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上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:立体几何


上海市各区县 2015 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编

立体几何
一、填空题 1、 (宝山区 2015 届高三上期末) 正四棱锥 P ? ABCD 的所有棱长均相等,E 是 PC 的中点, 那么异面直线 BE 与 PA 所成的角的余弦值等于

P E D A B

C

2、 (崇

明县 2015 届高三上期末)圆锥的底面半径为 3,高为 1,则圆锥的侧面积为 3、 (奉贤区 2015 届高三上期末)如图,在矩形 ABCD 中, E 为边 AD 的中点, AB ? 1 , BC ? 2 ,分别以 A 、 D 为圆心,1 为半径作圆弧 EB 、 EC ( E 在线段 AD 上).由两圆弧 EB 、 EC 及边 BC 所围成的平面图形绕直线 AD 旋转一周,则所形成的几何体的体积为

4、 (虹口区 2015 届高三上期末)右图是正四面体的平面展开图, M 、N、G 分别为
DE、BE、FE 的中点,则在这个正四面体中, MN 与 CG 所成角的大小为

.

A

D MG
B
N

F

E

C

5、 (黄浦区 2015 届高三上期末)已知某圆锥体的底面 学科网 半径 r ? 3 ,沿圆锥体的母线 把侧面展开后得到一个圆心角为 2 ? 的扇形,则该圆锥体的表面积是
3

6、 (嘉定区 2015 届高三上期末)若圆锥的侧面积是底面积的 4 倍,则其母线与轴所成角的 大小是____________(结果用反三角函数值表示) . 7、 (金山区 2015 届高三上期末)如图所示,在长方体 ABCD–EFGH 中,AD=2,AB=AE=1,M

为矩形 AEHD 内的一点,如果∠MGF=∠MGH,MG 和平面 EFG 所成角的正切值为 点 M 到平面 EFGH 的距离是 ▲

1 ,那么 2

8、 (静安区 2015 届高三上期末)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? 底面 ABCD ,

PA ? 1 ,底面 ABCD 是正方形, PC 与底面 ABCD 所成角的大小为
积是 P A B C D .

? ,则该四棱锥的体 6

9、 (浦东区 2015 届高三上期末)如图,已知 PA ? 平面 ABC , AC ? AB , AP ? BC , ?CBA ? 30? , D 、 E 分别是 BC 、 AP 的中点. 学科网 则异面直线 AC 与 DE 所成角的大 小为 P .

E
A

B

C

D

10、 (普陀区 2015 届高三上期末) 如图, 正三棱柱的底面边长为 2 , 体积为 3 , 则直线 B1C 与底面 ABC 所成的角的大小为 (结果用反三角函数值表示).

11、 (松江区 2015 届高三上期末)在正四棱柱 ABCD ? A 1 与平面 ABCD 所 1B 1C1D 1 中, BC 成的角为 60 ? ,则 BC1 与 AC 所成的角为 ▲ (结果用反三角函数表示) .

2 4 12、 (徐汇区 2015 届高三上期末)若正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面边长为 ,高为 ,
则异面直线 BD1 与 AD 所成角的大小是______________. (结果用反三角函数值表示) 13、 (长宁区 2015 届高三上期末)如图,圆 学科网 锥的侧面展开图恰好是一个半圆,则该 圆锥的 母线与底面所成的角的大小是

二、选择题 1、 (奉贤区 2015 届高三上期末)在空间中,设 m 、n 是不同的直线,? 、? 是不同的平面, 且 (

m? ??



n? ??





















) A.若 m // n ,则 ? // ? C.若 m 、 n 相交,则 ? 、 ? 相交

B.若 m 、 n 异面,则 ? 、 ? 平行 D.若 m ? n ,则 ? ? ?

2、 (青浦区 2015 届高三上期末)设 a、b 是两条不同的直线, ?、? 是两个不同的平面, 则下面四个命题中错误 的是………………………………………………………( .. (A)若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 b // ? (C)若 a ? ? , ? ? ? ,则 a // ? 或 a ? ? ).

(B)若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ?

?

(D)若 a // ? , ? ? ? ,则 a ? ?

3、 (徐汇区 2015 届高三上期末)已知 m 和 n 是两条不同的直线,? 和 ? 是两个不重合的

平面,则下列给出的条件中一定能推出 m ? ? 的是 (
(A) ? ? ? 且 m ? ?



? (C) m // n 且 n ? ?

(B) ? ? ? 且 m // ? (D) m ? n 且 n // ?

三、解答题 1、 (宝山区 2015 届高三上期末)如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长 AB ? 2 , 若异面直线 A1 A 与 B1C 所成角的大小为 arctan 柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的体积.

1 ,求正四棱 2

第 26 题

2、 (崇明县 2015 届高三上期末) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 的底面梯形 ABCD 中,AD ∥ BC ,
AB ? BC , AB ? 1 , AD ? 3 , ?ADC ? 45? .又已知 PA ? 平面 ABCD , PA ? 1 .

求: (1)异面直线 PB 与 CD 所成角的大小. (2)四棱锥 P ? ABCD 的体积.

P

A B C

D

3、 (奉贤区 2015 届高三上期末)如图,四棱锥 P ? ABCD 的侧棱都相等,底面 ABCD 是 正方形, O 为对角线 AC 、 BD 的交点, PO ? OA ,求直线 PA 与面 ABCD 所成的角的大

小.

P

D

C

O
A B

4、 (虹口区 2015 届高三上期末)一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥,且 这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上, 如图, 已知圆锥底面面积是这个球面面积的
3 ,设球的半径为 R ,圆锥底面半径为 r . 16

B

(1)试确定 R 与 r 的关系,并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比; (2)求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.
O

R
r

O1

A

5、 (黄浦区 2015 届高三上期末)在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AA 1 ? 4, BC ? 3 ,

E、F 分别是所在棱 AB、BC 的中点, 点 P 是棱 A1B1 上的动点, 联结 EF , AC1 . 如图所示.
(1)求异面直线 EF、AC1 所成角的大小(用反三角函数值表示); (2)(理科)求以 E、F、A、P 为顶点的三棱锥的体积.

6、 (嘉定区 2015 届高三上期末)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90? , A1 F B1

C1

AB ? AC ? AA 1 ? 2 ,点 E 、 F 分别为棱 AC 与 A 1 B1 的中点.
(1)求三棱锥 A1 ? EFC1 的体积; (2)求异面直线 A1C 与 EF 所成角的大小.

7、 (金山区 2015 届高三上期末)如图,在四棱锥 P–ABCD 的底面梯形 ABCD 中,AD∥BC, AB⊥BC,AB=2,AD=3,∠ADC=45?.已知 PA⊥平面 ABCD,PA=1. 求:(1)异面直线 PD 与 AC 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示); (2)三棱锥 C–APD 的体积.

P A B C
第 20 题图

D

8、 (静安区 2015 届高三上期末) 如图, 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB ? AD ? 2 ,AA1 ? 4 , 点 P 为面 ADD1 A1 的对角线 AD1 上的动点 (不包括端点) . PM ? 平面 ABCD 交 AD 于点 M ,
MN ? BD 于点 N . (1)设 AP ? x ,将 PN 长表示为 x 的函数;

(2)当 PN 最小时,求异面直线 PN 与 A1C1 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示) A1 D1 B1 C1

P
B

A B

M N C
S

D

O

A

9、 (浦东区 2015 届高三上期末)如图所示,圆锥 SO 的底面圆半径 | OA |? 1 ,其侧面展开 图是一个圆心角为

2? 的扇形,求此圆锥的体积. 3

10、 (普陀区 2015 届高三上期末)如图,在两块钢板上打孔,用钉帽呈半球形、钉身为圆柱 形的铆钉(图 1)穿在一起,在没有帽的一端锤打出一个帽,使得与钉帽的大小相等,铆合 的两块钢板,成为某种钢结构的配件,其截面图如图 2.(单位:mm).(加工中不计损失). (1)若钉身长度是钉帽高度的 2 倍,求铆钉的表面积; (2)若每块钢板的厚度为 12 mm,求钉身的长度(结果精确到 1 mm).

20 38

12 20 12

19

19

38 图1

图2

11、 (青浦区 2015 届高三上期末) 如图所示, 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB ? 2 ,BC ? 2 , B1

A1 C1 M

D1

CC1 ? 4 , M 为棱 CC1 上一点.

A B

D C

第 19 题图

(1)若 C1M ? 1 ,求异面直线 A1M 和 C1 D1 所成角的正切值; (2)若 C1M ? 2 ,求证 BM ? 平面 A1 B1M .

12、 (松江区 2015 届高三上期末)沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容 器和一个狭窄的连接管道组成, 开始时细沙全部在上部容器中, 细沙通过连接管道全部流到 下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的 底面直径和高均为 8cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的

2 (细管长度忽略不计). 3

(1)如果该沙漏每秒钟漏下 0.02cm3 的沙,则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到 1 秒)? (2)细沙全部漏入下部后,恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,求此锥形沙堆的高 度(精确到 0.1cm) .

2h 3

h

13、 (徐汇区 2015 届高三上期末)如图所示,某传动装置由两个陀螺 T1 , T2 组成,陀螺之间 没有滑动. 每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成, 每个圆柱的底面半径和高 都是相应圆锥底面半径的

1 ,且 T1 , T2 的轴相互垂直,它们相接触的直线与 T2 的轴所成角 3

? ? arctan .若陀螺 T2 中圆锥的底面半径为 r ? r ? 0? .
(1)求陀螺 T2 的体积;

2 3

P 与 P1 之间 (2)当陀螺 T2 转动一圈时,陀螺 T1 中圆锥底面圆周上一点 P 转动到点 P 1 ,求

的距离.

14、 (杨浦区 2015 届高三上期末)如图,正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面边长为 1,异面 直线 AD 与 BC1 所成角的大小为 60 ? ,求: (1)线段 A1 B1 到底面 ABCD 的距离; (2)三棱椎 B1 ? ABC1 的体积。
D1 C1

A1

B1

D A

C

B

15、 (长宁区 2015 届高三上期末) 如图: 三棱锥 P ? ABC 中,PA ?底面 ABC , 若底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,且 PB 与底面 ABC 所成的角为 (1)三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)异面直线 PM 与 AC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) .

? .若 M 是 BC 的中点,求: 3

P

A B

C
M

参考答案
一、填空题 1、

3 3

2、 3 10?

3、

2? 3

4、 arccos

3 3

5、 36p

6、 arcsin

2 1 7、 4 2 2 4

8、

1 2

9、 arccos

1 2 ( arctan 7 ) 10、 arctan 2 4
0

11、 arccos

12、 arctan 5

13、 60

二、选择题 1、C 2、D 3、C 三、解答题 1、

? AA1 // BB1 ? ?CB1 B为AA1、B1C所成的角
………………………………………4 分

且 tan ?CB1 B ? 1 2
? BC ? 2

? BB1 ? 4
?V ? sh ? 16

………………………………6 分

………………………8 分 2、解: (1)在梯形 ABCD 中,过 B 作 BE // CD ,交 AD 于 E,则 ?PBE 就是异面直线 PB 与 CD 所成角。 计算得:AE=AB=1,连 PE,则 AP=AB=AE,

所以, ?PBE ? (2)BC=2

?
3

,即异面直线 PD 与 AC 所成角的大小为

? 。 3

S ABCD ?

5 2

1 Sh 3 5 = 6 3、 ABCD 为正方形,? O 为 AC 、 BD 的中点, V ?


PA ? PC, PB ? PD,? PO ? AC, PO ? BD ,

2分

因为 AC 与 BD 交于一点 O ,

? PO ? 平面 ABCD ,

4分 5分 6分 7分

? ?P A O 为直线 PA 与平面 ABCD 所成的角,
在 Rt ?PAO中,PA ? PO

??PAO ? 45? ,

所以直线 PA 与平面 ABCD 所成的角为 45 ? .
2 4、 (1)解: ? r ?

3 3 ? 4? R 2 , r ? R ; V大 : V小 ? h大 : h小 ? 3:1; 16 2

1 2 1 2 4 r 2 h小 3 3 2 3 ? ; (2)解: (V大 ? V小 ) : V球 ? ( ? r h大 ? ? r h小 ) : ? R ? r h小 : R ? 2 ? 3 3 3 R R 8
5、解(1)联结 AC ,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,有 AC 又 ?CAC1 是直角三角形 ACC1 的一个锐角, ∴ ?CAC1 就是异面直线 AC1与EF 所成的角. 由 AB ? AA 1 ? 4, BC ? 3 ,可算得 AC ? ∴ tan ?CAC1 ?

EF .

AB2 ? BC 2 ? 5 .

CC1 4 4 ? ,即异面直线 AC1与EF 所成角的大小为 arctan . 5 AC 5

(理) (2)由题意可知,点 P 到底面 ABCD 的距离与棱 AA1 的长相等.

1 S ?AEF ? AA1 . 3 1 1 3 3 ∵ S ?AEF ? AE ? BF ? ? 2 ? ? , 2 2 2 2 1 1 3 ∴ VP ? AEF ? S ?AEF ? AA1 = ? ? 4=2 . 3 3 2
∴ VP ? AEF ? 6、 (1) VA1 ? EFC1 ? VE ? A1 FC1 ?

1 1 1 2 S ?A1 FC1 ? AA1 ? ? ? A1C1 ? A1F ? AA1 ? . ……(5 分) 3 3 2 3

(参考答案只给出最后结果,如果结果错误,可视中间步骤适当给分)

(2)取 AA 1C , 1 中点 G ,联结 EG , FG ,则 EG ∥ A 在△ EFG 中, EG ? FG ? 所以, cos?FEG ?
2

………(1 分)

所以, ?FEG 是异面直线 A1C 与 EF 所成的角(或其补角) , …………(2 分)

2 , EF ? 6 ,
2 2

………………………(4 分)

? EG ? EF ? FG 3 ,故 ?FEG ? . ……(6 分) ? 6 2 ? EF ? EG 2 ? 所以,异面直线 A1C 与 EF 所成角的大小为 . ………………………(7 分) 6
7、解:(1) 过点 C 作 CF∥AB 交 AD 于点 F,延长 BC 至 E,使得 CE=AD,连接 DE,则 AC∥ DE,所以∠PDE 就是异面直线 PD 与 AC 所成的角或其补角,………………2 分 因为∠ADC=45?, 所以 FD=2, 从而 BC=AF=1, 且 DE=AC= 5 , AE=
P A B C F D E

20 , PE=

21 , PD=

10 , 在 △ PDE 中 ,

3 2 , 所以, 异面直线 PD 与 AC 所成角的 cos?PDE ? ? 10
大小为 arccos

3 2 …………………………………………8 分 10

(2) 因为 VC–APD=VP–ACD, S△ACD=

1 ?CF?AD=3 2 1 ? S△ACD ? PA=1, 3
5x 2 5x , AM ? ; 5 5

PA⊥底面 ABCD,三棱锥 P–ACD 的高为 PA=1, VP–ACD=

所以,三棱锥 C–APD 的体积为 1.……………………………………………14 分 8、 (1)在△ APM 中, PM ? 其中 0 ? x ? 2 5 ; 在△ MND 中, MN ? ………………………( 2 分)

………………………( 3 分)

2 5 (2 ? x) , …………………………( 4 分) 2 5

在△ PMN 中, PN ? (2)当 x ?

9 2 2 5 x ? x ? 2 , x ? (0,2 5 ) ……………………………( 6 分) 10 5

2 5 4 ? (0,2 5 ) 时, PN 最小,此时 PN ? .……………………………(8 分) 9 3

因为在底面 ABCD 中, MN ? BD, AC ? BD ,所以 MN // AC ,又 A1C1 // AC ,? PNM 为 异面直线 PN 与 A1C1 所成角的平面角,…………………( 11 分)

2 2 ,所以 ?PNM ? arctan , 4 4 2 1 异面直线 PN 与 A1C1 所成角的大小 arctan (或 arcsin 等)……………( 14 分) 4 3 9、解:因为 | OA |? 1 ,所以弧 AB 长为 2? ,……………………………………………2 分
在△ PMN 中,? PMN 为直角, tan ?PNM ? 又因为 ?BSA ?

2? 2? ? 2? ,所以 SA ? 3 .……………………4 分 ,则有 SA ? 3 3

在 Rt ?SOA 中, | OA |? 1 . h ? SO ? SA2 ? OA2 ? 2 2 , …………………6 分

1 2 2 2 ?r h? ? . ………………………………………8 分 3 3 10、设钉身的高为 h ,钉身的底面半径为 r ,钉帽的底面半径为 R ,由题意可知:……1 分
所以圆锥的体积 V ? (1) 圆柱的高 h ? 2 R ? 38 ……2 分 圆柱的侧面积 S1 ? 2?rh ? 760 ? ……3 分 半球的表面积 S 2 ?

1 ? 4?R 2 ? ?R 2 ? 1083? ……5 分 2

2 所以铆钉的表面积 S ? S1 ? S 2 ? 760? ? 1083? ? 1843? ( m m )……7 分

(2) V1 ? ?r 2 ? h1 ? 100? 24? ? ? 2400 ? ……8 分

V2 ?

1 4 2 13718 ? ? ? ? ? R 3 ? ? 19 3 ? ? ? ……9 分 2 3 3 3

设钉身长度为 l ,则 V3 ? ?r 2 ? l ? 100?l ……10 分 由于 V3 ? V1 ? V2 ,所以 2400? ? 解得 l ? 70 mm……13 分

13718 ? ? 100?l ,……12 分 3

?m m ,钉身的长度约为 70 mm 。 答:钉身的表面积为 1843
2

11、解:(1)由题意, C1M ? 1, B 1C1 ? BC ? 2 , B1C1 ? C1M ,得 B1M ? 5 ………… 1 分

A1 B1 / /C1 D1 ,所以异面直线 A1M 和 C1 D1 所成角即为 A1M 和 A1B1 所成角 ………… 3 分
长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,

A1B1 ? B1C1, A1B1 ? B1B ,? A1 B1 ? 面 B1 BCC1 ,

? A1B1 ? B1M ,故可得 ?B1 A1M 为锐角且 tan ?B1 A1M ?

B1M 5 …………………… 6 分 ? B1 A1 2

(2)由题意, BC ? B1C1 ? 2 , C1M ? 2 , CC1 ? 4 ? CM ? 2

BB12 ? BM 2 ? B1M 2 ,??BMB1 ? 90 ,即 BM ? B1M ……………………………… 8 分

又由 A1 B1 ? 面 B1 BCC1 可得 A1 B1 ? BM 故 BM ? 平面 A1 B1M .

………………………………………… 10 分

………………………………………………………………12 分

12、解(1)开始时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高 为H ?

2 16 2 8 ? 8 ? ,底面半径为 r ? ? 4 ? ……………2 分 3 3 3 3
2
2h 3

1 1 ? 8 ? 16 V ? ? r 2 H ? ? ? ? ? ? ? 39.71……………5 分 3 3 ?3? 3
V ? 0.02 ? 1986 (秒)
所以,沙全部漏入下部约需 1986 秒。……………7 分 (2)细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径 4,……………9 分 设高为 H ?

h

1 1024 V ? ? ? 42 ? H ? ? ? ……………12 分 3 81 H? ? 64 ? 2.37 ? 2.4 27

锥形沙堆的高度约为 2.4cm. ……………14 分 22. 13、解: (1)设陀螺 T2 圆锥的高为 h ,则 得陀螺 T2 圆柱的底面半径和高为
2

r 2 3 ? ,即 h ? r ……………………..2’ 2 h 3

r ……………………..3’ 3

?r? r 1 V柱 =? ? ? ? ? r 3 ……………………..5’ ? 3 ? 3 27
1 3 1 V椎 = ? r 2 r ? ? r 3 ……………………..7’ 3 2 2 29 VT2 ? V柱 ? V椎 ? ? r 3 ……………………..8’ 54
(2)设陀螺 T1 圆锥底面圆心为 O , 则 PP 1 ? 2? r ,……………………..10’ 得 ?POP 1 ?

PP 2? r 4? 1 ? ? ……………………..12’ OP 3 r 3 2

在 ?POP 1 ? 3OP ? 1 中, PP
14、解: (1)

3 3 r ……………………..14’ 2

AD / / BC ,

? ?CBC1 为异面直线 AD 与 BC1 所成角,? ?CBC1 ? 60?

…………2 分

,BB1 ? 面ABCD 正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 ,? A 1B 1 / /面ABCD ?线段BB1 的长为线段 A1 B1 到底面 ABCD 的距离,
…………4 分

RT ?BCC1 中, BC ? 1 , ?CBC1 ? 60? ,? BB1 ? CC1 ? 3
线段 A 1 B 1 到底面 ABCD 的距离为 3 (2) VB1 ? ABC1 ? VA?BB1C1 …………6 分 …………8 分

1 ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? 3 ? 3 ?2 ?
? 3 6

…………10 分

…………12 分

15、[解](1)因为 PA ? 底面 ABC , PB 与底面 ABC 所成的角为

? 3

所以 ?PBA ?

?
3

………2 分

因为 AB ? 2 ,所以 PB ? 2 3 …………4 分

1 1 3 ………………6 分 VP ? ABC ? S ?ABC ? PA ? ? ?4?2 3 ? 2 3 3 4 (2)连接 PM ,取 AB 的中点,记为 N ,连接 MN ,则 MN // AC

所以 ?PMN 为异面直线 PM 与 AC 所成的角 计算可得: PN ? 13 , MN ? 1 , PM ? 15

………………7 分 ………………9 分 ………………11 分

cos?PMN ?

1 ? 15 ? 13 2 15

?

15 10
15 10

异面直线 PM 与 AC 所成的角为 arccos

………………12 分


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