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必1.2综合基础测试1


第一单元测试 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 2 ?x +1,?x<1? 1.已知 f(x)=? 则 f(f(2))=( ) ?-2x+3,?x≥1? A.-7 B.2 C.-1 D.5 2、 若全集 U ? ?0,1,2,3?且CU A ? ?2? ,则集合 A 的真子集共有( A

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3个

B

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5个

C

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D

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8个

3.设集合 U={0,1,2,3,4,5},M={0,3,5},N={1,4,5},则 M∩(?UN)=( ) A.{5} B.{0,3} C.{0,2,3,5} D.{0,1,3,4,5} 4.设集合 A={-1,3,5},若 f:x→2x-1 是集合 A 到集合 B 的映射,则集 合 B 可以是( ) A .{0,2,3} B.{1,2,3} C.{-3,5} D.{-3,5,9} 5.下列四个函数 中,在(-∞,0)上是增函数的为( ) 2 A.f(x)=x2+4 B.f(x)=3- x C.f(x)= x2-5x-6 D.f(x)=1-x ? x,?x≥0? 6.设函数 f(x)=? 若 f(a)+f(-1)=2,则 a=( ) ? -x,?x<0? A.-3 B.± 3 C.-1 D.± 1 2 7.下列四个集合:①A={x∈R |y=x +1};②B={y|y=x2+1,x∈R};③C ={(x,y)|y=x2+1,x∈R};④D={不小于 1 的实数}.其中相同的集合是( ) 8.A.①与② B.①与④ C.②与③ D.②与④ 8.若函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x-1,则当 x<0 时有( ) A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)· f(-x)≤0 D.f(x)-f(-x)>0 9.一辆中型客车的营运总利润 y(单位:万元)与营运年数 x(x∈N)的变化关 系如下表所示,要使总利润达到最大值,则该客车的营运年数是( ) 4 6 8 x(年) … y=ax2+bx+c A.15 C.9 7 B.10 D.6 11 7 …

f?x?+f?-x? 10. 若函数 f(x)为偶函数, 且在(0, +∞)上是减函数, 又 f(3)=0, 则 2x
1

<0 的解集为( ) A.(-3,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.(-3,0)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题 中横线上) 11.设 a,b∈R,集合{a,1}={0,a+b},则 b-a=________. x 12.f(x)= 的定义域是________. 1- 1-x 13.已知函数分别由下表给出 x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x g(x) 1 3 2 2 3 1

则 f(g(1))的值为______;满足 g(f(x))=1 的 x 值是______. 14.函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4)上是减函数,那么实数 a 的 取值范围是________. 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤) x2+a 15.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)= x ,且 f(1)=2, (1)证明函数 f(x)是奇函数; (2)证明 f(x)在(1,+∞)上是增函数; (3)求函数 f(x)在[2,5]上的最大值与最小值. 16. (本小题满分 14 分) 1? x (a ? 0且a ? 1) (14 分) 已知函数 f ( x) ? log a 1? x (1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性并证明; 17.(本小题满分 12 分)已知奇函数 f(x)=?0,?x=0?

?

-x2+2x,?x>0?

?x2+mx.?x<0?

(1)求实数 m 的值; (2)画出函数图象; (3)若函数 f(x)在区间[-1,|a|-2]上单调递增,试确定 a 的取值范围.

18. (本小题满分 14 分)

M、N分别是AB、PC 的中点. 如图, PA ? 矩形ABCD所在的平面,
2

(1)求证: MN // 平面PAD ; (2)求证: MN ? CD ;
P

N

D

C

A

M

B

(2009) 19.(本小题满分 13 分)

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH, 下半部分是长方体 ABCD-EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图 (2)求该安全标识墩的体积 (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG

20. (本小题满分 13 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB ? 平面 PAD,AB CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF=

1 AB,PH 为 ? PAD 中 AD 边上的高. 2

(1) 证明:PH ? 平面 ABCD; (2) 若 PH=1,AD= 2 ,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3) 证明:EF ? 平面 PAB.

3

第一单元答案 1 解析: f(2)=-2×2+3=-1, f(f(2))=f(-1)=(-1)2+1=2. 答案: B 2 解析:

A ? ?0,1,3? ,真子集有 23 ? 1 ? 7

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答案: C 3 解析: ?UN={0, 2,3,} ∴M∩ ?UN={0,3}. 答案: B 4 解析: 注意到题目中的对应法则,将 A 中的元素-1 代入得-3,3 代入 得 5,5 代入得 9,故选 D. 答案: D 2 5 解析: A、C、D 中函数在(-∞,0)上是减函数;B 中函数 f(x)=3-x 在 (-∞,0)上是增函数.故选 B. 答案: B 6 解析: ∵f(a)+f(-1)=2,且 f(-1)= 1=1, ∴f(a)=1,当 a≥0 时,f(a)= a=1,∴a=1; 当 a<0 时,f(a)= -a=1,∴a=-1. 答案: D 7 解析: 可知 A=R;当 x∈R 时,y≥1,∴B={y|y≥1}=D;而 C 是一点 集,故相同的集合只有 B 与 D. 答案: D 8 解析: f(x)为奇函数,当 x<0,-x>0 时,f(x)=-f(-x)=-(-x-1)=x +1,f(x)· f(-x)=-(x+1)2≤0. 答案: C 9 解析: 表中给出了二次函数模型 y=ax2+bx+c.显然,二次函数的图象

?16a+4b+c=7, 经过点( 4,7),(6,11),(8,7),则?36a+6b+c=11, ?64a+8b+c=7.
-x2+12x-25,易知 x=6 时,y 取得最大值. 答案: D 10 解析: ∵f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),故

?a=-1, 解得?b=12, ?c=-25,

即 y=

f?x?+f?-x? f?x? <0 可化为 <0,而 2x x f(x)在(0, +∞)上是减函数, 且 f(3)=0, 故当 x>3 时, f(x)<0, 当-3<x<0 时, f(x)>0, f?x? 故 x <0 的解集为(-3,0)∪(3,+∞). 答案: C ?a=0, 11 解析: 由题意知? ∴b-a=1. ?a+b=1, 答案: 1

4

?1- 1-x≠0, 12 解析: 由题意得? 解得 x≤1,且 x≠0,故函数的定义 ?1-x≥0, 域有(-∞,0)∪(0,1 ]. 答案: (-∞,0)∪(0,1] 13 解析: f(g(1))=f(3)=1; ∵g(3)=1 而已知 g( f(x))=1, ∴f(x)=3;又∵f(2)=3,∴x=2. 答案: 1 2 2?a-1? 14 解析: 因为函数的对称轴为 x=- 2 =1-a,函数在(-∞,4)上 为减函数,依题意可得 1-a≥4,所以 a≤-3. 答案: a≤-3 15 解析: (1)证明:f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,因为 f(1)=2, 所以 1+a=2,即 a=1 x2+1 1 f(x)= x =x+ x, 1 f(-x)=-x- x=-f(x), 所以 f(x)是奇函数. (2)证明:任取 x1,x2∈(1,+∞)且 x1<x2. 1 1 f(x1)-f(x2)=x1+x -(x2+x ) 1 2 x1x2-1 =(x1-x2)· x x . 1 2 ∵x1<x2,且 x1x2∈(1,+∞), ∴x1-x2<0,x1x2>1, ∴f(x1)-f(x2)<0, 所以 f(x)在(1,+∞)上为增函数. (3)由(2)知,f(x)在[2,5]上的最大值为 26 5 f(5)= 5 ,最小值为 f(2)=2.

16.(14 分) (1)由对数定义有 则有
?1 ? x ? 0 ?1 ? x ? 0 (1) 或 ? (2).........................4分 ? ?1 ? x ? 0 ?1 ? x ? 0 解得(1)-1<x<1,(2)无解。..............2分 所以 f ( x)的定义域为(-1, 1).............1分
1? x ? 0,……………(2 分) 1? x

(2)对定义域内的任何一个 x ,………………1 分
5

都有 分

f ( ? x) ? l o g a

1? x 1? x

? log a

(

1? x ?1 ) 1? x

? ? log a

1? x 1? x

? ? f ( x) , 则 f ( x) 为奇函数…4

17 解析: (1)当 x<0 时,-x>0, f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x 又∵f(x)为奇函数, 所以 f(-x)=-f(x)=-x2-2x, 所以 f(x)=x2+2x,则 m=2.

?-x +2x, ?x>0? (2)由(1)知 f(x)=?0, ?x=0? ?x2+2x, ?x<0?
函数 f(x)的图象如图所示.

2

(3)由图象可知 f(x)在[-1,1]上单调递增, 要使 f(x)在[-1, |a|-2]上单调递增, 只需-1<|a|-2≤1,即 1<|a|≤3, 解得-3≤a<-1 或 1<a≤3.

18.(14 分) (1)取 PD的中点E , 连接AE , EN , ………………1 分

N 为中点,

? EN 为?PDC的中位线 1 ? EN // CD....................... (2分) 2 又 CD // AB ? EN // AM ?四边形AMNE为平行四边形...........(1分) ? MN // AE 又
(2)

MN ? 平面PAD, AE ? 平面PAD

? MN // 平面PAD........................ (3分)

6

PA ? 平面ABCD,CD ? 平面ABCD, ? PA ? CD....................... (1分) AD ? CD, PA ? AD ? D ? CD ? 平面PAD ? CD ? PD........................... (2分)

取CD的中点F , 连NF , MF ,..................... ( 1分) ? NF // PD ? CD ? NF ................ (1分) 又 CD ? MF , NF ? MF ? F ? CD ? 平面MNF ............... (1分) MN ? 平面MNF ? MN ? CD............................. (1分)

19【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为: V ? VP? EFGH ? VABCD? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3

? cm ?
2

7

(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , 又 EG ? HF 又 BD P HF

? PO ? HF

? HF ? 平面 PEG ? BD ? 平面 PEG;

20 解: (1)证明:因为 AB ? 平面 PAD , 因为 PH 为△ PAD 中 AD 边上的高 因为 AB AD ? A 所以 PH ? AD 所以 PH ? 平面 ABCD

所以 PH ? AB

(2)连结 BH ,取 BH 中点 G ,连结 EG 因为 E 是 PB 的中点, 所以 EG // PH 因为 PH ? 平面 ABCD 所以 EG ? 平面 ABCD 则 EG ?

P

1 1 PH ? 2 2
1 S? 3 1 1 EG ? ? ? B? CF 3 2

M

E

VE ? B C F ?

2 F?C A ? D ? EG 12
A

D H

F
B

C

(3)证明:取 PA 中点 M ,连结 MD , ME 因为 E 是 PB 的中点

G

1 ? 2 AB 1 // DF 因为 DF // AB 所以 ME ? ? 2 所以四边形 MEDF 是平行四边形 所以 EF // MD 因为 PD ? AD 所以 MD ? PA 因为 AB ? 平面 PAD , 所以 MD ? AB 因为 PA AB ? A 所以 MD ? 平面 PAB 所以 EF ? 平面 PAB
所以 ME //

8

9


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