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福建省四地六校2014届高三上学期第一次月考数学文试题


“华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中”六校联考

2013-2014 学年上学期第一次月考 高三(文科)数学试卷
(考试时间:120 分钟
有一个项是符合要求的) 1.在复平面内,复数 A.第一象限 2.设集合 S={x| 2 A. ?? 4,?? ?
?x

总分:150 分)

/>一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只

1 ? 2i 对应的点位于( ?i
B.第二象限

) C.第三象限 ) D. ?? 2,1? D.第四象限

? 4 },T= ?x | ?4 ? x ? 1?,则 S ? T =(
B. (?2,??) C. ?? 4,1? )

? 2x , x ? 0 3.设函数 f ? x ? ? ? 则 f ? f ? ?1? ? ? ( ? ? ?log 2 x, x ? 0,
A. 2 B. 1 C. ?2 )

D. ?1

4. a ? log 0.3 4, b ? log 4 3, c ? 0.3?2 ,则( A. a ? c ? b 5.函数 f ?x ? ? ln ?x ? 1? ? A. (0,1) B. c ? b ? a

C. a ? b ? c )

D. b ? a ? c

2 的零点所在的大致区间是( x
B. (1,2)
x 2

C. (2,3)

D. (3,4)

6.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? e ? x ? x ? sin x ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的 切线方程是( A. y ? 2 x ? 1 ) B. y ? x ? 1 C. y ? 3x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3 )

7. 在锐角 ?ABC 中, A, B 所对的边长分别为 a, b .若 2a sin B ? 3b, 则角A等于 角 ( A.

? 3

B.

? 4

C.

? 6

D.

? 12


8.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式是( A. y ? 2sin(2 x ? B. y ? 2sin(2 x ?

? ?
4

) )

4

3? ) 8 x 7? D. y ? 2sin( ? ) 2 16
C. y ? 2sin( x ? 9.已知 f ( x) 在 R 上是奇函数,且 f (x (? ?)4) ? ff (x ), 当x ? (0, 2)时,f ( x) ? 2 x , 则f (7) ? f x 2 ? ? x)
2

( ) A. ? 2

B.2

C. ? 98

D.98

10.已知函数 y ? f (x) 的图像是下列四个图像之一,且其导函数 y ? f ' ( x) 的图像如左图 所示,则该函数的图像是( )

11.若函 数 f ( x) ? ?k ? 1?a ? a
x

?x

(a ? 0, a ? 1) 在 R 上既是奇函数,也是减函数,则


g ( x) ? log a ?x ? k ? 的图像是(

12.给出下列命题,其中正确命题的个数为(
1



①在区间 (0, ??) 上,函数 y ? x ?1 , y ? x 2 , y ? ( x ? 1)2 , y ? x3 中有三个是增函数; ②命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 .则 ?p : ?x0 ? R ,使 sin x0 ? 1 ; ③若函数 f ( x) 是偶函数,则 f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1对称;

?3 x ? 2 , x ? 2, 1 ④已知函数 f ( x ) ? ? 则方程 f ( x) ? 有 2 个实数根。 2 ?log 3 ( x ? 1), x ? 2,
A. 1 B. 2 C. 3 第Ⅱ卷 (非选择题 D. 4 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.已知平面向量 a ? (1, 2), b ? (?2, k ), 若a与b 共线,则 3a ? b =________________。 14.若△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2-c2=4,且 C=60° ,则 ab 的 值为________________。

?

?

? ?

?

?

15.已知 f(x)=2x3-6x2+a (a 是常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么在[-2,2]上 f(x)的最小值 是 ____________。 16.关于函数 f(x)= 4 sin(2x+

? ) x?R) ( ,有下列命题: 3 ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 ? 的整数倍; ? ②y =f(x)的表达式可改写为 y = 4cos(2x- ) ; 6 ? ③y =f(x)的图象关于点(- ,0)对称; 6 5? ④y =f(x)的图象关于直线 x = - 对称. 12
其中正确命题的序号是________________。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题 12 分)设命题 p : 2 x ? 3x ? 1 ? 0 ;命题 q : x ? (2a+1)x+ a(a ? 1) ? 0 ,若
2
2

?p 是 ?q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? mx 2 ? 3m 2 x ? 1, m?R . 3

(1)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)若 f (x) 在区间 (?2,3) 上是减函数,求 m 的取值范围.

19. 本小题12 分) ( 已知 a, b, c 是 ?ABC 中 ?A, ?B, ?C 的对边, a ? 4 3 , b ? 6, cos A ? ? 。 (1)求 c ; (2)求 cos(2 B ?

1 3

?
4

) 的值.

20 . 本 小 题 12 分 ) 已 知 向 量 m ? (sin x, ?1) , 向 量 n ? ( (

??

?

?? ? ?? f ( x ) ? ( m ? n) · 。 m
(1)求 f (x) 的最小正周期 T; (2)若方程 f ( x) ? t ? 0 在 x ? [

1 3 c oxs , , 函 数 ) 2

? ?

, ] 上有解,求实数 t 的取值范围. 4 2

21. (本小题 12 分)某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的 全部服装的出场单价就降低 0.02 元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 600 件. (1)设一次订购 x 件,服装的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p ? f (x) 的表达式; (2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少?

22. (本小题 14 分)已知 m?R,函数 f ( x) ? ( x ? mx ? m) ? e x 。
2

(1)若函数 f (x) 没有零点,求实数 m 的取值范围; (2)若函数 f (x) 存在极大值,并记为 g (m) ,求 g (m) 的表达式; (3)当 m ? 0 时,求证: f ( x) ? x ? x 。
2 3

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2013-2014 学年上学期第一次月考高三文科数学参考答案
1. A 2、D

3、D

4、C

5. B

6.B

7. A 4 14. 3

8. B

9. A

10. B

11. A

12.C

? ? 13. 3a ? b ? 1 ? 22 ? 5 .
2

15.-37

16.②③④ 17.【解法一】 设 A={x| 2 x ? 3x ? 1 ? 0 }, B={x| x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 }, ????????????????2 分
2

易知 A={x| 1 ? x ? 1 },B={x| a ? x ? a ? 1 }. ???????????? 6 分

2

即 由?p是?q的的必要不充分条件? 从而p是q的充分不必要条件, A B,??8 分 ∴?

? a ? 1? ? 2 ?a ? 1 ? 1? ?

???????????????????????????10 分

故所求实数 a 的取值范围是 [0? 1 ] . ?????????????????12 分

2

【解法二】 P : 2 x ? 3x ? 1 ? 0
2
?

?

q : x 2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 ???????????????????2 分

记 A ? x | 2 x ? 3x ? 1 ? 0
2

?

? ?

B ? x | x 2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 ????????????????4 分
化简得 A ? ? x | x ?

?

? ?

1 ? 或x ? 1? 2 ?

B ? ?x | x ? a或x ? a ? 1? ????????????????????6 分
由 P是 q 的必要不充分条件得 B A??????????????????8 分
? ?

1 ? ?a ? ?? ?????????????????????????????10 分 2 ?a ? 1 ? 1 ?

?0 ? a ?

1 ?????????????????????????????12 分 2
1 3 x ? x 2 ? 3x ? 1 ,????????????1 分 3

18.解: (Ⅰ)当 m ? 1 时, f ( x) ?

又 f '( x) ? x ? 2 x ? 3 ,所以 f '(2) ? 5 .???????????????2 分
2

又 f (2) ?

5 , 3 5 ? 5( x ? 2) ,即 15x ? 3 y ? 25 ? 0 . 3

所以所求切线方程为 y ?

所以曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 15 x ? 3 y ? 25 ? 0 .???5 分 (Ⅱ)方法一:因为 f ' ( x) x ? 2mx ? 3m , ?
2 2

令 f '( x) 0 ,得 x ? ?3m 或 x ? m .??????????????????6 分 ?

? 当 m ? 0 时, f '( x) x2 ? 0 恒成立,不符合题意. ????????????7 分
当 m ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (?3m, m) ,若 f ( x) 在区间 (?2,3) 上是减函数, 则?

? ?3m ? ?2, 解得 m ? 3 .??????????????????????9 分 ? m ? 3.

当 m ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (m, ?3m) , f ( x) 在区间 (?2,3) 上是减函数, 若 则?

?m ? ?2, ,解得 m ? ?2 . ????????????????????11 分 ??3m ? 3.

综上所述,实数 m 的取值范围是 m ? 3 或 m ? ?2 .????????????12 分 (Ⅱ)方法二: f ?( x) ? x ? 2mx ? 3m ????????????????6 分
2 2

因为 f (x) 在区间 (?2,3) 上是减函数 所以 f ?( x) ? 0 在 (?2,3) 恒成立????????????????????7 分 因此 ?

? f ?(?2) ? 0 ??????????????????????????9 分 ? f ?(3) ? 0

2 ? ?m ? ?2或m ? 则? 3 ????????????????????????11 分 ?m ? ?1或m ? 3 ? 故实数 m 的取值范围 m ? ?2或m ? 3 ?????????????????12 分

2 2 2 19.【答案】 (1)在 △ABC 中,由余弦定理得, a ? b ? c ? 2bc cos A

1 48 ? 36 ? c 2 ? 2 ? c ? 6 ? (? ) 3 ?????????????????????2 分
2 即 c ? 4c ? 12 ? 0 , (c ? 6)(c ? 2) ? 0 ,解得 c ? 2 ???????????4 分

(2)由 cos A ? ?

2 2 1 ? 0 得 A 为钝角,所以 sin A ? 3 ??????????5 分 3

在 △ ABC 中, 由正弦定理,得

a b ? sin A sin B

b ? sin A ? 则 sin B ? a

6?

2 2 3 ? 6 3 ????????????????????6 分 4 3
3 3 ???????????????????????7 分

由于 B 为锐角,则 cos B ?

cos 2 B ? 1 ? 2 sin 2 B ? 1 ? 2 ?

2 1 ?? 3 3 ????????????????????8 分
6 3 2 2 ? ? 3 3 3 ?????????????????9 分

sin 2 B ? 2 sin B ? cos B ? 2 ?

所以 cos(2 B ?

?
4

)?

2 2 1 2 2 4? 2 (cos 2 B ? sin 2 B) ? (? ? )? 2 2 3 3 6 ????12 分

20.解:(Ⅰ)f ( x) ? (m ? n) ? m ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ?

1 2 ??????2 分

1-cos 2 x 3 1 3 1 = ?1? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 2 2 2 ?4 分

? sin(2 x ?

?
6

) ?1
???????????????????6 分

? ? ? 2,? T ?

2? ?? 2 ?????????????????????????7 分

? 5? ?? ? ? ? (Ⅱ) x ? ? , ?,? ? 2 x ? ? ? 6 6 ??????????????8 分 ?4 2? 3
? 1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6 ???????????????????10 分 3 ? f ( x) ? 2 2 ??????????????????????11 分

?

?? ? ? ? 方程f ( x) ? t ? 0在x ? ? , ?上有解, ?4 2?

?

3 ?3 ? ? t ? 1,? 实数t的取值范围? ,1? 2 ? 2 ? ???????????12 分

21.【答案】(1)当 0<x≤100 时,p=60;????????????????1 分 当 100<x≤600 时,

p=60-(x-100)×0.02=62-0.02x.??????????????????2 分
?60, 0<x≤100, ? ∴p=? ? ?62-0.02x, 100<x≤600.

??????????????????4 分

(2)设利润为 y 元,则 当 0<x≤100 时,y=60x-40x=20x;??????????????????5 分 当 100<x≤600 时,y=(62-0.02x)x-40x=22x-0.02x .????????? 6 分
? 0<x≤100, ?20x, ∴y=? 2 ? ?22x-0.02x , 100<x≤600.
2

??????????????????7 分

当 0<x≤100 时,y=20x 是单调增函数,当 x=100 时,y 最大,此时 y=20×100=2 000; ???????????????????????????????????9 分 当 100<x≤600 时,

y=22x-0.02x2=-0.02(x-550)2+6 050, ∴当 x=550 时,y 最大,此时 y=6 050.显然 6 050>2 000.??????????11 分
所以当一次订购 550 件时,利润最大,最大利润为 6 050 元.?????????12 分

22.解: 【解】 (1)令 f(x)=0 得 ( x ? mx ? m) ? e ? 0?
2

x

∴ x ? mx ? m ? 0 . ??????????????????????????1 分
2

∵函数 f(x)没有零点,∴ ? ? m ? 4m ? 0 .
2

∴0<m<4. ??????????????????????????????3 分
x (2)f′(x)=(2x+m)e ?( x ? mx ? m) e
x 2

=(x+2)(x+m)e ?
x

令 f′(x)=0,得 x=-2 或-m. ??????????????????????4 分 当 m>2 时,则-m<-2, 此时随 x 变化,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

当 x=-m 时,f(x)取得极大值 me
2 x

?m

? ??????????????????6 分

当 m=2 时,f′(x) ? ( x ? 2) e ? 0? f ( x) 在 R 上为增函数,∴f(x)无极大值. ??7 分

当 m<2 时,则-m>-2, 此时随 x 变化,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

当 x=-2 时,f(x)取得极大值(4-m)e ? ∴g(m)= ?

?2

? me ? m ? m ? 2?
?2 ?(4 ? m)e ? m ? 2?

??????????????????????9 分

(3)证明:当 m=0 时 ? f ( x) ? x e ? ????????????????????10 分
2
x

要证 f ( x) ? x ? x ? x ( x ? 1)?
2 3 2

即证 e ? x ? 1?
x

即证 e ? x ? 1 ? 0? ??????????????????????????11 分
x

令 g(x)=e ? x ? 1? 则 g′(x)=e ?1? ??????????????????12 分
x x

∴当 x>0 时 g(x)为增函数; 当 x<0 时 g(x)为减函数, ∴x=0 时 g(x)取最小值,g(0)=0. ∴ g ( x) ? 0 . ∴e ? x ? 1 ? 0 .∴ f ( x) ? x ? x . ??????????????????14 分
x
2 3


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