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高二数学相互独立事件同时发生的概率2


11.3相互独立事件同时 发生的概率(2)

互斥事件 概念
不可能同时发生 的两个事件叫做 互斥事件.

相互独立事件
如果事件A(或B)是 否发生对事件B(或A) 发生的概率没有影响, 这样的两个事件叫做 相互独立事件 . 相互独立事件A、B同 时发生记作 A ·B

符号

互斥事件A、B中 有一个发生,记 作A+B

计算公式

P(A+B)=P(A)+P(B)

P(A· B)= P(A)· P(B)

概率

意义

P( A ? B)
P( A ? B)
P( A ? B)

P ( A ? B ? A ? B ) A、 B中恰有一个发生

P( A ? B)

A、 B同时发生 A不发生 B发生 A发生 B不发生 A不发生 B不发生

1 ? P ( A ? B ) A、 B中至少有一个发生 1 ? P ( A ? B ) A、 B中至多有一个发生

20年后重登奥运之巅

中国女排雅典圆梦

2004年雅典奥运会女子排球决赛在中国和俄罗斯 之间展开,最终中国女排在先失两局的不利情况 下连扳三局,以总比分3-2击败俄罗斯女排获得冠 军,这也是中国女排继1984年洛杉矶奥运会夺冠 以来第二次在奥运会女排比赛中摘金,这是女排 姑娘的骄傲!也是全中国人民的骄傲!!!

假如经过多年的努力,男排实力明显提高,到2008年北京 奥运会时,凭借着天时、地利、人和的优势,男排夺冠的 概率有0.7;女排继续保持现有水平,夺冠的概率有0.9。 那么,男、女排双双夺冠的概率有多大? P(A ? B) 变式1:只有女排夺冠的概率有多大? 变式2:恰有一队夺冠的概率有多大?

P(A ? B)

P ( A ? B ? A ? B)
1 ? P( A ? B)

变式3:至少有一队夺冠的概率有多大?
变式4:至少有一队不夺冠的概率有多大?

1 ? P ( A) ? P ( B )

例1.

假如到2008年北京奥运会时,凭借着天时、地 利、人和的优势,男排夺冠的概率有0.7;女排夺冠的 概率有0.9.那么,男女排双双夺冠的概率有多大?

解:设事件A:女排夺冠,事件B:男排夺冠,

P ?A ? B ? ? P ?A ? ? P ?B ? ? 0.9 ? 0.7 ? 0.63
答:男女排双双夺冠的概率为0.63.

则男女排双双夺冠的概率为:

变式一

只有女排夺冠的概率有多大?

略解: 只有女排夺冠的概率为 P A ? B ? P ? A ? ? P B ? 0.9 ? 0.3 ? 0.27

? ?

??

例1.

假如到2008年北京奥运会时,凭借着天时、地 利、人和的优势,男排夺冠的概率有0.7;女排夺冠的 概率有0.9.那么,男女排双双夺冠的概率有多大?

解:设事件A:女排夺冠,事件B:男排夺冠,
只有一队夺冠的概率有多大? 变式二:

P A ? B ? A ? B ? P ? A? ? P B ? P A ? P ?B ? ? 0.34

?

略解: 只有一队夺冠的概率有多大为:

?

?? ??

例1.

假如到2008年北京奥运会时,凭借着天时、地 利、人和的优势,男排夺冠的概率有0.7;女排夺冠的 概率有0.9.那么,男女排双双夺冠的概率有多大?

变式三:

至少有一队夺冠的概率有多大?

P A? B ? A? B ? A? B

? P ? A? ? P ?B ? ? P A ? P ?B ? ? P ? A? ? P ?B ? ? 0.97

?

解1:(正向思考)至少有一队夺冠的概率为

? ?

?

例1.

假如到2008年北京奥运会时,凭借着天时、地 利、人和的优势,男排夺冠的概率有0.7;女排夺冠的 概率有0.9.那么,男女排双双夺冠的概率有多大?

变式三:

至少有一队夺冠的概率有多大?

解2:(逆向思考)至少有一队夺冠的概率为

1 ? P A ? B ? 1 ? P ? A? ? P ?B ? ? 1 ? ?1 ? P ? A???1 ? P ?B ?? ? 1 ? 0.3 ? 0.1 ? 0.97

?

?

例2.有三批种子,其发芽率分别为0.9、0.8和0.7,在每批种 子中各随机抽取一粒,求至少有一粒种子发芽的概率 解:设第一批种子发芽为事件A,同样第二、三批种子发芽分 别为事件B、C,设至少有一粒种子发芽为事件D,则

D ? A? B ?C ? A? B ?C ? A? B ?C ? A? B ?C ? A? B ? C ? A? B ? C ? A? B ? C
又其中 A ? B ? C , A ? B ? C ,? , A ? B ? C 互斥,所以

P( D) ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P ( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C )
又 A, B , C 相互独立,所以

P ( A ? B ? C ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? P (C ) ? 0.054
同理可算出等号右边的其他各项

概率的和与积的互补公式 对于n个随机事件A1、A2、…、An,事件A1+A2+…+An
表示事件A1、A2、…、An至少有一个发生,

A1 ? A2 ??? An 表示事件 A1 , A2 ,? An 都发生,
即A1、A2、…、An都不发生 则A1+A2+…+An与 A ? A ? ?? A 是两个对立事件 1 2 n 由两个对立事件的概率和等于1,可得

P ( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? 1 ? P ( A1 ? A2 ? ? ? An )

例2.有三批种子,其发芽率分别为0.9、0.8和0.7,在每批种 子中各随机抽取一粒,求至少有一粒种子发芽的概率

解:设第一批种子发芽为事件A,同样第二、三批种子发芽分
别为事件B、C,设至少有一粒种子发芽为事件D,则

P( D) ? P( A ? B ? C ) ? 1 ? P( A ? B ? C ) ? 1 ? P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ? 1 ? 0.1 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.994

例3.甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概 1 1 率分别为 和 ,求 4 3 (1)两个人都译出密码的概率;(2)两个人都译不出密码的概率;

(3)恰有1个人译出密码的概率;(4)至多1个人译出密码的概率;
(5)至少1个人译出密码的概率 解:(1)两个人都译出密码的概率为: P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ?

(2)两个人都译不出密码的概率为:
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? [1 ? P ( A)] ? [1 ? P ( B )] ? 1 2

1 12

(3)恰有1个人译出密码可以分为两类:甲译出乙未译出以及甲 未译出乙译出,且两个事件为互斥事件,所以恰有1个人译出 密码的概率为:

5 P ( AB ? AB ) ? P ( AB ) ? P ( AB ) ? P ( A) P ( B ) ? P ( A) P ( B ) ? 12

例3.甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概 1 1 率分别为 和 ,求 4 3 (1)两个人都译出密码的概率;(2)两个人都译不出密码的概率;

(3)恰有1个人译出密码的概率;(4)至多1个人译出密码的概率;
(5)至少1个人译出密码的概率

(4)“至多1个人译出密码”的对立事件为“有两个人译出密码
”,所以至多1个人译出密码的概率为: 11 1 ? P ( AB ) ? 1 ? P ( A) P ( B ) ? 12 (5)“至少有1个人译出密码”的对立事件为“两人未译出密码”

,所以至少有1个人译出密码的概率为:

1 1 ? P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A) ? P ( B ) ? 2

例4.如图,开关电路中,某段时间内,开关a、b、c开或关的概率 均为0.5,且是相互独立的,求这段时间内灯亮的概率. 解:分别记“开关a合上”、“开关b合上”、“开关c合上”为 事件A、B、C,由已知,A、B、C是相互独立事件且概率都是 0.5. 开关a、b合上或开关c合上时灯亮,所以这段时间内灯亮的概率 为: P ( A ? B ? C ) ? P ( A ? B ? C ) ? P ( A ? B ? C ) ? P ( A ? B ? C )

5 ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? 8
a b

c

例5.掷三颗骰子,试求: (1)没有一颗骰子出现1点或6点的概率; (2)恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率. (3)至少有1颗骰子出现1点或6点的概率是多少 解:记“第1颗骰子出现1点或6点”为事件A , “第2颗骰子出现1点或6点”为事件B,

“第3颗骰子出现1点或6点”为事件C, 1 P ( A) ? P ( B ) ? P ( C ) ? 由已知A、B、C是相互独立事件, 3 (1)没有1颗骰子出现1点或6点,也就是事件A、B、C全不发生,
即事件 A ? B ? C 所以所求概率为:P ( ABC ) ? P ( A) P ( B ) P (C ) ? 2 ? 2 ? 2 ? 8 3 3 3 27

例5.掷三颗骰子,试求: (1)没有一颗骰子出现1点或6点的概率; (2)恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率. (3)至少有1颗骰子出现1点或6点的概率是多少 (2)恰好有1颗骰子出现1点或6点,即A发生B不发生C不发生或 A不发生B发生C不发生或A不发生B不发生C发生,用符号表示 为事件

A ? B ?C, A ? B ? C, A ? B ?C

所求概率为: P( A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ? P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ? P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) 4 ? 9

例5.掷三颗骰子,试求: (1)没有一颗骰子出现1点或6点的概率; (2)恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率. (3)至少有1颗骰子出现1点或6点的概率是多少

(3)“至少有1颗骰子出现1点或6点”的对立事件为“没有一颗
骰子出现1点或6点,即问题(1)中的事件,所求概率为

19 P( A ? B ? C ) ? 1 ? P( A ? B ? C ) ? 27

例6.某工厂的产品要同时经过两名检验员检验合格方能出厂,
但在检验时也可能出现差错,将合格产品不能通过检验或将不合 格产品通过检验,对于两名检验员,合格品不能通过检验的概率

分别为?1、?2,不合格产品通过检验的概率分别为?1、?2,两名检
验员的工作独立. 求:(1)一件合格品不能出厂的概率,

(2)一件不合格产品能出厂的概率
解:(1)记“一件合格品通过第 I 名检验员检验”为事件Ai(i=1、2)

“一件合格品不能通过检验出厂”的对立事件为“一件合格品同时
通过两名检验员检验”,即事件A1· A2发生 所以所求概率为

1?P(A1· A2)=1?P(A1)· P(A2)=1?(1??1)(1??2)=?1+?2??1?2

例6.某工厂的产品要同时经过两名检验员检验合格方能出厂, 但在检验时也可能出现差错,将合格产品不能通过检验或将不合

格产品通过检验,对于两名检验员,合格品不能通过检验的概率
分别为?1、?2,不合格产品通过检验的概率分别为?1、?2,两名检 验员的工作独立.

求:(1)一件合格品不能出厂的概率,
(2)一件不合格产品能出厂的概率 (2)“一件不合格品能通过第i名检验员检验”记为事件Bi(i=1、

2),
“一件不合格品能出厂”即不合格品通过两名检验员检验 事件B1·B2发生,所求概率为:

P(B1· B2)=P(B1)· P(B2)=?1·?2

两台机床加工同样的零件,第一台出废品的概率是0.03,第 二台出废品的概率是0.02.加工出来的零件堆放在一起.若第一台

加工的零件是第二台加工的零件的2倍,求任意取出的零件是合
格品的概率 记“任意取出的零件是合格品”为事件A,则“任意取出的 零件是废品”为 A 2 1 P ( A) ? ? 0.03 ? ? 0.02 ? 0.0266 3 3 ? P ( A ) ? 1 ? P ( A ) ? 1 ? 0.0266

两个事件相互独立,是指它们其中一个事件的发生与否对另一

个事件发生的概率没有影响.
一般地,两个事件不可能既互斥又相互独立,因为互斥事件是 不可能同时发生的,而相互独立事件是以它们能够同时发生为前

提的.
相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积, 这一点与互斥事件的概率和也是不同的.

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我曾经拍过一组夜晚的花朵的照片,选择了二十四种常见的花卉,代表了二十四个节气。夏天要忍受蚊子,冬天则要忍受寒风。那时候, 想法会比较多,也不怕吃苦,兴致勃勃。
有任何想法,就会一定去实践? 也不全是,部分,力所能及。我们并不能完成自己全部的臆想。 我是否说过,你很像一个人? 是,小曼是吗?


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