? ?

2π 3 . 度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值为____
?1 π? 解析: 把 f(x)=sin?2x+6 ?图象上所有的点向左平移 m 个单位长度后, ? ?

得到

?1 1 π? y=sin?2x+2m+6 ?的图象,此图象关于 ? ?

y 轴对称.

1 π π 2π 则 m+ =kπ+ (k∈Z),m=2kπ+ (k∈Z), 2 6 2 3 又 m>0,∴m 的最小值为 2π . 3

[题点发散 3]

将本例变为:若将函数

? π? y=tan?ωx+4?(ω>0)的图象 ? ?

? π? π 向右平移 6个单位长度后,与函数 y=tan?ωx+6?的图象重合 , ? ?

1 2 . 则 ω 的最小值为___
解析:将函数

? π? π ? ? y=tan ωx+4 (ω>0)的图象向右平移 个单位 6 ? ? ? π ωπ? y=tan?ωx+4- 6 ?(ω>0)的图象, 与函数 ? ?

长度后, 得到函数

? π? π ωπ π ? ? y=tan ωx+6 的图象重合,所以 - = +kπ(k∈Z),所以 4 6 6 ? ?

1 k=0 时,ω 的最小值为 . 2

[类题通法]

函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种作法
(1)五点法:用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主
π 3π 要是通过变量代换,设 z=ωx+φ,由 z 取 0, ,π, ,2π 2 2 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得 出图象.

由函数 y = sin x 的图象通过变换得到 y = (2)图象变换法: A sin( ωx + φ ) 的图象,有两种主要途径 “先平移后伸缩”与 “先伸缩后平移”.

[提醒]

平移变换和伸缩变换都是针对 x 而言,即 x 本身

加减多少值,而不是依赖于 ωx 加减多少值.

考点三

三角函数模型及其应用 (重点保分型考点——师生共研)

[典题例析]
(2014· 湖北高考)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h) π π 的变化近似满足函数关系: f(t)= 10- 3cos t- sin t, t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时间实验室需要降 温?

解:(1)因为

? f(t)=10-2? ? ?

?π π? 3 π 1 π ? ? cos t+ sin t?=10-2sin?12t+3 ?, 2 12 2 12 ? ? ?

?π π? π π π 7π 又 0≤t<24,所以 ≤ t+ < ,-1≤sin?12t+3 ?≤1. 3 12 3 3 ? ?

当 t= 2

?π π? 时,sin?12t+3 ?=1; ? ? ?π π? 时,sin?12t+3 ?=-1. ? ?

当 t=14

于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差 为 4 ℃.

(2)依题意,当 f(t)>11 时实验室需要降温. 由(1)得 故有 即
?π π? f(t)=10-2sin?12t+3 ?, ? ?

?π π? 10-2sin?12t+3 ?>11, ? ?

?π π? 1 sin?12t+3 ?<- . 2 ? ?

7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 < t+ < ,即 10<t<18. 6 12 3 6 在 10 时至 18 时实验室需要降温.

[类题通法]

三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面,一是已知 函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确 理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则;二是把实 际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角 函数的有关知识解决问题,其关键是建模.

[演练冲关]

某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三 角函数
?π ? y=a+Acos?6?x-6??(x=1,2,3,?,12)来表示,已知 ? ?

6

月份的月平均气温最高,为 28 ℃,12 月份的月平均气温最低, 为 18 ℃,则 10 月份的平均气温值为________℃.

28+18 28-18 解析:依题意知,a= =23,A= =5, 2 2
?π ? ∴y=23+5cos?6?x-6??, ? ?

当 x=10 时,
?π ? y=23+5cos?6×4?=20.5. ? ?

答案:20.5


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