当前位置:首页 >> 高中教育 >>

【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-11


课时作业(十四)
一、选择题 1.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( A.(-∞,2) C.(1,4) B.(0,3) D.(2,+∞) )

解析:f ′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex, 令 f ′(x)>0,解得 x>2. 答案:D 2.已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1

有极大值和极小值,则实 数 a 的取值范围是( A.(-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞) C.(-3,6) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) 解析:f′(x)=3x2+2ax+(a+6),因为函数有极大值和极小值, 所以 f′(x)=0 有两个不相等的实数根,所以 Δ=4a2-4×3(a+6)>0, 解得 a<-3 或 a>6. 答案:B 3.对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必 有( ) A.f(0)+f(2)<2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1) )

? ? ?x-1≥0, ?x-1≤0, ? 解析: 不等式(x-1)f′(x)≥0 等价于 或? ?f′?x?≥0 ? ? ?f′?x?≤0.

可知 f(x)在(-∞,1)上递减,(1,+∞)上递增,或者 f(x)为常数函数, 因此 f(0)+f(2)≥2f(1). 答案:C

4.(2013· 浙江卷)已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一, 且其导函数 y=f ′(x)的图象如右图所示,则该函数的图象是( )

解析:由函数 f(x)的导函数 y=f ′(x)的图象自左至右是先增后

减, 可知函数 y=f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小, 故选 B. 答案:B 5.若函数 f(x)=x3-6bx+3b 在(0,1)内有最小值,则实数 b 的取 值范围是( )
? ?

1? ? A.(0,1) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.?0,2? 解析:f(x)在(0,1)内有最小值,即 f(x)在(0,1)内有极小值,f ′(x) =3x2-6b,

由题意,函数 f ′(x)的草图如图,
?f ′?0?<0, ?-6b<0, ? ? ∴? 即? ? ? ?f ′?1?>0, ?3-6b>0,

1 解得 0<b<2.故选 D. 答案:D 6.(2013· 湖北卷)已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实 数 a 的取值范围是( A.(-∞,0) C.(0,1) ) 1? ? B.?0,2?
? ?

D.(0,+∞)

解析:由题知,x>0,f ′(x)=ln x+1-2ax,由于函数 f(x) 有两个极值点,则 f ′(x)=0 有两个不等的正根,即函数 y=ln x

+1 与 y=2ax 的图象有两个不同的交点(x>0), 则 a>0; 设函数 y=ln x 1 +1 上任一点(x0,1+ln x0)处的切线为 l,则 kl=y′=x ,当 l 过坐标原
0

1 1+ln x0 1 1 点时,x = x ?x0=1,令 2a=1?a=2,结合图象知 0<a<2,故 0 0 选 B. 答案:B 二、填空题 7. 已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值 分别为 M,m,则 M-m=________. 解析:令 f ′(x)=3x2-12=0,得 x=-2 或 x=2, 列表得: x f ′(x) f (x ) 17 -3 (-3,- 2) + 单调递 增↗ -2 0 极大 值 24 (-2,2) - 单调递 减↘ 2 0 极小 值-8 (2,3) + 单调递 增↗ -1 3

可知 M=24,m=-8,∴M-m=32. 答案:32 1 8.设函数 f(x)=x(ex-1)-2x2,则函数 f(x)的单调增区间为 ________. 1 解析:因为 f(x)=x(ex-1)-2x2,所以 f′(x)=ex-1+xex-x=(ex -1)· (x+1).令 f′(x)>0,即(ex-1)(x+1)>0,解得 x∈(-∞,-1)或 x∈(0,+∞).所以函数 f(x)的单调增区间为(-∞,-1]和[0,+∞). 答案:(-∞,-1]和[0,+∞)

9. f(x)=x(x-c)2 在 x=2 处有极大值, 则常数 c 的值为________. 解析:f(x)=x3-2cx2+c2x,f ′(x)=3x2-4cx+c2, f ′(2)=0?c=2 或 c=6.若 c=2,f ′(x)=3x2-8x+4, 2 2 令 f ′(x)>0?x<3或 x>2,f ′(x)<0?3<x<2, 2? ? ?2 ? 故函数在?-∞,3?及(2, +∞)上单调递增, 在?3,2?上单调递减,
? ? ? ?

∴x=2 是极小值点,故 c=2 不合题意,c=6. 答案:6 三、解答题 10.(2013· 重庆九校联考)已知函数 f(x)=(x2+ax+a)ex(a≤2,x ∈R) (1)若 a=1,求函数 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)是否存在实数 a,使得 f(x)的极大值为 3,若存在,求出 a 值; 若不存在,说明理由. 解:由题意知:f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a)ex =[x2+(a+2)x+2a]ex. (1)当 a=1 时,f′(x)=(x2+3x+2)ex,则:f′(0)=2,f(0)=1. 所以函数 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为:y=2x+1. (2)令:f′(x)=[x2+(a+2)x+2a]ex=0,则: x2+(a+2)x+2a=0,所以:x=-2 或 x=-a. ①当 a=2 时,f′(x)=(x+2)2ex>0,则函数在 x∈R 上单调递增, 故无极值. ②当 a<2 时

x f′(x) f ( x)

(-∞,-2) + ↗

-2 0 极大 值

(-2,-a) -


-a 0 极小 值

(-a,+∞) + ↗

所以 f(-2)=3,则 a=4-3e2. m 11.(2013· 河北唐山第二次模拟)已知函数 f(x)=ln x+ x ,曲线 y =f(x)在(2,f(2))处的切线过点(0,ln2). (1)求函数 f(x)的解析式;
?1 ? (2)当 x∈?2,5?时,求 f(x)的取值范围. ? ?

1 m x-m 解:(1)f′(x)=x-x2= x2 . 2-m m 则 f′(2)= 4 ,f(2)=ln 2+ 2 . 2-m m 则曲线 y=f(x)在(2,f(2))处的切线为 y= 4 (x-2)+ln 2+ 2 , 2-m 即 y= 4 x+m-1+ln 2. 依题意,m-1+ln 2=ln 2,所以 m=1. 1 故 f(x)=ln x+x. x-1 1 (2)由(1)知,f(x)=ln x+x ,f′(x)= x2 .
?1 ? 当 x∈?2,1?时, f′(x)≤0, f(x)单调递减, 此时, f(x)∈[1,2-ln 2]; ? ?

1? ? 当 x∈[1,5]时 f′(x)≥0,f(x)单调递增,此时,f(x)∈?1,ln 5+5?.
? ?

1 9 9 1 因为(ln 5+5)-(2-ln 2)=ln 10-5>ln e2-5=5,

1 所以 ln 5+5>2-ln 2. 1? ? 因此,f(x)的取值范围是?1,ln 5+5?.
? ? ?2? 12.(2013· 黄冈市模拟)已知函数 f(x)满足 f(x)=x3+f′?3?x2-x+ ? ? ?2? 2 C(其中 f′?3?为 f(x)在点 x=3处的导数,C 为常数). ? ? ?2? (1)求 f′?3?的值; ? ?

(2)求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=[f(x)-x3]· ex,若函数 g(x)在 x∈[-3,2]上不单调, 求实数 C 的取值范围.
?2? ?2? 解:(1)由 f(x)=x3+f′?3?x2-x+C,得 f′(x)=3x2+2f′?3?x-1. ? ? ? ? ?2? ?2? ?2? ?2? 2 取 x=3,得 f′?3?=3×?3?2+2f′?3?×?3?-1, ? ? ? ? ? ? ? ? ?2? 解之,得 f′?3?=-1. ? ?

(2)因为 f(x)=x3-x2-x+C. 1? ? 从而 f′(x)=3x2-2x-1=3?x+3?(x-1),列表如下:
? ?

x f′(x) f ( x)

1? ? ?-∞,- ? 3? ? + ↗

1 -3 0 有极大 值
?

? 1 ? ?- ,1? ? 3 ?

1 0 有极小

(1,+∞) + ↗





?

1? ? ∴f(x)的单调递增区间是?-∞,-3?和(1,+∞);
? 1 ? f(x)的单调递减区间是?-3,1?. ? ?

(3)函数 g(x)=(f(x)-x3)· ex=(-x2-x+C)· ex, 有 g′(x)=(-2x-1)ex+(-x2 -x+C)ex=(-x2-3x+C-1)ex, 当函数在区间 x∈[-3,2]上为单调递增时,等价于 h(x)=-x2- 3x+C-1≥0 在 x∈[-3,2]上恒成立, 只要 h(2)≥0,解得 C≥11, 当函数在区间 x∈[-3,2]上为单调递减时,等价于 h(x)=-x2- 3x+C-1≤0 在 x∈[-3,2]上恒成立,即 Δ=9+4(C-1)≤0, 解得 C≤ 5 -4, 5 所以 C 的取值范围是-4<C<11. [热点预测] 2 13. (2013· 安徽省“江南十校”高三联考)已知函数 f(x)=ax-x- 3ln x,其中 a 为常数.
?2 ?2?? (1)当函数 f(x)图象在点?3,f?3??处的切线的斜率为 1 时,求函数 ? ? ?? ?3 ? f(x)在?2,3?上的最小值; ? ?

(2)若函数 f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求 a 的 取值范围; (3)在(1)的条件下,过点 P(1,-4)作函数 F(x)=x2[f(x)+3ln x- 3]图象的切线,试问这样的切线有几条?并求出这些切线方程.
?2? 2 3 解:(1)由题可知 f ′(x)=a+x2-x,f ′?3?=1,解得 a=1. ? ?

?x-1??x-2? 2 故 f(x)=x-x -3ln x,∴f ′(x)= , x2 由 f ′(x)=0,得 x=2.

于是可得下表: x f ′ (x ) f (x ) 3 2
?3 ? ? ,2? ?2 ?

2 0 1-3ln 2

(2,3) + ↗

3

- ↘

于是可得:f(x)min=f(2)=1-3ln 2.
2 2 3 ax -3x+2 (2)∵f ′(x)=a+x2-x = (x>0) x2

由题可得方程 ax2-3x+2=0 有两个不等的正实根,不妨设这两 个根为 x1、x2,并令 h(x)=ax2-3x+2 Δ=9-8a>0 ? ?x +x =3>0 a 则? 2 ? x x = ? a>0
1 2 1 2

9 解得 0<a<8. 2 (3)由(1)知 f(x)=x-x-3ln x,故 F(x)=x3-3x2-2x(x>0),F′(x) =3x2-6x-2(x>0) 设切点为 T(x0,y0),由于点 P 在函数 F(x)的图象上, ①当切点 T 不与点 P(1,-4)重合,即当 x0≠1 时, y0+4 由于切线过点 P(1,-4),则 =3x2 0-6x0-2 x0-1
2 2 所以 x3 0-3x0-2x0+4=(x0-1)(3x0-6x0-2), 3 化简得 x0 -3x2 0+3x0-1=0,

即(x0-1)3=0,解得 x0=1(舍去).

②当切点 T 与点 P(1,-4)重合,即 x0=1 时, 则切线的斜率 k=F′(1)=-5,于是切线方程为 5x+y-1=0. 综上所述,满足条件的切线只有一条,其方程为 5x+y-1=0.


相关文章:
【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-11]
【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-11]_高中教育_教育专区。【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-11]课时...
【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-2]
【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-2]_高中教育_教育专区。【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-2]课时...
【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-1
【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-1_高中教育_教育专区。...=x2+ 2,则 f(3)=( ? x? x ) A.8 B.9 C.11 D.10 ? 1? ? ...
【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:1-2]
【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:1-2]_高中教育_教育专区。【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:1-2]课时...
【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-8]
【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-8]_高中教育_教育专区。【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-8]课时...
【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:5-2]
【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:5-2]_高中教育_教育专区。【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:5-2]课时...
【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-4]
【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-4]_高中教育_教育专区。【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-4]课时...
【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-12
【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-12_高中教育_教育专区。【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-12课时...
【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-6]
【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-6]_高中教育_教育专区。【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:2-6]课时...
更多相关标签: