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高一物理必修2


匀速圆周运动专题 从现行高中知识体系来看,匀速圆周运动上承牛顿运动定律,下接万有引力,因此在高 一物理中占据极其重要的地位, 同时学好这一章还将为高二的带电粒子在磁场中的运动及高 三复习中解决圆周运动的综合问题打下良好的基础。 (一)基础知识 1. 匀速圆周运动的基本概念和公式

(1)线速度大小

,方向沿圆周的切线方向,时刻变化;

/>
(2)角速度

,恒定不变量;

(3)周期与频率



(4) 向心力 方向与向心力相同;

, 总指向圆心, 时刻变化, 向心加速度



(5)线速度与角速度的关系为









的关系为

。所以在 而 还和 有关。





中若一个量确定,其余两个量也就确定了,

2. 质点做匀速圆周运动的条件 (1)具有一定的速度; (2)受到的合力(向心力)大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力(向心力)与 速度始终在一个确定不变的平面内且一定指向圆心。 3. 向心力有关说明 向心力是一种效果力。任何一个力或者几个力的合力,或者某一个力的某个分力,只要 其效果是使物体做圆周运动的,都可以认为是向心力。做匀速圆周运动的物体,向心力就是

物体所受的合力,总是指向圆心;做变速圆周运动的物体,向心力只是物体所受合外力在沿 着半径方向上的一个分力,合外力的另一个分力沿着圆周的切线,使速度大小改变,所以向 心力不一定是物体所受的合外力。 (二)解决圆周运动问题的步骤 1. 确定研究对象; 2. 确定圆心、半径、向心加速度方向; 3. 进行受力分析,将各力分解到沿半径方向和垂直于半径方向; 4. 根据向心力公式,列牛顿第二定律方程求解。

基本规律:径向合外力提供向心力 (三)常见问题及处理要点 1. 皮带传动问题 例 1:如图 1 所示,为一皮带传动装置,右轮的半径为 r,a 是它边缘上的一点,左侧是 一轮轴,大轮的半径为 4r,小轮的半径为 2r,b 点在小轮上,到小轮中心的距离为 r,c 点 和 d 点分别位于小轮和大轮的边缘上,若在传动过程中,皮带不打滑,则( ) A. a 点与 b 点的线速度大小相等 B. a 点与 b 点的角速度大小相等 C. a 点与 c 点的线速度大小相等 D. a 点与 d 点的向心加速度大小相等

图1 解析:皮带不打滑,故 a、c 两点线速度相等,选 C;c 点、b 点在同一轮轴上角速度相 等,半径不同,由 ,b 点与 c 点线速度不相等,故 a 与 b 线速度不等,A 错;同 ,则 a 点向 样可判定 a 与 c 角速度不同,即 a 与 b 角速度不同,B 错;设 a 点的线速度为

心加速度

,由



,所以

,故

,D

正确。本题正确答案 C、D。

点评:处理皮带问题的要点为:皮带(链条)上各点以及 两轮边缘上各点的线速度大小相等,同一轮上各点的角速度 相同。
2. 水平面内的圆周运动 转盘: 物体在转盘上随转盘一起做匀速圆周运动, 物体与转盘间分无绳和有绳两种情况。 无绳时由静摩擦力提供向心力;有绳要考虑临界条件。 例 1:如图 2 所示,水平转盘上放有质量为 m 的物体,当物块到转轴的距离为 r 时,连 接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为零)。物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力 的 倍。求:

(1)当转盘的角速度

时,细绳的拉力



(2)当转盘的角速度

时,细绳的拉力



图2

解析:设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为

,则

,解得

(1)因为

,所以物体所需向心力小于物与盘间的最大摩擦力,则物 。

与盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力,细绳的拉力仍为 0,即

(2)因为 细绳将对物体施加拉力

,所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力,则 ,由牛顿第二定律得 ,解得



点评:当转盘转动角速度

时,物体有绳相连和无绳连接是一样的,此时物体做

圆周运动的向心力是由物体与圆台间的静摩擦力提供的,求出 物体相对圆台运动的临界值,这个最大角速度 这一结论同样适用于汽车在平路上转弯。

。可见,

是 和 r。

与物体的质量无关,仅取决于

圆锥摆:圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所 受的重力与弹力的合力充当向心力, 向心力的方向水平。 也可以说是其中弹力的水平分力提 供向心力(弹力的竖直分力和重力互为平衡力)。

例 2: 小球在半径为 R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动, 试分析图 3 中的 (小 球与半球球心连线跟竖直方向的夹角) 与线速度 v、 周期 T 的关系。 (小球的半径远小于 R) 。

图3 解析:小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上(不在半球的球心),向心 力 F 是重力 G 和支持力 的合力,所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图 3 所示



由此可得



可见,

越大(即轨迹所在平面越高),v 越大,T 越小。

点评:本题的分析方法和结论同样适用于火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等 在水平面内的匀速圆周运动的问题。 共同点是由重力和弹力的合力提供向心力, 向心力方向 水平。 3. 竖直面内的圆周运动 竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及题型分类(图 4)。

图4 这类问题的特点是:由于机械能守恒,物体做圆周运动的速率时刻在改变,所以物体在 最高点处的速率最小,在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上,而重力向下, 所以弹力必然向上且大于重力;而在最高点处,向心力向下,重力也向下,所以弹力的方向 就不能确定了,要分三种情况进行讨论。

(1) 弹力只可能向下, 如绳拉球。 这种情况下有 否则不能通过最高点;

, 即



(2) 弹力只可能向上, 如车过桥。 在这种情况下有 否则车将离开桥面,做平抛运动;





(3)弹力既可能向上又可能向下,如管内转(或杆连球、环穿珠)。这种情况下,速 度大小 v 可以取任意值。 但可以进一步讨论: 当 a. 的;当 时物体受到的弹力必然是向上的;当 时,向心力有两解 ;当弹力 时物体受到的弹力必然是向下 时物体受到的弹力恰好为 ;当弹力大小 时,向心

零。b. 当弹力大小 力只有一解 界条件。 结合牛顿定律的题型

时,向心力等于零,这也是物体恰能过最高点的临

例 3:如图 5 所示,杆长为

,球的质量为

,杆连球在竖直平面内绕轴 O 自由转动,

已知在最高点处,杆对球的弹力大小为

,求这时小球的瞬时速度大小。

图5

解析:小球所需向心力向下,本题中 能向下。

,所以弹力的方向可能向上也可

(1)若 F 向上,则





(2)若 F 向下,则



点评:本题是杆连球绕轴自由转动,根据机械能守恒,还能求出小球在最低点的即时速 度。 需要注重的是:若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动,则运动过 程中小球的机械能不再守恒,这两类题一定要分清。 结合能量的题型 例 4:一内壁光滑的环形细圆管,位于竖直平面内,环的半径为 R(比细管的半径大得 多),在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球 A、B,质量分别为 管顺时针运动,经过最低点的速度都是 若要此时作用于细管的合力为零,那么 、 ,沿环形

,当 A 球运动到最低点时,B 球恰好到最高点, 、 、R 和 应满足的关系是 。

解析:由题意分别对 A、B 小球和圆环进行受力分析如图 6 所示。

对于 A 球有

对于 B 球有

根据机械能守恒定律

由环的平衡条件





由以上各式解得

图6 点评:圆周运动与能量问题常联系在一起,在解这类问题时,除要对物体受力分析,运 用圆周运动知识外,还要正确运用能量关系(动能定理、机械能守恒定律)。 连接问题的题型 例 5:如图 7 所示,一根轻质细杆的两端分别固定着 A、B 两个质量均为 m 的小球,O 点是一光滑水平轴,已知 , ,使细杆从水平位置由静止开始转动,当 B

球转到 O 点正下方时,它对细杆的拉力大小是多少?

图7

解析:对 A、B 两球组成的系统应用机械能守恒定律得

因 A、B 两球用轻杆相连,故两球转动的角速度相等,即

设 B 球运动到最低点时细杆对小球的拉力为

, 由牛顿第二定律得

解以上各式得 方向竖直向下。

,由牛顿第三定律知,B 球对细杆的拉力大小等于



说明:杆件模型的最显著特点是杆上各点的角速度相同。这是与后面解决双子星问题的 共同点。 (四)难点问题选讲 1. 极值问题

例 6: 如图 8 所示, 用细绳一端系着的质量为 细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔 O 吊着质量为 的距离为 。若 A 与转盘间的最大静摩擦力为 的取值范围。(取

的物体 A 静止在水平转盘上, 的小球 B, 的重心到 O 点 A ,为使小球 B 保持静止,求 )

转盘绕中心 O 旋转的角速度

图8 解析:要使 B 静止,A 必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度。A 需要的向 心力由绳拉力和静摩擦力合成。角速度取最大值时,A 有离心趋势,静摩擦力指向圆心 O; 角速度取最小值时,A 有向心运动的趋势,静摩擦力背离圆心 O。

对于 B:

对于 A:



联立解得



所以

点评:在水平面上做圆周运动的物体,当角速度

变化时,物体有远离或向着圆心运

动的(半径有变化)趋势。这时要根据物体的受力情况,判定物体受的某个力是否存在以及 这个力存在时方向朝哪(非凡是一些接触力,如静摩擦力、绳的拉力等)。 2. 微元问题 例 7:如图 9 所示,露天娱乐场空中列车是由许多完全相同的车厢组成,列车先沿光滑 水平轨道行驶,然后滑上一固定的半径为 R 的空中圆形光滑轨道,若列车全长为 (

) R 远大于一节车厢的长度和高度, , 那么列车在运行到圆环前的速度至少要多大, 才能使整个列车安全通过固定的圆环轨道(车厢间的距离不计)?

图9 解析:当列车进入轨道后,动能逐渐向势能转化,车速逐渐减小,当车厢占满环时的速 度最小。设运行过程中列车的最小速度为 v,列车质量为 m,则轨道上的那部分车的质量为

由机械能守恒定律得

由圆周运动规律可知,列车的最小速率 3. 数理问题

,联立解得

例 8:如图 10,光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉 A、B,相距

,长



柔软细线一端拴在 A 上,另一端拴住一个质量为 500g 的小球,小球的初始位置在 AB 连线 上 A 的一侧,把细线拉直,给小球以 2m/s 的垂直细线方向的水平速度,使它做圆周运动,

由于钉子 B 的存在,使细线逐步缠在 A、B 上,若细线能承受的最大拉力 从开始运动到细线断裂的时间为多少?

,则

图 10 解析:小球转动时,由于细线逐步绕在 A、B 两钉上,小球的转动半径逐渐变小,但小 球转动的线速度大小不变。

小球交替地绕 A、 做匀速圆周运动, B 线速度不变, 随着转动半径的减小, 线中拉力 不断增大,每转半圈的时间 t 不断减小。

在第一个半圆内



在第二个半圆内



在第三个半圆内



在第 n 个半圆内





,得

,即在第 8 个半圆内线还未断,n 取 8,经历的时间为

【模拟试题】 1. 关于互成角度(不为零度和 180° )的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合 运动,下列说法正确的是( ) A. 一定是直线运动

B. 一定是曲线运动 C. 可能是直线,也可能是曲线运动 D. 以上答案都不对 2. 一架飞机水平匀速飞行,从飞机上每隔 1s 释放一个铁球,先后释放 4 个,若不计空 气阻力,则这 4 个球( ) A. 在空中任何时刻总是排列成抛物线,它们的落地点是等间距的 B. 在空中任何时刻总是排列成抛物线,它们的落地点是不等间距的 C. 在空中任何时刻总是在飞机的正下方排列成竖直直线,它们的落地点是不等间距的 D. 在空中任何时刻总是在飞机的正下方排列成竖直直线,它们的落地点是等间距的 3. 图 1 中所示为一皮带传动装置,右轮的半径为 r,a 是它边缘上的一点,左侧是一轮 轴,大轮的半径为 点和 ,小轮的半径为 、 点在小轮上,到小轮中心的距离为 。

点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中,皮带不打滑。则( )

A. a 点与 b 点的线速度大小相等 B. a 点与 b 点的角速度大小相等 C. a 点与 c 点的线速度大小相等 D. a 点与 d 点的周期大小相等

图1 4. 在抗洪抢险中,战士驾驶摩托艇救人,假设江岸是平直的,洪水沿江向下游流去,水 流速度为 ,摩托艇在静水中的航速为 ,战士救人的地点 A 离岸边最近处 O 的距离为

d,如战士想在最短时间内将人送上岸,则摩托艇登陆的地点离 O 点的距离为( )

A.

B.

C.

D.

5. 火车轨道在转弯处外轨高于内轨, 其高度差由转弯半径与火车速度确定。 若在某转弯 处规定行驶速度为 ① 当以 ② 当以 供向心力 ③ 当速度大于 v 时,轮缘挤压外轨 ④ 当速度小于 v 时,轮缘挤压外轨 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 6. 在做“研究平抛物体的实验”时,让小球多次沿同一轨道运动,通过描点法画小球做平 抛运动的轨迹,为了能较准确地描绘运动轨迹,下面列出了一些操作要求,将你认为正确的 选项前面的字母填在横线上: 。 A. 通过调节使斜槽的末端保持水平 B. 每次释放小球的位置必须不同 C. 每次必须由静止释放小球 D. 记录小球位置用的木条(凹槽)每次必须严格地等距离下降 E. 小球运动时不应与木板上的白纸(或方格纸)相接触 F. 将球的位置记录在纸上后,取下纸,用直尺将点连成折线 7. 试根据平抛运动原理设计测量弹射器弹丸出射初速的实验方法。 根据实验器材: 弹射 器(含弹丸,见图 2 所示):铁架台(带有夹具);米尺。 (1)在安装弹射器时应注重: ; (2)实验中需要测量的量是: ; (3)由于弹射器每次射出的弹丸初速不可能完全相等,在实验中应采取的方法是: ; (4)计算公式: ,则下列说法中正确的是( )

的速度通过此弯路时,火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力 的速度通过此弯路时,火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提

图2 8. 在一次“飞车过黄河”的表演中,汽车在空中飞经最高点后在对岸着地。已知汽车从最 高点到着地经历时间为 ,两点间的水平距离为 。忽略空气阻力,则最高

点与着地点间的高度差约为 m,在最高点时的速度约为 m/s。 9. 玻璃生产线上,宽 9m 的成型玻璃板以 2m/s 的速度连续不断的向前行走,在切割工 序处,金刚钻的割刀速度为 10m/s。为了使割下的玻璃板成规定尺寸的矩形,金刚钻割刀的 轨道应如何控制?切割一次时间多长? 10. 一级方程式汽车大赛中,一辆赛车总质量为 m,一个路段的水平转弯半径为 R,赛 车转此弯时的速度为 v,赛车外形都设计得使其上下方空气有一压力差——气动压力,从而 增大了对地面的正压力。正压力与摩擦力的比值叫侧向附着系数,以 车转弯时不侧滑,则需要多大的气动压力? 表示。要使上述赛

11. 如图 3 所示, 一高度为 接,一小球以 (平面与斜面均光滑,取

的水平面在 A 点处与一倾角为

的斜面连

的速度在平面上向右运动。求小球从 A 点运动到地面所需的时间 )。某同学对此题的解法为:小球沿斜面运动,则

,由此可求得落地时间 t。 问:你同意上述解法吗?若同意,求出所需时间;若不同意则说明理由并求出你认为正 确的结果。

图3 【试题答案】 1. B 2. D 3. C 4. C 5. A 6. ACE

7. (1)弹射器必须保持水平 (2)弹丸下降高度 y 和水平射程 x

(3)在不改变高度 y 的条件下进行多次实验,测量水平射程 x,得出平均水平射程

(4) 8. 3.2;37.5

9. 割刀的速度方向跟玻璃板的前进方向的夹角

满足:



10.

11. 不同意;




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