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古典概型几何概型习题


4.14 练习题 1.从正六边形的 6 个顶点中随机选 择 4 个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 (A)

? ??

(B)

? ?

(C)

? ?

(D)

? ?

(9)D【命题意图】本题考

查古典概型的概率问题.属中等偏难题. 【解析】通过画树状图可知从正六边形的 6 个顶点中随机选 择 4 个顶点,以它们作为顶点的四边形共有 15 个, 其中能构成矩形 3 个,所以是矩形的概率为

3 1 ? .故选 D. 15 5

2. 有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位 同学参加同一兴趣小组的概率是 1 A.3 1 B. 2 2 C. 3 3 D. 4

3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A, “骰子向上点数是 3”为事件 B, 则事件 A,B 至少有一个发生的概率. 5 A.12 1 B. 2 7 C. 12 3 D. 4

3 4.设一直角三角形两直角边的长均为(0,1)的随机数,则斜边长小于4 的概率 3 2 A. 8 9π B. 64 9π C. 16 9 D. 64 )

S 5.在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点,则△PBC 的面积大于 的概率为( 4 1 A. 4 1 B. 2 3 C. 4 2 D. 3

1 S 解析:如图,当 BM= BA 时,△MBC 的面积为 ,而当 P 在 M、A 之间运动时,△PBC 的 4 4 3 AB 4 S 3 S 3 面积大于 ,而 MA= AB,则△PBC 的面积大于 的概率 P= = .故选 C. 4 4 4 AB 4

答案:C 6. 在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球, 这些小球除标注数字外完全相同, 现从中随机取 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是( 1 A. 12 1 B. 10 1 C. 5 3 D. 10 )

7.甲、乙两人玩数字游戏,先由甲心中任想一个数字记为 a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙想的数字记为 b, 且 a、b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,则称“甲乙心有灵犀”,现任意找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵 犀”的概率为________. 16 4 解析:数字 a,b 的所有取法有 62=36 种,满足|a-b|≤1 的取法有 16 种,所以其概率为 P= = . 36 9 4 答案: 9 8.任取一个三位正整数 n,则对数 log2n 是一个正整数的概率是________. 9.

10.已知函数 f(x)=2ax2-bx+1,若 a 是从区间[0,2]上任取的一个数,b 是从区间[0,2]上任取的一个数,则此函 数在[1,+∞)上递增的概率为________. 解析:令 t=ax2-bx+1,函数 f(x)在[1,+∞)上递增,根据复合函数单调性的判断方法,则 t=ax2-bx+1 须在[1,+∞)上递增,

-b ∴- ≤1,即 2a≥b. 2a

?0≤a≤2, ? 由题意得?0≤b≤2, ?2a≥b. ?
画出图示得阴影部分面积. 1 2×2- ×2×1 2 3 ∴概率为 P= = . 4 2×2 3 答案: 4 11. 12.设有关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概 率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率. 解:记事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”, 当 a≥0,b≥0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共有 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2), 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 9 3 P(A)= = . 12 4 (2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}. 构成事件 A 的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}, 所以所求的概率为 1 3×2- ×22 2 2 P(A)= = . 3 3×2

13. 14. 15. 16. 17.设有关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概 率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率. 解:记事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”, 当 a≥0,b≥0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共有 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2), 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 9 3 P(A)= = . 12 4 (2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}. 构成事件 A 的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}, 所以所求的概率为 1 3×2- ×22 2 2 P(A)= = . 3 3×2 18.已知集合 A={x|-1≤x≤0},集合 B={x|ax+b·x-1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}. 2 (1)若 a,b∈N,求 A∩B≠?的概率; (2)若 a,b∈R,求 A∩B=?的概率. 解:(1)因为 a,b∈N,(a,b)可取(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)共 9 组. 令函数 f(x)=ax+b·x-1,x∈[-1,0], 2 则 f′(x)=a+bln2·x. 2 因为 a∈[0,2],b∈[1,3],所以 f′(x)>0, 即 f(x)在[-1,0]上是单调递增函数. b f(x)在[-1,0]上的最小值为-a+ -1. 2 b 要使 A∩B≠?,只需-a+ -1<0,即 2a-b+2>0. 2 所以(a,b)只能取(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)共 7 组. 7 所以 A∩B≠?的概率为 . 9 (2)因为 a∈[0,2],b∈[1,3],所以(a,b)对应的区域为边长为 2 的正方形(如图),面积为 4.

由(1)可知,要使 A∩B=?; b 只需 f(x)min=-a+ -1≥0?2a-b+2≤0,所以满足 A∩B=?的(a,b)对应的区域是图中的阴影部分. 2 1 1 1 所以 S 阴影= ×1× = , 2 2 4 1 4 1 所以 A∩B=?的概率为 P= = . 4 16


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