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第二章 基本初等函数章末过关检测卷(人教A版必修一)


数学· 必修 1(人教 A 版)

第二章

基本初等函数章末过关检测卷
评价分值:150 分)

(测试时间:120 分钟

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) ? 1 ? 1. 设 a∈?-1,1,2,3

?, 则使函数 y=xa 的定义域为 R 且为奇 ? ? 函数的所有 a 值为( ) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 答案:A 2.(2013· 江西卷)函数 y= x ln(1-x)的定义域为( A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 答案:B )

3. 若函数 f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 等于( ) 1 2 2 1 A. B. C. D. 4 2 4 2 答案:C

4.函数 f(x)=2-|x|的值域是( ) A.(0,1] B.(0,1) C.(0,+∞)
-x ? ?2 ,x≥0, 解析:f(x)=? x 作图象如下: ?2 ,x<0, ?

D.R

故所求值域为(0,1]. 答案:A

A.a<b<c 答案:A

B.c<b<a

C.c<a<b

D.b<a<c

1 6.函数 f(x)=|log x|的单调递增区间是( ) 2 ? 1? A.?0,2? B.( 0,1) C.(0,+∞) D.[1,+∞) ? ? 1 解析:画 y=|log x|的图象如下: 2

由图象知单调增区间为[1,+∞). 答案:D

7.函数 y=2x-x2 的图象大致是(

)

解析:因为当 x=2 或 4 时,2x -x2=0,所以排除 B、C;当 x 1 =-2 时,2x -x2= -4<0,故排除 D,所以选 A. 4 答案:A log2716 8. 的值为 ( log34 3 A.2 B. 2 答案:D

) C.1 D. 2 3

9.(2013· 浙江卷)已知 x,y 为正实数,则( ) lg x+lg y lg x lg y lg(x+y) lg x lg y A.2 =2 +2 B.2 =2 · 2
lg y C.2lg x· =2lg x+2lg y

D.2lg(xy)=2lg x· 2lg y

答案:D

1 10.当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( ) 2 ? ? 2 ? 2? A.?0, ? B.? ,1? C.(1, 2) D.( 2,2) 2? ? ? 2 ? 答案:B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填 在题中横线上) 11.图中一组函数图象,它们分别与其后所列的一个现实情境相 匹配:

情境 A:一份 30 分钟前从冰箱里取出来,然后被放到微波炉里 加热,最后放到餐桌上的食物的温度(将 0 时刻确定为食物从冰箱里 被取出来的那一刻); 情境 B:一个 1970 年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的 价值(它被一个爱好者收藏,并且被保存得很好); 情境 C: 从你刚开始放水洗澡, 到你洗完后把它排掉这段时间浴 缸里水的高度; 情境 D:根据乘客人数,每辆公交车一趟营运的利润; 其中情境 A、B、C、D 分别对应的图象是__________(填序号). 答案:①③④②

12.设 f(x)是定义在区间(-1,1)上的奇函数,它在区间[0,1)上单 调递减,且 f(1-a)+f(1-a2)<0,则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵f(x)是(-1,1)的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),且在[0,1)上递减. ∴f(1-a)+f(1-a2)<0 即等价于 f(1-a)<f(a2-1), 1-a>a -1, ? ? 即?-1<1-a<1, ? ?-1<1-a2<1 答案:(0,1)
2

?0<a<1.

13.已知 a>0 且 a≠1,则函数 f (x)=ax-2-3 的图象必过定点 ________. 答案:(2,-2)

14. 函数 y=f(x)的图象与 g(x)=log2x(x>0)的图象关于直线 y=x 对称,则 f(-2)的值为________. 解析:∵y=f(x)与 y=log2x(x>0)的图象关于 y=x 对称, ∴f(x)=2x, 1 ∴f(-2)=2-2= . 4 1 答案: 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤) 2lg 2+lg 3 15.(本小题满分 12 分)计算:(1) ; 1 1 1+ lg 0.36+ lg 8 2 3 3 3 6 (2)2 3× 12× . 2 解析:(1)原式= = lg?4×3? 1+lg 0.6+lg 2

lg 12 1+lg 1.2 lg 12 = =1. lg 10+lg 1.2 6 9 6 6 9 (2) 原 式= 2 27 × 12 × = 2 27×12× = 2 27×27 = 4 4 6 6 6 2 36=2×3=6. 1 1 ?3?1 或原式=2×3 ×12 ×?2? 2 6 ? ?3

1 1 1 1 1 =2×3 ×3 ×(22) ×3 ×2- 2 6 6 3 3 1 1 1 1 1 =21+2× - ×3 + + =2×3=6. 6 3 2 6 3

2x-1 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= x . 2 +1 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)判断并用定义证明 f(x)在(-∞,+∞)上的单调性.

解析:

17.(本小题满分 14 分)若 f(x)=x2-x+b 且 f(log2a)=b, log2f(a)=2(a≠1). (1)求 f(log2x)的最小值及对应的 x 值. (2)x 取何值时,f(log2x)>f(1)且 log2f(x)<f(1). 解析:(1)∵f(x)=x2-x+b ∴f(log2a)=(log2a)2-log2a+b ∴(log2a)2-log2a+b=b ∴log2a(log2a-1)=0 ∵a≠1,∴log2a-1=0,∴a=2. 又 log2f(a)=2,∴f(a)=4,∴a2-a+b=4, ∴b=4-a2+a=2,故 f(x)=x2-x+2 从而 f(log2x)=(log2x)2-log2x+2 ? 1? 7 =?log2x-2?2+ 4 ? ? 1 7 ∴当 log2x= 即 x= 2时,f(log2x)有最小值 . 2 4 2 ? ??log2x? -log2x+2>2, (2)由题意? 2 ? ?log2?x -x+2?<2,
?x>2或0<x<1, ? ∴? ∴0<x<1. ? ?-1<x<2,

18. (本小题满分 14 分)已知 n∈N*, f(n)=n· 0.9n, 比较 f(n)与 f(n +1)大小,并求 f(n)的最大值. 解析:f(n+1)-f(n)=(n+1)· 0.9n+1-n· 0.9n=0.9n(0.9n+0.9-n) 9-n = · 0.9n, 10 ∵0.9n>0,∴当 0<n<9 时,f(n+1)>f(n); 当 n=9 时,f(n+1)=f(n),即 f(10)=f(9); 当 n>9 时,f(n+1)<f(n). 综上所述,f(1)<f(2)<…<f(9)=f(10)>f(11)>… ∴当 n=9 或 n=10 时,f(n)最大, 最大值为 f(9)=9×0.99.

19.(本小题满分 14 分)一片森林面积为 a,计划每年砍伐一批木 材,每年砍伐面积的百分比相等,且砍伐到原面积的一半时,所用时 间是 T 年.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 25%.已 2 知到今年止,森林剩余面积为原来的 . 2 (1)问:到今年止,该森林已砍伐了多少年?

(2)问:今后最多还能砍伐多少年?

解析:设每年砍伐面积的百分比为 b(0<b<1), 1 则 a(1-b)T= a, 2 1 lg 2 1 ∴(1-b)T= ,lg(1-b)= T . 2 (1)设到今年为止,该森林已砍伐了 x 年, 2 2 ∴a(1-b)x= a?xlg(1-b)=lg . 2 2 1 lg 2 2 T 于是 x·T =lg ?x= . 2 2 T 这表明到今年止,该森林已砍伐了 年. 2 (2)设从开始砍伐到至少保留原面积的 25%,需 y 年. 1 1 ∴a(1-b)y≥ a?ylg(1-b)≥lg , 4 4 1 lg 2 1 ∴y·T ≥lg ?y≤2T. 4 T 3T 因此今后最多还能砍伐的年数为 2T- = . 2 2

20.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=lg(ax-bx)(其中 a>1>b >0). (1)求函数 y=f(x)的定义域; (2)在函数 f(x)的图象上是否存在不同的两点, 使过这两点的直线 行于 x 轴.
?a? 解析:(1)ax-bx>0?ax>bx??b?x>1, ? ?

a ∵a>1>b>0,∴b>1.
?a? ?a? ∴?b?x>?b?0. ? ? ? ?

∴x>0.即函数定义域为(0,+∞). (2)一方面,x>0,a>1,y=ax 在(0,+∞)上为增函数,另一方 面,x>0,0<b<1,y=-bx 在(0,+∞)上也是增函数. ∴函数 y=ax-bx 在(0,+∞)上为增函数. ∴f(x)=lg(ax-bx)在(0,+∞)上为增函数. 故不存在这样的点,使过这两点的直线平行于 x 轴.


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