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2016年专项练习题集-由 与 的关系求通项


2016 年专项练习题集-由 an 与 Sn 的关系求通项 an 数列是高中数学的重要内容, 在历年的高考题中都占有重要的地位。 题量一般是两道小 题或这是一道大题,均属于简单题,经常与函数的性质结合出题。 1. 若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? An ? n,且点 P(a6 , 2) 在直线 x ? 3 y ? 14 ? 0 上,则 A ?
2


( A. 2 B. 3 C. 1 D. 4



【分值】5 【答案】C 【易错点】忘记 an 与 Sn 的关系导致本题求错。 【考查方向】本题主要考查了利用 an 与 Sn 的关系及点与直线的位置关系,在近几年的各省 高考题出现的频率较高,常与等差数列、等比数列的性质交汇命题。 【解题思路】先由点 P(a6 , 2) 在直线 x ? 3 y ? 14 ? 0 上求 a6 ,再利用 an ? Sn ? Sn?1 求 A 。

? 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 点 P(a6 , 2) 在 直 线 x ? 3 y ? 1 4

0 上 知 a6 ? 10 , 所 以

a6 ? S6 ? S5 ? 36 A ? 6 ? (25A? 5) ? 11A?1 ? 10 ,解得 A ? 1 。
2.五一黄金周期间某人计划开车从甲地出发到乙地旅游,总路程为 378 公里,此人第一天快 速行驶,从第二天起因交通堵塞每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地.则 该人最后一天走的路程为( A. 24 公里 B. 12 公里 )

C. 6 公里 D. 3 公里 【分值】5 【答案】C 【易错点】忘记 an 与 Sn 的关系导致本题求错。 【考查方向】本题主要考查了利用 an 与 Sn 的关系求通项公式 an ,an 与 Sn 的关系是高考考 察的重点内容, 在近几年的各省高考题出现的频率较高, 常与数列通项公式的求法等知识点 交汇命题。 【解题思路】 先利用等比数列的求和公式求出 a1 , 再利用等比数列的通项公式即可求出 a6 。 【解析】试题分析:记此人每天走的路程公里数为 ?an ? ,易知 ?an ? 是公比 q ?

1 的等比数列, 2

s6 ? 378, s6 ?

a1 (1 ?

1 ) 26 ? 378,? a ? 192,? a ? 192? 1 ? 6 ,故选 C. 1 6 1 25 1? 2

3.已知 m ? (an ? 2, 2), m ? (Sn ,3) ,其中 Sn 是正项数列 {an } 的前 n 项的和,若 m / / n ,且

??

??

??

?

bn ? log3 1 11 1 12 10 11 1 12

an 1 1 1 ,则 ? ?? ? ? ( ) 2 b1b2 b2b3 b10b11

A.

B.

C.

D.

【分值】5 【答案】C

【易错点】本题忽略向量共线的条件导致出错。 【考查方向】本题主要考查了等差数列、等比数列的判断、向量共线的条件等知识点,在近 几年的各省高考题出现的频率较高,常与等差数列、等比数列的定义、 an 与 Sn 的关系、向 量的平行、垂直等知识点交汇命题。 【解题思路】先根据 m / / n 找 an 与 Sn 的关系,进而求出再 an ,由 bn ? log 3 利用裂项相消法求和。 【解析】 试题分析: 由 m / / n 知 3(an ? 2) ? 2Sn ? 0 , 即 2Sn ? 所以 2Sn?1 ? 3an?1 ? 6 , 3 an 6 ? , 两式相减得: an?1 ? 3an ,故数列 ?an ? 等比,且 2a1 ? 2S1 ? 3a1 ? 6 ,解得 a1 ? 6 ,所以

??

?

an 求 bn ,然后 2

??

?

an ? 6 ? 3n?1 ? 2 ? 3n ,从而 bn ? log 3

an ? log 3 3n ? n ;则: 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 ? ??? ? ? ? ........ ? ? 1 ? ? ? ? ...... ? ? ? 1 ? ? b1b2 b2b3 b10b11 1? 2 2 ? 3 10 ?11 2 2 3 10 11 11 11
本题答案为 C

Sn n2 ? (n ? 2) , 4.若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且满足 且 a1 ? 1 , 通过计算 a2 , a3 , a 4 , Sn?1 n2 ? 1
猜想 an 的通项公式等于( A. )

2 (n ? 1) 2 2 n(n ? 1)
2 2 ?1
n

B.

C.

D.

2 2n ? 1

【分值】5

【答案】B 【易错点】不能准确计算出 a2 , a3 , a 4 的值导致无法猜想 an 的通项公式。 【考查方向】本题主要考查了求通项公式知识点,在近几年的各省高考题出现的频率较高, 常与等差、等比数列的相关性质、 an 与 Sn 的关系等知识点交汇命题。 【解题思路】根据条件分别计算出 a2 , a3 , a 4 ,并根据数列的特点利用不完全归纳法进行猜 想 an 的通项公式。 【解析】试题分析:由已知条件 后利用不完全归纳法归纳即可。

Sn n2 ? 2 (n ? 2) 可得 Sn ? n2an ,分别求出 a2 , a3 , a 4 然 Sn?1 n ? 1

a1 ? 1 ?

2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ? , a2 ? ? ? , a3 ? ? ? , a4 ? ? ? , 所 以 2 1? 2 3 6 2?3 6 12 3 ? 4 10 20 4 ? 5

an ?

2 ,选 B。 n( n ? 1 )
3x ? x2 ? x , 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若点 (n, Sn ) 在函数 y ? f ( x) ln 3


5.已知函数 f ( x) ?

的导函数的图像上,则 an ? ( A. an ? ?

?6,

n ?1

n ?1 ?2 ? 3 , n ? 2

B. an ? 2 ? 3n?1 C. an ? 2 ? 3n?1 ? 2 D. an ? ? 【分值】5 【答案】B 【易错点】不熟悉 an 与 Sn 的关系导致出错。 【考查方向】本题主要考查了数列 an 与 Sn 的关系、导数的运算以及等差数列的定义,在近

?6, ?2 ? 3
n ?1

n ?1 ? 2, n ? 2

几年的各省高考题出现的频率较高,常与等差数列的相关性质、 an 与 Sn 的关系等知识点交 汇命题。 【解题思路】先求导数,再利用 an 与 Sn 的关系,先求出数列的通项公式,然后利用通项公 式的特点确定数列的性质。
x 【解析】试题分析:依题意知 f ?( x) ? 3 ? 2x ? 1 ,因为点 (n, Sn ) 在函数 y ? f ( x) 的导函数

的图像上,所以 Sn ? 3n ? 2n ? 1 ,由 an 与 Sn 的关系可得: 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 6 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (3n ? 2n ? 1) ? (3n?1 ? 2(n ?1) ? 1) ? 2 ? 3n ?1 ? 2 . 当 n ? 1 时, 2 ? 31?1 ? 2 ? 3 ,不符合 an ? 2 ? 3n?1 ? 2 , ∴ an ? ?

? 6, n ? 1 . n ?1 ?2 ? 3 ? 2, n ? 2
3 1 ? ? 0 ,则 Sn ? . an?1 Sn?1Sn

6.已知 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 且满足 【分值】3 【答案】

1 3n ? 2

【考查方向】本题主要考查了等差数列判定、利用 an 与 Sn 的关系求通项。 【易错点】不知如何利用 an +1 ? Sn +1 ? Sn 进行判断导致出错。 【解题思路】先对已知条件化简,然后利用 an +1 ? Sn +1 ? Sn 代换,再利用等差数列的定义 判断数列 ?

?1? ? 等差,进而求出 Sn 。 ? Sn ?
3 1 ? ? 0 得 an?1 ? 3Sn?1 ? Sn ? 0 ,利用 an +1 ? Sn +1 ? Sn 代换 an?1 Sn?1Sn

【解析】试题分析:由

得 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? ?3Sn?1 ? Sn ,两边同时除以 Sn?1 ? Sn 得

?1? 1 1 ? ? 3 ,故数列 ? ? 是 Sn?1 Sn ? Sn ?

以 1 为首项, 3 为公差的等差数列,则

1 1 。 ? 1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 ,所以 Sn ? 3n ? 2 Sn
2 2

7. 已知过 原点 的直线 l 平 分 圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 , Sn 是 数列 ?an ? 的 前 n 项 和, 且

a1 ? ?2 ,若点 (an?1 , Sn ) 在直线 l 上,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ? .
【分值】3

? 2, n ? 1 ? 【答案】 an ? ? 1 ,n ? 2 ? ? 2n ? 2
【考查方向】本题主要考查了等比数列定义、 an 与 Sn 的关系。 【易错点】本题往往会忽略 n ? 1 的讨论导致出错。 【解题思路】直接利用 an ? ?

?

S1 , n ? 1

? Sn ? Sn ?1 , n ? 2

求数列 ?an ? 的通项公式。
2 2

【解析】试题分析:因为过原点的直线 l 平分圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 ,所以直线 l 的方程 为 2 x ? y ? 0 , 又 因 为 点 (an?1 ,Sn ) 在 直 线 l 上 , 所 以 2an?1 ? Sn ? 0 ; 当 n ? 2 时 ,

2an ? Sn?1 ? 0 , 所 以 2an?1 ? 2an ? an ? 0, 即 an ?1 ?
?1? an ? a2 ? ? ? ? 2?
n ?2

1 1 an , 又 a2 ? ? S1 ? 1 , 所 以 2 2
.

?1? ?? ? ? 2?

n ?2

,综上所述, an ? ? 1

? ?

2, n ? 1

,n ? 2 ? ? 2n ? 2

2 2 8.已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 4 项和等于 15 ,且满足 an ?1 ? 2an ? an?1an ,

n ? N * ,则该数列的通项公式 an ? .
【分值】3 【答案】 2
n ?1

【考查方向】本题主要考查了等比数列定义、通项公式。 【易错点】不能判断出数列 ?an ? 等比导致出错。 【解题思路】直接利用求数列 ?an ? 的通项公式。

2 2 * 【解析】试题解析:由 an ?1 ? 2an ? an?1an , n ? N 得 (an?1 ? 2an )(an?1 ? an ) ? 0 ,因为数列

?an ? 各项均为正数,所以 an?1 ? an ? 0 ,所以 an?1 ? 2an 因,因此可知 ?an ? 是公比为 2 的等
比数列, 由 a1 ? 2a1 ? 4a1 ? 8a1 ? 15 , 解得 a1 ? 1 , 由等比数列的通项公式可得 an ? 2n?1 . 9.已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 2Sn ? an 2 ? n ,求数列 ? 的前 n 项和为 Tn . 【分值】6 【答案】

? 1 ? ? ? an an ?1 ?

n n+ 1

【易错点】不知如何应用已知条件求 A 导致本题出错。 【考查方向】本题考查了已知数列的前 n 项和 Sn 求通项 an 以及利用裂项相减法求数列的前

n 项 和 问 题 , 已 知 数 列 的 前 n 项 和 Sn 求 通 项 an 是 一 类 常 见 的 问 题 , 直 接 利 用
S1 , n ? 1 ? 即可解决;裂项相消法是求和的一种常用方法,做题时一定要注意是 an ? ? ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2
隔项相消还是邻项相消。 【解题思路】先求出 a1 ,再利用 2Sn ? an 2 ? n 求通项 an ,进而求出 点利用裂项相消法求出其前 n 项和 Tn .
2 2 2 【解析】 试题分析: 由 2Sn ? an 2 ? n 得 2Sn?1 ? an 两式相减得 2an ? an ? an ?1 ? n ?1 , ?1 ? 1 , 2 2 整 理 得 an ?1 ? (an ? 1) , 由 数 列 ?an ? 的 各 项 均 为 正 数 可 求 得 an ? n , 从 而 得 到

1 ,根据通项的特 an a n + 1

1 1 1 1 ? ? ,在求和时就比较简单,从而求得 ? an an?1 n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 n Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 。 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
2 10.已知曲线 y ? x 在点 ( ,

3 9 ) 处的切线为 l ,设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且点 4 16

(Sn ?

15 , an ) 在直线 l 上。 16

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 是递增的等差数列,且满足 b2 , b4 是方程 x ? 14 x ? 45 ? 0 的两根,设
2

cn ?

bn ,求数列的前 n 项和 Tn . 3an

【分值】6 【答案】 (1) an = 3n- 1 ; (2) Tn ? 2 ?

n?2 . 3n

【易错点】第二问错位相减法求和时在最后整理时容易出错。 【考查方向】 本题考查了等差数列、 等比数列的通项公式、 错位相减法求和等问题, 已知 an 与 Sn 的关系求 an ,直接利用 an ? Sn ? Sn?1 , n ? 2 仿写作差即可求出 an ;针对数列 ?an ? bn ? (其中数列 ?an ? ,?bn ? 分别是等差数列和等比数列(公比 q ? 1 ) ) ,一般采用错位相减法求 和. 【解题思路】第一问先利用导数的几何意义求切线方程,再利用 an ? Sn ? Sn?1 仿写作差即 可求出 an ;第二问先求出 cn ,根据通项的特点利用错位相减法求出其前 n 项和 Tn . 【解析】试题解析: ( 1 ) 易 知 y? x ? 3 ?
4

9 3 4 3 ? (x ? ) , 而 点 ,故切线方程为 y ? 16 2 3 2

(Sn ?

15 15 9 3 4 , an ) 在切线上,所以 S n ? ? ? (an ? ) ,整理得 2Sn ? 3an ?1 ; 16 16 16 2 3

当 n ? 1 时, 2S1 ? 3a1 ?1,? a1 ? 1 当 n ? 2 时, 2an ? 2Sn ? 2Sn?1 ? ?3an ?1? ? ?3an?1 ?1? ,即

an ?3 an?1

? 数列 ?an ? 是以 a1 ? 1 为首项,3 为公比的等比数列,? an ? 3n?1
(2)设 ?bn ? 的公差为 d ,由 ?

?b2 ? b4 ? 14 及数列 ?bn ? 单调递增可知 b2 ? 5, b4 ? 9 , ?b2 ? b4 ? 45

所以 d ?

9?5 2n ? 1 ? 2 ,故 bn ? 5 ? ? n ? 2? ? 2 ? 2n ?1 ,故 cn ? n . 4?2 3

?Tn ?

3 5 7 2n ? 1 ? 2 ? 3 ?? ? n ① 1 3 3 3 3 1 3 5 7 2n ? 1 n?2 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ②,由①-②得, Tn ? 2 ? n . 3 3 3 3 3 3


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