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浙江省宁波市镇海中学2015届高三5月模拟考试数学(文)试题(扫描含答案)


镇海中学 2015 年高考模拟试卷数学(文科)参考答案
一.选择题(本大题有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.A; 5.A; 2.B; 6.D; 3.C; 7.C; 4.B; 8.D.

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9-12 题每空 3 分,第 13-15 题每空 4 分,共 36 分) 9. ?? ?,0? ? ?2,

??? , 0 ? a ? 1 12. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 10 , 38 10.

64 ? 32 2,
13. 9/2

160 3

11.

12 17 , 5 13
15.2+ 5

14..4

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. B ?

?
3

;2 7
1 1 an ?1 1 1 ? ,∴数列 {a n } 是首项为 ,公比为 的等比数列,∴ a n ? ( ) n (n ? N *) . 4 4 4 an 4
∴ bn ? 3 log 1 ( ) n ? 2 ? 3n ? 2 .∴ b1 ? 1 ,公差 d ? 3
4

17. (1)?

(2)? bn ? 3 log 1 a n ? 2
4

1 4

∴数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列.

1 (3)由(1)知, a n ? ( ) n , bn ? 3n ? 2 , 4
当 n 为偶数时

Sn ? b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? ? ? bn?1bn ? bnbn?1 ? b2 (b1 ? b3 ) ? b4 (b3 ? b5 ) ? ? ? bn (bn?1 ? bn?1 )
(4 ? 3n ? 2) ? 2 n 2

? ?6(b2 ? b4 ? ? ? bn ) ? ?6

3 2 3 ? ? n(3n ? 2) ? tn 2 ,即 t ? ? (3 ? ) 对 n 取任意正偶数都成立 2 n 2
所以 t ? ?6 18.(1)证明: BE ? 平面 BDF (2) 过 R 做 RH ? 平面 B D F ,所以 ? REH 即为 RE 和平面 BDE 所成的角, RH ?

4 3 a, RE ? a ,所以 5 5

sin REH ?

4 5 15

19. 解: (1)如图,设 M 为动圆圆心,设 F ?1,0 ? ,过点 M 作 直线 x ? ?1 的垂线,垂足为 N , 由题意知: MF ? MN …………………………………2 分 即动点 M 到定点 F 与到定直线 x ? ?1 的距离相等, 由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F ?1,0 ? 为焦点,
N
A M

x

o

F ?1,0 ?

x ? ?1

x ? ?1 为准线,

∴动圆圆心 M 的轨迹方程为 y 2 ? 4 x (另法:设 M ( x, y )

………………………………………………5 分

MF ? MN ? x ? 1 ? ( x ? 1)2 ? y 2 化简得y 2 ? 4 x )

(2)易求出抛物线 C 上的点 A(4, 4) ,……………………………………………………6 分 假设存在直线 m 与抛物线 C 相交于两不同的点 B, C ,使 ?ABC 的垂心为 H (8,0) ,设 B ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? , 显然直线 AH 的斜率为 ?1 ,则直线 m 的斜率为 1,设直线 m 的方程是 y ? x ? b ,由

? y2 ? 4x , 消去x化简得y2 ? 4 y ? 4b ? 0, ? ………………………8 分 ?y ? x ?b
? y1 ? y2 ? 4, y1 ? y2 ? 4b, ? ? 16 ?16b ? 0即b ? 1. …………………………………10 分
因为 ?ABC 的垂心为 H (8,0) ,所以

AC ? BH ,? AC ? BH ? ( x1 ? 8)( x2 ? 4) ? y1 ( y2 ? 4) ? 0. …………………………11 分
即 x1 x2 ? 4x1 ? 8x2 ? y1 y2 ? 4 y1 ? 32 ? 0,

?

y12 y2 2 ? 4( y1 ? b) ? 8( y2 ? b) ? y1 y2 ? 4 y1 ? 32 ? 0 16 y12 y2 2 ? y1 y2 ? 8( y1 ? y2 ) ? 12b ? 32 ? 0 ,…………………………………………12 分 16

?

?b2 ? 16b ? 0,?b ? 0或b ? ?16. ……………………………………………………13 分
当 b ? 0 时,直线 m 的方程是 y ? x ,过点 A(4, 4) ,不合题意,舍去,………14 分 所以存在这样的直线 m ,其方程是 y ? x ? 16. ………………………………………15 分

? x 2 ? 5x ? 7a,( x ? a) 20. 解: (Ⅰ) f ( x) ? x ? 5 | x ? a | ?2a ? ? 2 ? x ? 5 x ? 3a,( x ? a)
2

因为 x ? [a,3] , f ( x) ? x ? 5x ? 7a
2

若0 ? a ? 若a ?

5 5 5 ,则 f ( x) 在 [ a , ] 上为减函数,在 [ , 3] 上为增函数; 2 2 2

5 2 ,则 f ( x) ? x ? 5x ? 3a 在 x ? [a,3] 上为增函数 2

(Ⅱ)因为 x1 , x2 满足 ( x1 ? a)( x2 ? a) ? 0 ,不妨设 x1 ? a ? x2 ①当 a ?

5 2 时, k ? f (a) ? a ? 2a 2

x1 ?

?5 ? 25 ? 4k ? 12a 5 ? 25 ? 4k ? 28a , x2 ? 2 2

?| x1 ? x2 |max ? x2 ? x1 ?

5 ? 25 ? 4k ? 28a ?5 ? 25 ? 4k ? 12a ? 2 2

1 ? 5 ? [ 25 ? 4k ? 28a ? 25 ? 4k ? 12a ] ? h(k ) 2
因为 h(k ) 关于 k 为增函数,所以 h(k ) ? 5 ? [| 2a ? 5 | ? | 2a ? 5 |] ? 5 ? 2a ②当 0 ? a ?

1 2

5 25 时, k ? f (a ) ? 7 a ? 2 4

x1 ?

?5 ? 25 ? 4k ? 12a 5 ? 25 ? 4k ? 28a , x2 ? 2 2

?| x1 ? x2 |max ? x2 ? x1 ?

5 ? 25 ? 4k ? 28a ?5 ? 25 ? 4k ? 12a ? 2 2

1 ? 5 ? [ 25 ? 4k ? 28a ? 25 ? 4k ? 12a ] ? h(k ) 2
因为 h(k ) 关于 k 为增函数,所以 h(k ) ? 5 ? 10a

5 ? 1 2 5 ? [ 25 ? 4 k ? 28 a ? 25 ? 4 k ? 12 a ], k ? a ? 2 a , a ? ? ? 2 2 综上: h(k ) ? ? 1 25 ?5 ? [ 25 ? 4k ? 28a ? 25 ? 4k ? 12a ], k ? 7 a ? , 0 ? a ? 5 ? ? 2 4 2
所以当 0 ? a ?

5 5 时, h(k ) ? 10a ? 5 ,当 a ? 时, h(k ) ? 2a ? 5. 2 2


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