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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(30)


加试模拟训练题(30) (附详细答案) 1、 设 ABCDEF 是凸六边形,满足 AB=BC=CD, DE=EF=FA,∠BCD=∠EFA=60?.设 G 和 H 是这六边形 内部的两点,使得∠AGB=∠DHE∠120? 试证:AG+GB+GH+DH+HE≥CF. 2. 设 a ? 0, n ? N , 求证 1 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a 2n n ? 1 ? n a ? a 3 ? ? ? a 2 n ?1 3、 设有两个完全相同的齿轮 A、B,B 被平放在一个水平面上,A 放在 B 上面并使两者完全 重合(从而两者在水平面上的投影完全重合), 然后任意去掉四对重合的齿. 如果两齿轮各有 14 个齿,试问:能否将齿轮 A 绕两齿轮的公共轴旋转一个适当的位置,使得两齿轮在水平 面上的投影合为一个完整齿轮的投影?如果两齿轮各原有 13 个齿,又是怎样呢?请证明你 的论断. 4.求出最小正整数 n,使其恰有 144 个不同的正因数,且其中有 10 个连续整数. 加试模拟训练题(30) 1、 设 ABCDEF 是凸六边形,满足 AB=BC=CD, DE=EF=FA,∠BCD=∠EFA=60?.设 G 和 H 是这六边形内部的两点,使得∠AGB=∠ DHE∠120? 试证:AG+GB+GH+DH+HE≥CF. 【题说】 第三十六届(1995 年)国际数学奥林匹克题 5. 【证】 连 BD,AE.由于 BC=CD,∠BCD=60?,所以 BD=BC=AB.同样 AE=ED. 连 BE,则 A、D 关于 BE 对称.设 G、H 关于 BE 的对 称点分别为 G'、H'.则△BG'D 与△BGA 关于 BE 对称, 所以∠BG'D=∠BGA=120?,G'在正三角形 BCD 的外接圆上. 熟知 CG'=DG'+G'B=AG+GB 同理 HF=AH'+H'E=DH+HE 因此 AG+GB+GH+DH+HE=CG'+G'H'+H'F≥CF 2. 设 a ? 0, n ? N , 求证 1 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a 2n n ? 1 ? n a ? a 3 ? ? ? a 2 n ?1 证明 设数列 {a n } 的通项公式为 an ? ? 1 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a 2n 1 ?1? 3 2 n ?1 n a ? a ??? a 1 1 ? a ?1? . 2 n ?1 n a ? a ??? a 3 则 a n ?1 ? a n ? 1 1 1 1 ? a ?1? ? ? a ?1? 2 n ?1 2 n ?1 3 2 n ?1 n ?1 a ? a ??? a n a ? a ??? a ?a 3 ? a 2 n ?1 1 ? ? 3 2 n ?1 2 n ?1 3 2 n ?1 n(n ? 1) (a ? a ? ? ? a ? a )(a ? a ? ? ? a ) 由 a ? a 3 ? ? ? a 2 n ?1 ? a 2 n ?1 ? (n ? 1)n ?1 a ? a 3 ?? ? a 2 n ?1 ? (n ? 1)a n ?1 . a ? a 3 ? ? ? a 2 n ?1 ? n n a ? a 3 ?? ? a 2 n ?1 ? na n . 得 ? a 2 n ?1 1 . ?? 3 2 n ?1 2 n ?1 3 2 n ?1 n(n ? 1) (a ? a ? ? ? a ? a )(a ? a ? ? ? a ) 故 a n ?1 ? a n ? 0


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