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高二奥赛05


3 RT, 2 其中 R 为气体普适常量,T 为热力学温度.质量 M=7.00kg 的活塞与一劲度系数 k=300N/m 的轻质弹簧相连,弹簧下端固定于气缸底部,如图所示.活塞与气缸间摩擦及弹簧的体积均 可忽略不计.平衡时测得气缸内气体温度为 T1=300K,压强为 P1=1.40×105Pa,气柱长 l1==5.00cm.而活塞上方大气压 P0=1.00×105 ,活塞的截面积

S=25.0cm2 .现有一质量 m=3.00kg 的铅柱自活塞正上方 H=80.0cm 高处自由落下,与活塞发生完全非弹性碰撞,碰 撞时间极短而可忽略.已知碰后铅柱在运动过程中某一时刻 X 与活塞分开,此时气缸内气 体温度 T2=290K,铅柱最终上升到活塞初始位置上方 h=7.80cm 高度.试求自铅柱与活塞开 始一起向下运动到铅柱刚离开活塞的整个过程中, 外界传给气缸内气体的热量. 计算中重力 加速度取 g=10.0m/s2,并假设活塞是绝热的,气缸壁是可以导热,弹簧始终处于弹性限度范 围之内.(第 13 届全国中学生物理竞赛决赛题)
1,直立圆筒形气缸内装有一定质量的理想气体.每摩尔这种气体的内能为 E=

[思路分析]要求热量,可以热力学第一定律考虑,其中内能变化量可由内能与温度的关 系式求出,但功却没有可用的公式,只好从系统(包括铅柱,活塞,弹簧)机械能的变化量去 求,前提是分析清楚力学或热学过程,用力,热学的综合知识去求解. 解:先计算相关位置及其速度:设弹簧原长为 L0,当活塞初始处于平衡时 P1S=P0S+Mg+F1 而 F1=k(L-L0) 联解得 L0=0.400(m) 铅柱下落中与活塞碰前速度 v0= 2gH =4.00(m/s)

mv0 =1.20(m/s) m+M 铅柱与活塞一起向下运动经过平衡位置,直至速度变为 0,这时弹簧压缩至最短,气缸 内气体体积也压缩至最小;接着它们一起向上作加速运动再次达到平衡位置时加速度为 0, 向上运动的速度达最大, 此后一起向上作变减速运动, 当加速度增至大小为 g 时铅柱与活塞 分离,设这时气柱长为 l2,则
碰后速度 v1=

v2 = 2 g[h( L2 L1 )]



设此时气体压强为 P2,则

P L1 P2 L2 1 = T1 T2



对此时的活塞和铅柱由牛顿第二定律有 P2S-P2S-(m+M)g-k(L2-L0)=-(m+M)g 即

P2S-P0S-k(L2-L0)=0
2



将②代③ kL2 + ( P2 S kL0 ) L2

P L1T2 S 1 =0 T1

代入数据解得 L2=0.565(m) 再代入①得 v2=0.510(m/s) 计算功和热量:对活塞,铅柱及弹簧组成的系统取铅柱和活塞碰后以 v1 开始向下运 动为初态, 取两者一起回复向上运动而刚分离时为末态, 设此过程中缸内气体对活塞作功为 W1,活塞克服大气压作功为 W2,则 W1-W2=

1 1 1 1 k(L2-L0)2- k(L1-L0)2+(m+M)Gl2+(m+M)Gl1- (m+M)v22- (m+M)v12 ④ 2 2 2 2


其中 W2=P0S(L2-L1) ⑤ 由热力学第一定律 Q=△E+W1 而△E=

3 nR(T2-T1) 2



P1L1S=Nrt1 ⑧ 联立④一⑧并代入数据解得 Q=10.7J. 说明:凡涉及求气体状态变化中吸收(放出)的热量一般都要从热力学第一定律着手分 说明 析,设法找出△E 和 W,尤其是 W,要会灵活运用三种常见求法. 2,有人设计了一种测温装置,其结构如图所示.玻璃泡 A 内封 , 有一定量气体,与 A 相连的 B 管插在水银槽中,管内水银面的高度 x 即可反映泡内气体的温度,即环境温度,并可由 B 管上的刻度直接读 出.设 B 管体积与 A 泡体积相比可忽略不计.①在标准大气压下对 B 管进行温度刻度(标准大气压相当于 76cmHg 的压强).已知当温度 t1=27℃的刻度线在 16cm 处.问①t=0℃的刻度线在 x 为多少 cm 处? ②若大气压已变为相当于 75cmHg 的压强,利用该装置测量温度时所 得读数仍为 27℃,问此时实际温度为多少?(1997 年上海高考题) [思路分析]由于 B 管体积与 A 泡体积相比可忽略, 故对 A 泡内气 体发生等容变化,由查理定律可求解. 解:①对 A 泡内气体在等容变化中由查理定律有

P P 1 = T1 T

即P =

P (76 16) 1 T= ×273=54.6(cmHg) T1 273 + 27

故 0℃的刻度线处 x=76-54.6=21.4(cm); ② 温度 读数仍 为 27℃ 表明 水银 面仍在 16cm 处, 故此时 A 泡内气 体压 强 P ′ =75-16=59(cmHg), 同理可得实际温度 T ′ =

T1 273 + 27 P′ = ×59=295(K)=22℃ P 76 16 1

说明:①分析解决物理问题时首先要确定研究对象,分析物理过程,选准所用规律,尤 说明 其要抓住对象在过程中的关键的隐含条件; ②本例提供了一种测温模型, 它在大气压稳定时

温度刻度线是均匀的,但在大气压变化的环境中测温将失灵. 3,如图左右两气缸被截面积分别为 SA,SB(SA<SB)的两活塞封有一定质量的理想气体, 两气缸内气体温度相同时系统处于平衡状态.现使两气缸内气 体温度升高相同时,问活塞向哪边移动? [思路分析]两气缸内气体温度均升高相同后缸内气体压强 均增大,气体对两活塞的压力增大,而活塞究竞如何移动(向左 或不动或向右移动均有可能)最终取决于两活塞压力△F 变化情 况:若△F 左>△F 右>0 则向右移动,若△F 右>△F 左>0 则向左移 动(当然在降温情况下若△F 左<△F 右<0 则向左移动,若△F 右<△F 左<0 则向右移动).此类问 题(活塞或液柱的动向问题)的一般思路方法先假设活塞或液柱不动,再根据查理定理判断压 强,最终是压力的变化情况来确定移动方向. 解:假设两气缸内气体在均升高相同温度△T 中两活塞均不移动,在等容升温中压强增 量分别为△PA,△PB;设初态温度均为 T,压强分别为 PA,PB,则可两缸内气体由查理定 律分比式有

PA =

PA P T , PB = B T ; T T T PA S A , T

故压力增量FA = PA S A = FB = PB S B = T PB S B ; T

对两活塞及杆这一整体由平衡条件有 P ASA+P0SB=PBSB+P0SA, 又由 SA<SB 得 PASA-PBSB=P0(SA-SB)<0 故△FB>△FA>0,事实上活塞向左移动. 思考: ①若两气缸内气体降低相同温度活塞又如何移动?②若要使 思考: 活塞不移动,则初态温度,体积和升高的温度及截面积应满足什么条 件?③在右图中与水平面成α角的两端封闭的玻璃管内一段汞柱封有 两段气柱,将玻璃管整体浸入较热的水中,重新达平衡时汞柱的位置 是否变化?如何变?(第 12 届全国中学生物理竞赛预赛题) 说明:①实际上在温度升高时左右两部分气体温度,体积和压强 说明 均变化,但若分别设出变化(如向左或右边移动△L),再列方程求解,则相当困难,故本例 采用假定两部分气体体积均不变的方法,再根据压强进而压力关系判定,这样就容易多了; ②此类问题通常还有另一种方法:作 P—T 图像,直观比较在假设活塞不移动的等容变化中 两部分气体的压强增量△P,尤其在两活塞(液柱)截面积相等时(此时只需比较△P)更直观简 捷. 4,如图一根一端封闭的均匀玻璃管长 96cm,内有一段 20cm 长汞 柱封闭着一段空气.当温度为 27℃时空气柱长 60cm,外界大气压强为 76cmHg.试问:为使汞柱从管中全部溢出温度至少要升至多少度? [思路分析]一般热学问题分析简单过程后只需考虑清楚初末态.针

对本题若

PV0 PV 96 × 60 76 × 96 0 = 即 = 得 T=380K, 这是错误的. 因为对复杂的连续变化 T0 T 300 T

过程一定还要注意中间的过程①水银开始外溢前封闭气体作等压升温; ②继续升温水银外溢 中 P,V,T 均变化,而且这类问题一般存在在 V 变化范围内的 PV 积极大值,这时对应平 衡态的最高温度; 此后即便不升温而维持该温度 PV 积要减小, 不再符合平衡态的状态方程, 在这种非平衡态的连续变化中靠体积膨胀也能将汞柱全部溢出. 解:管内气柱的整个膨胀过程以汞柱上端与管口齐平为界分为两个阶段: ①等压升温膨胀中由查理定律有

V0 V1 36 76 = 即 = T0 T1 600 T1
得 T1=380(K); ②在汞柱外溢的降压升温膨胀中,设余下汞柱长 xcm,气柱处于平衡态时温度为 TX, 由状态方程有

PV0 PV2 96 × 60 (76 + x)(96 x) 0 得 = 2 即 = 300 T0 Tx Tx Tx ) = 0, t 要使x有实解, 应使判别式 x 2 20 x 96(76 = (20)2 + 4 × 96(76 Tx )≥ 0 t Tx ) = 10cm时有PV 积最大值, t

即Tx ≤ 358(K)且x = 10 ± 100 + 96(76 此后不能维持平衡.

可见当汞柱开始溢出后在 T 为 380K 到 385K 之间有 x=20cm 和 x=10cm 两个长度的汞 柱能获得平衡,但只有当 x=10cm 即温度升高至 385K 后汞柱才能从管中全部溢出. 说明: 说明:此类问题关键理解当 Tx 再升高时便不可能有平衡的 x 解.因为: ①升温至 385K 时汞柱由于惯性继续外溢,x 减小时 PV 积减小,但无论 x 减小到何值 均不能使气柱维持平衡态; ②X 减小到某值时长为 z 的汞柱不可能向回压下以达到新的平衡, 因为原先溢出时气柱 压强大于外压强, 若能向回压下则气柱压强要小于外压强, 这在处于连续变化的过程中要求 刚向回压下时内外压强相等;即此时的 X 应对应为平衡态,这已为①所否定. 5,如图有一个直立的气缸,缸底到缸口的距离为 L0cm,用一厚 度和质量均可忽略不计的刚性活塞 A 将一定质量的空气封在气缸内, 活塞与气缸间的摩擦可忽略,平衡时活塞上表面与气缸口的距离很小 (计算时可忽略不计), 周围大气压强为 H0cmHg, 现把盛有水银的瓶子 放在活塞上(瓶子质量可忽略),平衡时活塞到气缸底的距离为 Lcm, 若不是把这瓶水银放在活塞上,而是把瓶内水银缓缓不断地倒在活塞 上方,这时活塞向下移,压缩气体直至活塞不再下移.求:此时活塞 在气缸内可能的位置以及与之相对应的条件(即题中给出量之间应满

足的关系),设气体温度不变.(1996 全国高考题) [思路分析]本例关键分析整瓶水银放在活塞上和水银缓慢倒在活塞上的区别:前者整瓶 水银作为一整体使气柱的压强和体积能突变到相应的某值, 而且不存在水银外溢的情况; 后 者在每一部分水银倒人中压强和体积是连续变化的, 而且有两种可能①水银能全部倒在活塞 上;②水银不能全部倒在活塞上;挖掘这两种可能所对应的隐含条件是关键. 解:将整瓶水银放在活塞上时: 设此时气柱压强为 P1,则由玻意耳定律有 H0L0=P1L 得

P= 1

H 0 L0 , L L0 L H0 L

故整瓶水银产生的压强为P = P H 0 = 1

将这瓶水银缓缓倒在活塞上时有两种可能: ①若全部倒入后汞柱高△P 与此时气柱长 L 之和不大于气缸总长 L0,即△P+L≤L0,则 可全部倒在活塞上. 由此可得

L0 L H 0 +L≤L0,故当 H0≤L 时活塞到缸底距离 L2=L; L

②相反若△P+L>L0,即 H0>L 时不能全部倒入. 设能倒入的最大汞柱长为 xcm,则气柱压强 P3=H0+x,气柱长 L3=L0-x,由 H0L0=P3L3, 得 x=L0-H0(x=O 舍).故当 H0>L 时活塞到缸底距离 L3=L0-x=H0. 说明: 说明 本例中整瓶水银缓缓倒入的情况①②的隐含条件也是注汞问题中汞柱能否注入的 共同隐含条件

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