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《2.2函数的定义域和值域》 教案


函数的定义域和值域
适用学科 适用区域 知 识 点 教学目标 教学重点 教学难点 数学 新课标 1. 2. 求函数定义域的常用方法 求函数值域常用的方法 适用年级 课时时长(分钟) 高一 60

进一步掌握构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域; 定义域、值域的求法 定义域、值域的求法

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教学过程
一、课堂导入 函数的三要素为:定义域,值域,对应法则。那么对于求函数的定义域及值域,我们一般都采用什么方法呢,本节 课我们就一起来学习如何求解函数的定义域及值域

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二、复习预习 1、函数的概念及三要素 2、函数的表示方法

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三、知识讲解 考点 1 常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数被开方式大于或等于 0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为 R. (4)y=ax(a>0 且 a≠1),y=sin x,y=cos x,定义域均为 R. (5)y=logax(a>0 且 a≠1)的定义域为(0,+∞).
? ? π (6)y=tan x 的定义域为?x|x≠kπ+2,k∈Z?. ? ?

(7)实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式有意义外,还要考虑实际问题对函数自变量的制约.

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考点 2 基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是 R. (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是: 当 a>0 时,值域为?y|y≥
? ? ? ? ? ? ? ? ? 4ac-b2? ?; 4a ? ? ? 4ac-b2? ?. 4a ? ?

当 a<0 时,值域为?y|y≤

k (3)y=x(k≠0)的值域是{y|y≠0}. (4)y=ax(a>0 且 a≠1)的值域是{y|y>0}. (5)y=logax(a>0 且 a≠1)的值域是 R. (6)y=sin x,y=cos x 的值域是[-1,1]. (7)y=tan x 的值域是 R.

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考点 3 分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间的关系 分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集

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三、例题精析 【例题 1】 【题干】(1)(2012· 江苏高考)函数 f(x)=

1-2log6x的定义域为________.

(2)已知 f(x)的定义域是[-2,4],求 f(x2-3x)的定义域.

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【答案】(0, 6 ] 1 【解析】(1)由 1-2log6x≥0 解得 log6x≤2?0<x≤ 6,故所求定义域为(0, 6 ]. (2)∵f(x)的定义域是[-2,4], ∴-2≤x2-3x≤4,由二次函数的图象可得,-1≤x≤1 或 2≤x≤4. ∴定义域为[-1,1]∪[2,4]

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【例题 2】 【题干】求下列函数的值域. (1)y=x2+2x,x∈[0,3]; (2)y= x2-x ; x -x+1
2

(3)y=log3x+logx3-1.

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【解析】(1)(配方法)y=x2+2x=(x+1)2-1, ∵0≤x≤3, ∴1≤x+1≤4.∴1≤(x+1)2≤16. ∴0≤y≤15, 即函数 y=x2+2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]. x2-x+1-1 1 (2)y= 2 =1- 2 , x -x+1 x -x+1 ? 1? 3 3 ∵x2-x+1=?x-2?2+4≥4, ? ? 1 4 ∴0< 2 ≤3, x -x+1 1 ? 1 ? ∴-3≤y<1,即值域为?-3,1?. ? ? 1 (3)y=log3x+log x-1, 3 令 log3x=t, 1 则 y=t+ t -1(t≠0),
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当 x>1 时,t>0,y≥2

1 t· t -1=1,

1 当且仅当 t= t 即 log3x=1,x=3 时,等号成立; 当 0<x<1 时,t<0, ? ? 1?? y=-??-t?+?- t ??-1≤-2-1=-3. ? ? ?? 1 1 当且仅当-t=- t 即 log3x=-1,x=3时,等号成立. 综上所述,函数的值域是(-∞,-3]∪[1,+∞).

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【例题 3】 【题干】若函数 f(x)= 1 ?1 ? 在区间[a,b]上的值域为?3,1?,则 a+b=________. ? ? x-1

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【答案】6 【解析】∵由题意知 x-1>0,又 x∈[a,b], ∴a>1.则 f(x)= 则 f(a)= 1 在[a,b]上为减函数, x-1

1 1 1 =1 且 f(b)= = , a-1 b-1 3

∴a=2,b=4,a+b=6.

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【例题 4】 1 ?1 ? 【题干】若函数 f(x)的值域是?2,3?,则函数 F(x)=f(x)+ 的值域是( ? ? f?x? ?1 ? A.?2,5? ? ? 10? ? C.?2, 3 ? ? ? ?5 ? B.?6,5? ? ? 10? ? D.?3, 3 ? ? ? )

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【答案】

C

1 【解析】令 t=f(x),则2≤t≤3. 1 ?1 ? 易知函数 g(t)=t+ t 在区间?2,1?上是减函数,在[1,3]上是增函数. ? ? 10 ?1? 5 又因为 g?2?=2,g(1)=2,g(3)= 3 . ? ? 可知函数 F(x)=f(x)+ 10? 1 ? 的值域为?2, 3 ?. ? ? f?x?

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五、课堂运用 【基础】 1.已知 a 为实数,则下列函数中,定义域和值域都有可能是 R 的是( A.f(x)=x2+a C.f(x)=ax2+x+1 B.f(x)=ax2+1 D.f(x)=x2+ax+1

)

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解析:选 C

当 a=0 时,f(x)=ax2+x+1=x+1 为一次函数,其定义域和值域都是 R.

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2.设 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数 f(x)的定义域为 M,值域为 N,则 f(x)的图象可以是(

)

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解析:选 A A 中定义域是[-2,2],值域为[0,2];B 中定义域为[-2,0],值域为[0,2];C 不表示函数;D 中的值域不 是[0,2].

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3.函数 y=2- -x2+4x的值域是( A.[-2,2] C.[0,2]

)

B.[1,2] D.[- 2, 2 ]

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解析:选 C

∵-x2+4x=-(x-2)2+4≤4,0≤ -x2+4x≤2,-2≤- -x2+4x≤0,

0≤2- -x2+4x≤2,∴0≤y≤2.

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【巩固】 4.函数 y= 1 的定义域是________. 6-x-x2

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解析:由函数解析式可知 6-x-x2>0,即 x2+x-6<0,故-3<x<2. 答案:(-3,2)

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5.(2013· 厦门模拟)定义新运算“⊕”: 当 a≥b 时, a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b2.设函数 f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[- 2,2],则函数 f(x)的值域为________.

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?x-2,x∈[-2,1], 解析:由题意知,f(x)=? 3 ,2]. ?x -2,x∈ 当 x∈[-2,1]时,f(x)∈[-4,-1];当 x∈(1,2]时,f(x)∈(-1,6],故当 x∈[-2,2]时,f(x)∈[-4,6]. 答案:[-4,6]

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【拔高】 6.下列函数中,与函数 y= A.f(x)=ln x C.f(x)=|x| 1 有相同定义域的是( x 1 B.f(x)= x D.f(x)=ex )

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解析:选 A 当 x>0 时,

1 1 有意义,因此函数 y= 的定义域为{x|x>0}. x x

对于 A,函数 f(x)=ln x 的定义域为{x|x>0}; 1 对于 B,函数 f(x)= x 的定义域为{x|x≠0,x∈R}; 对于 C,函数 f(x)=|x|的定义域为 R; 对于 D,函数 f(x)=ex 的定义域为 R. 所以与函数 y= 1 有相同定义域的是 f(x)=ln x. x

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7.已知函数 f(x)=x2+4ax+2a+6. (1)若函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数 f(x)的函数值均为非负数,求 g(a)=2-a|a+3|的值域.

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解:(1)∵函数的值域为[0,+∞),∴Δ=16a2-4(2a+6)=0 3 ?2a2-a-3=0?a=-1 或 a=2. (2)∵对一切 x∈R 函数值均为非负, 3 ∴Δ=8(2a2-a-3)≤0?-1≤a≤ .∴a+3>0. 2 3? 17? 3?? ? ? ∴g(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2=-?a+2?2+ 4 ?a∈?-1,2??. ? ? ? ? ?? 3? ? ∵二次函数 g(a)在?-1,2?上单调递减, ? ? 19 ?3? ∴g?2?≤g(a)≤g(-1),即- 4 ≤g(a)≤4. ? ? ? 19 ? ∴g(a)的值域为?- 4 ,4?. ? ?

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课程小结
1、求函数定义域应注意的问题 (1)如果没有特别说明,函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数 x 的集合. (2)不要对解析式进行化简变形,以免定义域变化. (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分 的集合. (4)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接. 2、妙求函数的值域 (1)当所给函数是分式的形式,且分子、分母是同次的,可考虑用分离常数法; (2)若与二次函数有关,可用配方法; (3)若函数解析式中含有根式,可考虑用换元法或单调性法; (4)当函数解析式结构与基本不等式有关,可考虑用基本不等式求解; (5)分段函数宜分段求解; (6)当函数的图象易画出时,还可借助于图象求解.

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