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三角形形状的判断


旧知回顾: 正余弦定理,及其推论

三角形形状的判断

在?ABC中, 有a cos A ? b cos B, 试判断此三角形的形状 。
利用正余弦定理推论进行边角互化! 划归思想!!!
类: 在?ABC中,已知a 例1.
2

tan B ? b tan A,
2

试判断?ABC的形状.

变1.已知方程x ? (b cos A) x ? a cos B ? 0的两根
'' 2

之积等于两根之和,且a, b为?ABC的边, A,B为a, b的对角, 试判断?ABC的形状.

a b c 例2、在三角形ABC中,已知cos A ? cos B ? cos C,

试判断三角形ABC的形状.

a ? k ,由正弦定理,得 解:令 sin A

a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC. sin A sin B sin C ? ? 代入已知条件,得 cos A cos B cos C 即tanA=tanB=tanC 又A,B,C∈(0,π),所以A=B=C, 从而三角形ABC为正三角形.

法二?

变1.在?ABC中,a, b, c为边长,A,B,C为a, a b c b, c所对的角,若 ? ? , sin B sin C sin A 试判断?ABC的形状.

例3、在△ABC中,已知sinA=2sinBcosC, 试判断该三角形的形状. 解:由正弦定理及余弦定理,得
sin A a a ?b ?c , ? , cosC ? sin B b 2 2ab 2 2 a a ?b ?c , 所以 ? 2 ? b 2ab 法二? 2 2 整理,得 b ? c
2 2 2

因为b>0,c>0,所以b=c,因此,三角形ABC 为等腰三角形.

若再加上条件(a+b+c)(b+c-a)=3bc呢?

作业点评: 在?ABC中,若B ? 60 , ? a ? c, 2b
0

试判断?ABC的形状?
方法小结:三角形形状的判断主要是利 用正弦余弦定理边角互化,化成纯粹的 角或纯粹的边,实现“纯粹化” 这一“纯粹化”的方法,不光可用在形 状的判断上,也可在解三角形中也可应 用。

思考提升:

1 2 2 例4.已知?ABC的面积S ? (b ? c ),试确定?ABC的形状. 4 1 2 1 2 解:S ? (b ? c ) ? bc sin A 4 2 1 1 2 ? (b ? c) ? bc(1 ? sin A) ? 0 作业点评: 4 2 1 1 在?ABC中, 2 ? (b ? c) ? 0, bc(1 ? sin A) ? 0 4 2 若b 2 ? ac, ?b ? c ? ?? ? A ? 且b ? c 则B的取值范围? 1 ? sin A ? 0 2 ?
? ?ABC为等腰直角三角形 .



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