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高中数学选修1-1


圆锥曲线复习
2013年1月9日星期三

一、学习目标
1)掌握椭圆的定义,标准方程和椭圆的 几何性质 2)掌握双曲线的定义,标准方程和双曲 线的几何性质
3)掌握抛物线的定义,标准方程和抛物 线的几何性质 4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的 图形,并了解圆锥曲线的初步应用。

椭圆、双曲线、抛物线的标准

方程和图形性质
椭圆 几何条件 标准方程
与两个定点的距 离的和等于常数

双曲线
与两个定点的 距离的差的绝对 值等于常数

抛物线
与一个定点和 一条定直线的距 离相等

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

y 2 ? 2 px( p ? 0)

图 形

顶点坐标

(±a,0),(0,±b)

(±a,0)

(0,0)

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆 对称性
X轴,长轴长2a, Y轴,短轴长2b

双曲线
X轴,实轴长2a, Y轴,虚轴长2b

抛物线
X轴

焦点坐标
离心率 e= c/a 准线方程

(±c,0)

(±c,0)

(p/2,0)

c2=a2-b2

c2=a2+b2

0<e<1 x=±a2/c

e>1 x=±a2/c
y=±(b/a)x

e=1 x=-p/2

渐近线方程

练习 1.已知抛物线x2 ? ?2y的一条平行于x轴 的弦 AB ? 4 3, O为坐标原点,求证这 个三角形AOB是正三 角形. 2.直线y ? x - 2与抛物线y2 ? 2x相交于A、B, 求证 : OA ⊥ OB

3p 3.已知直线l过点A(? , p)且与抛物线y 2 ? 2 px只有一个公共点, 2 求直线l的方程.

例1: 正三角形的一个顶点位 于坐标原点,
2

另外两个顶点在抛物线 ? 2px(p? 0)上, y 求这个正三角形的边长 .
解:根据抛物线的对称 性可知,正三角形 另两个顶点A、B所在边必垂直于 轴,垂 x 足为M。设正三角形边长为 , a 如图,在Rt?OAM中, …… ∴a = 4 3 p

例2 : 某河上有抛物线型拱桥 ,当水面 高2m,载货后木船露 出水面上的部分 3 高为 m,问水面涨到距抛物 线拱顶多 4 少米时木船不能通过该 拱桥?

距拱顶5m时,水面宽 8m,一木船宽4m,

? 解:以拱顶为坐标原点,拱桥的 对称轴为y轴,建立直角坐标系. B ? 如图所示,设抛物线方程为x2= A -2py(p>0) ? 根据题意,A(4,-5)在抛物线上, ∵42=-2p(-5) ∴2p=3.2,故抛物线方程 为x2=-3.2x(-4≤x≤4). ? 设当水面上涨到BB’与抛物线拱顶相距 hm是,木船不能通过,这时船两侧与抛 物线拱接触,于是设船面BB’的端点B的 坐标为(2,y0).由22=-3.2y0,得y0=-5/4 ? ∴h=| y0|+3/4=2m 因此当水面……

y O

B’ x
A’

例3:已知抛物线y ? ?x与直线y ? k(x ? 1)
2

相交于A,B两点

(1).求证: OA ? OB

(2).当ΔOAB的 面积为 10时,求k的值.

例4: A, B是抛物线y ? 2px(p? 0)上的
2

两个点,且OA? OB(O为坐标原点) 求证:(1)A,B的横坐标 之积为定值; (2)直线AB经过一 定点.

做练习
1. 动点P 到直线 x+4=0 的距离减去它到点M(2,0)的距 离之差等于2,则点P 的轨迹是 ( D) A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

2.P是双曲线 x2/4-y2=1 上任意一点,O为原点,则OP 线段中点Q的轨迹方程是( B ) y2 y2 2 2 2 2 2 C . ? x 2 ? 1 D.4 y ? x ? 1 A. x ? ? 1 B. x ? 4 y ? 1 4 4
3.和圆x2+y2=1外切,且和x轴相切的动圆圆心O的轨迹 x2=2|y|+1 。 方程是

做练习
3.过点P( 0 , 4 )与抛物线y2=2x只有一个公共点的 直线有 3 条。 4、直线 y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 x2/5+y2/m=1 总有

公共点,则m的取值范围是

[1,5) 。

5、过点M(-2,0)的直线l与椭圆 x2+2y2=2 交于P1、P2

两点,线段P1P2的中点为P,设直线 l 的斜率为k1(k1≠0),
直线OP的斜率为k2,则 k1k2 的值为 ( )

1 ? 2


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