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高中数学导数练习题


专题 8:导数(文)
经典例题剖析 考点一:求导公式。 例 1. f ?( x ) 是 f ( x ) ?

1 3 x ? 2 x ? 1 的导函数,则 f ?(?1) 的值是 3



解析: f ' ?x ? ? x 2 ? 2 ,所以 f ' ?? 1? ? 1 ? 2 ? 3 答案:

3 考点二:导数的几何意义。

,f ( 1 处 ) )的 切 线 方 程 是 y ? 例 2. 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 M ( 1 f ( 1? ) f ? (? 1)
解析:因为 k ? 。

1 x?2 , 则 2

1 1 5 ,f (1)) ,可得点 M 的纵坐标为 ,所以 ,所以 f ' ?1? ? ,由切线过点 M (1 2 2 2

f ?1? ?

5 ,所以 f ?1? ? f ' ?1? ? 3 2


答案:3

, ? 3) 处的切线方程是 例 3.曲线 y ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 2 在点 (1

, ? 3) 处切线的斜率为 k ? 3 ? 4 ? 4 ? ?5 ,所以设切线方程为 解析: y' ? 3x 2 ? 4x ? 4 ,? 点 (1
y ? ?5x ? b ,将点 (1, ? 3) 带入切线方程可得 b ? 2 ,所以,过曲线上点 (1, ? 3) 处的切线方程为: 5x ? y ? 2 ? 0
答案: 5 x ? y ? 2 ? 0 点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 考点四:函数的单调性。 例 5.已知 f ?x? ? ax ? 3x ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围。
3 2

解析: 函数 f ?x ? 的导数为 f ' ?x ? ? 3ax ? 6 x ? 1。 对于 x ? R 都有 f ' ?x ? ? 0 时, f ?x ? 为减函数。
2

由 3ax2 ? 6 x ? 1 ? 0?x ? R? 可得 ?

?a ? 0 ,解得 a ? ?3 。所以,当 a ? ?3 时,函数 ? ? ? 36 ? 12a ? 0

f ?x ? 对 x ? R 为减函数。

1? 8 ? (1) 当 a ? ?3 时, f ?x ? ? ?3x ? 3x ? x ? 1 ? ?3? x ? ? ? 。 3? 9 ?
3 2

3

由函数 y ? x 3 在 R 上的单调性,可知当 a ? ?3 是,函数 f ?x ? 对 x ? R 为减函数。 (2) 当 a ? ?3 时,函数 f ?x ? 在 R 上存在增区间。所以,当 a ? ?3 时,函数 f ?x ? 在 R 上不是 单调递减函数。 综合(1)(2)(3)可知 a ? ?3 。 答案: a ? ?3 点评:本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题,要有求导意识。 考点五:函数的极值。 例 6. 设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值。 (1)求 a、b 的值;

3] ,都有 f ( x) ? c2 成立,求 c 的取值范围。 (2)若对于任意的 x ? [0,
解析:( 1) f ?( x) ? 6 x2 ? 6ax ? 3b ,因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 ,

?6 ? 6a ? 3b ? 0, f ?(2) ? 0 .即 ? ,解得 a ? ?3 , b ? 4 。 ?24 ? 12a ? 3b ? 0.
(2)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2x3 ? 9x2 ? 12x ? 8c , f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) 。

1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (2, 3) 时, f ?( x) ? 0 。所以,当 x ? 1 当 x ? (0,
时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ?8 c , f (3) ? 9 ? 8c 。则当 x ??0, 3? 时, f ( x) 的最大 值为 f (3) ? 9 ? 8c 。因为对于任意的 x ??0, 3? ,有 f ( x) ? c2 恒成立, 所以

9 ? 8c ? c 2 ,解得

c ? ?1 或 c ? 9 ,因此 c 的取值范围为 (??, ? 1) ? (9, ? ?) 。

? 1) ? (9, ? ?) 。 答案:(1) a ? ?3 , b ? 4 ;(2) (??,

点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数 f ?x ? 的极值步骤:①求导数 f ' ? x ? ; ②求 f ' ?x ? ? 0 的根;③将 f ' ?x ? ? 0 的根在数轴上标出,得出单调区间,由 f ' ? x ? 在各区间上取值 的正负可确定并求出函数 f ?x ? 的极值。 考点六:函数的最值。 例 7. 已知 a 为实数,f ?x ? ? x 2 ? 4 ?x ? a ? 。 求导数 f ' ? x ? ; (2) 若 f ' ?? 1? ? 0 , 求 f ?x ? 在区间 ?? 2,2? 上的最大值和最小值。 解析:(1) f ?x? ? x 3 ? ax2 ? 4 x ? 4a ,? f ' ?x ? ? 3x 2 ? 2ax ? 4 。

?

?

1 。? f ' ?x? ? 3x 2 ? x ? 4 ? ?3x ? 4??x ? 1? 2 4 令 f ' ?x ? ? 0 ,即 ?3x ? 4??x ? 1? ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? , 则 f ?x ? 和 f ' ? x ? 在区间 ?? 2,2?上随 x 3
(2) f ' ?? 1? ? 3 ? 2a ? 4 ? 0 ,? a ? 的变化情况如下表:

x
f ' ?x ? f ?x ?
f ?? 1? ? f ?? 1? ?

?2

?? 2,?1?


?1
0 极大值

4? ? ? ? 1, ? 3? ?
— 减函数

4 3
0 极小值

?4 ? ? ,2 ? ?3 ?
+ 增函数

2

0

增函数

0

9 , 2 9 。 2

50 ?4? 。所以, f ?x ? 在区间 ?? 2,2? 上的最大值为 f? ??? 27 ?3?

50 ?4? ,最小值为 f? ??? 27 ?3?

答案:(1) f ' ?x ? ? 3x ? 2ax ? 4 ;(2)最大值为 f ? ? ? ?
2

?4? ?3?

9 50 ,最小值为 f ?? 1? ? 。 2 27

点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数 f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的最值,要先求出函数

f ?x ? 在区间 ?a, b ? 上的极值,然后与 f ?a ? 和 f ?b ? 进行比较,从而得出函数的最大最小值。
考点七:导数的综合性问题。
3 例 8. 设 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0 )为 奇 函 数 , 其 图 象 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 与 直 线

x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f '( x) 的最小值为 ?12 。(1)求 a , b , c 的值;
(2)求函数 f ( x ) 的单调递增区间,并求函数 f ( x ) 在 [?1,3] 上的最大值和最小值。 解析: (1)∵ f ( x ) 为奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) ,即 ?ax ? bx ? c ? ?ax ? bx ? c
3 3

∴c ? 0, ∵ f '( x) ? 3ax 2 ? b 的最小值为 ?12 , ∴ b ? ?12 , 又直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 的斜率为 因此, f '(1) ? 3a ? b ? ?6 ,∴ a ? 2 , b ? ?12 , c ? 0 . (2) f ( x) ? 2 x3 ?12 x 。

1 , 6

f '( x) ? 6x2 ?12 ? 6( x ? 2)( x ? 2) ,列表如下:
? 2
0
极大

x
f '( x)
f ( x)

(??, ? 2)

(? 2, 2)
?
减函数

2
0
极小

( 2, ??)

?
增函数

?
增函数

所以函数 f ( x ) 的单调增区间是 (??, ? 2) 和 ( 2, ??) ,∵ f (?1) ? 10 , f ( 2) ? ?8 2 ,

f (3) ? 18 ,∴ f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值是 f (3) ? 18 ,最小值是 f ( 2) ? ?8 2 。
答案:(1) a ? 2 , b ? ?12 , c ? 0 ;(2)最大值是 f (3) ? 18 ,最小值是 f ( 2) ? ?8 2 。 点评:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以及推理能 力和运算能力。

导数强化训练 (一) 选择题 1. 已知曲线 y ? A.1
3

1 x2 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( A ) 2 4
B .2
2

C.3

D.4 ( B )

2. 曲线 y ? x ? 3x ? 1在点(1,-1)处的切线方程为 A. y ? 3 x ? 4

B. y ? ?3x ? 2 C. y ? ?4 x ? 3 D. y ? 4 x ? 5

3. 函数 y ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 在 x ? 1 处的导数等于 A.1 B.2 C.3 D.4

( D



4. 已知函数 f ( x)在x ? 1处的导数为 3, 则f ( x) 的解析式可能为 A. f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 3( x ? 1) C. f ( x) ? 2( x ? 1) 2 B. f ( x) ? 2( x ? 1) D. f ( x ) ? x ? 1

( A



5. 函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a =( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

6. 函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 1 是减函数的区间为( D

)

(A) (2, ??) (B) ( ??, 2) (C) ( ??, 0) (D) (0, 2) 7. 若函数 f ?x? ? x 2 ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ' ? x ? 的图象是( A )

y

y

y

y

o

x

o B

x

o C

x

o D

x

A

8. 函数 f ( x) ? 2 x2 ? x3 在区间 [0 , 6] 上的最大值是( A ) A.

1 3

32 3
3

B.

16 3

C. 12

D. 9 A )

9. 函数 y ? x ? 3x 的极大值为 m ,极小值为 n ,则 m ? n 为 ( A.0 B.1
3

C.2

D.4 A )

10. 三次函数 f ?x? ? ax ? x 在 x ? ?? ?,??? 内是增函数,则 ( A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? 1

D. a ?

1 3

11. 在函数 y ? x 3 ? 8x 的图象上,其切线的倾斜角小于 ( D B.2 ) C.1

? 的点中,坐标为整数的点的个数是 4
D.0

A.3

12. 函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在开 区间 ( a, b) 内有极小值点( A ) A.1 个 B.2 个 C .3 个 D. 4 个

y

y ? f ?( x)

b

a
(二) 填空题

O

x

13. 曲线 y ? x 3 在点 ?1,1? 处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积为__________。 14. 已知曲线 y ?

1 3 4 x ? ,则过点 P(2, 4) “改为在点 P(2, 4) ”的切线方程是______________ 3 3

15. 已知 f ( n ) ( x) 是对函数 f ( x ) 连续进行 n 次求导,若 f ( x) ? x6 ? x5 ,对于任意 x ? R ,都有

f ( n ) ( x) =0,则 n 的最少值为



16. 某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费用为 4 x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x ? 吨. (三) 解答题
3 2 17. 已知函数 f ?x? ? x ? ax ? bx ? c ,当 x ? ?1 时,取得极大值 7;当 x ? 3 时,取得极小值.求

这个极小值及 a, b, c 的值.

18. 已知函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 9 x ? a.
3 2

(1)求 f ( x) 的单调减区间;

(2)若 f ( x) 在区间[-2,2].上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.

19. 设 t ? 0 ,点 P( t ,0)是函数 f ( x) ? x 3 ? ax与g ( x) ? bx2 ? c 的图象的一个公共点,两函数的 图象在点 P 处有相同的切线。 (1)用 t 表示 a, b, c ; (2)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围。

20. 设函数 f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。 (1)求 b 、 c 的值。 (2)求 g ( x) 的单调区间与极值。

21. 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问该长方体 的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

22. 已知函数 f ( x) ?
2

1 3 1 2 x ? ax ? bx 在区间 [?11) 3] 内各有一个极值点. , , (1, 3 2

(1)求 a ? 4b 的最大值;
2 ,f (1))处的切线为 l ,若 l 在点 A 处穿过函数 (1) 当 a ? 4b ? 8 时,设函数 y ? f ( x) 在点 A(1

y ? f ( x) 的图象(即动点在点 A 附近沿曲线 y ? f ( x) 运动,经过点 A 时,从 l 的一侧进入另

一侧),求函数 f ( x ) 的表达式.
强化训练答案: 1.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D (四) 填空题 7.A 8.A 9.A 10.A 11.D 12.A

13.

8 3

14.

y ? 4x ? 4 ? 0
解答题

15.

7

16. 20

(五) 17. 解:

f ' ?x ? ? 3x 2 ? 2ax ? b 。
2

据题意,-1,3 是方程 3x

? 2ax ? b ? 0 的两个根,由韦达定理得

2a ? ?1? 3 ? ? ? ? 3 ? ?? 1 ? 3 ? b ? 3 ?
∴a ∴ ∵

? ?3, b ? ?9

f ?x? ? x 3 ? 3x 2 ? 9x ? c
f ?? 1? ? 7 ,∴ c ? 2

极小值

f ?3? ? 33 ? 3 ? 32 ? 9 ? 3 ? 2 ? ?25
? ?3, b ? ?9 , c ? 2 。


∴极小值为-25, a 18. 解:(1) 所以函数 (2)因为 所以

f ?( x) ? ?3x 2 ? 6x ? 9.

f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1或x ? 3,

f ( x) 的单调递减区间为 (??,?1), (3,??).

f (?2) ? 8 ? 12 ? 18 ? a ? 2 ? a,

f (2) ? ?8 ? 12 ? 18 ? a ? 22 ? a,

f (2) ? f (?2).因为在(-1,3)上 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在[-1,2]上单调递增,又由于 f ( x) 在
f (2) 和 f (?1) 分 别 是 f ( x) 在 区 间 ?? 2,2? 上 的 最 大 值 和 最 小 值 . 于 是 有

[ - 2 , - 1] 上 单 调 递 减 , 因 此

22 ? a ? 20 ,解得 a ? ?2.

故 即函数

f ( x) ? ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? 2.

因此

f (?1) ? 1 ? 3 ? 9 ? 2 ? ?7,

f ( x) 在区间 ?? 2,2?上的最小值为-7.

19. 解:(1)因为函数 即t
3

f ( x) , g ( x) 的图象都过点( t ,0),所以 f (t ) ? 0 ,

? at ? 0 .因为 t ? 0, 所以 a ? ?t 2 . g (t ) ? 0,即bt 2 ? c ? 0, 所以c ? ab.
f ( x) , g ( x) 在点( t ,0)处有相同的切线,所以 f ?(t ) ? g ?(t ).

又因为



f ?( x) ? 3x 2 ? a, g ?( x) ? 2bx, 所以3t 2 ? a ? 2bt.
? ?t 2 代入上式得 b ? t .
因此 c

将a (2)

? ab ? ?t 3 . 故 a ? ?t 2 , b ? t , c ? ?t 3 .

y ? f ( x) ? g ( x) ? x 3 ? t 2 x ? tx 2 ? t 3 , y? ? 3x 2 ? 2tx ? t 2 ? (3x ? t )(x ? t ) .


y ? ? (3x ? t )(x ? t ) ? 0 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 单调递减. y ? ? 0 ,若 t ? 0, 则 ?
t t ? x ? t ;若 t ? 0, 则t ? x ? ? . 3 3



由题意,函数

y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,则

t t t (?1,3) ? (? , t )或(?1,3) ? (t ,? ). 所以 t ? 3或 ? ? 3.即t ? ?9或t ? 3. 3 3 3
又当 ? 9

? t ? 3 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减.

所以 t 的取值范围为 (??,?9] ? [3,??).

20. 解:(1)∵

f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx ,∴ f ? ? x ? ? 3x2 ? 2bx ? c 。从而

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? (3x2 ? 2bx ? c) = x3 ? (b ? 3) x2 ? (c ? 2b) x ? c 是一个奇函数, 所以 g (0) ? 0 得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ; 3 2 (2)由(Ⅰ)知 g ( x) ? x ? 6 x ,从而 g ?( x) ? 3x ? 6 ,由此可知,

(??, ? 2) 和 ( 2, ??) 是函数 g ( x) 是单调递增区间; (? 2, 2) 是函数 g ( x) 是单调递减区间;
g ( x) 在 x ? ? 2 时,取得极大值,极大值为 4 2 , g ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值,极小值为 ?4 2 。

21. 解:设长方体的宽为 x (m),则长为 2 x (m),高为

h?

18 ? 12x ? 4.5 ? 3x(m) 4

3? ? ? 0<x< ? . 2? ?

故长方体的体积为

V ?x ? ? 2 x 2 ?4.5 ? 3x ? ? 9 x 2 ? 6 x 3 m 3
从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 令V ' 当0
2

? ?

3? ? ?0 ? x ? ? 2? ?

(4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x).

?x? ? 0 ,解得 x ? 0 (舍去)或 x ? 1 ,因此 x ? 1 .
3 时, V ' ?x ? ? 0 , 2

? x ? 1 时, V ' ?x? ? 0 ;当 1 ? x ?

故在 x

? 1 处 V ?x ? 取得极大值,并且这个极大值就是 V ?x ? 的最大值。

从而最大体积 V

? V ' ?x? ? 9 ?12 ? 6 ?13 m3

? ?,此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m.
3

答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3m 。 22. 解 : ( 1 ) 因 为 函 数

f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? bx 3 2

在区间

[?11) ,



(1, 3] 内 分 别 有 一 个 极 值 点 , 所 以

3] 内分别有一个实根, , , (1, f ?( x) ? x2 ? ax ? b ? 0 在 [?11)
设两实根为 x1,x2 ( x1

? x2 ),则 x2 ? x1 ? a 2 ? 4b ,且 0 ? x2 ? x1 ≤ 4 .于是

x2 ? 3 ,即 a ? ?2 ,b ? ?3 时等号成立.故 a 2 ? 4b 0 ? a2 ? 4b ≤ 4 ,0 ? a2 ? 4b ≤16 ,且当 x1 ? ?1,
的最大值是 16. (2)解法一:由

f ?(1) ? 1 ? a ? b 知 f ( x) 在点 (1,f (1)) 处的切线 l 的方程是

2 1 y ? f (1) ? f ?(1)( x ?1) ,即 y ? (1 ? a ? b) x ? ? a , 3 2
因为切线 l 在点 所以 g ( x)

A(1,f ( x)) 处空过 y ? f ( x) 的图象,

2 1 ? f ( x) ? [(1 ? a ? b) x ? ? a] 在 x ? 1 两边附近的函数值异号,则 3 2

x ? 1 不是 g ( x) 的极值点.
而 g ( x)

?

1 3 1 2 2 1 x ? ax ? bx ? (1 ? a ? b) x ? ? a ,且 3 2 3 2

g?( x) ? x2 ? ax ? b ? (1 ? a ? b) ? x2 ? ax ? a ?1 ? ( x ?1)( x ? 1 ? a) .
若1 ?

?1 ? a ,则 x ? 1 和 x ? ?1 ? a 都是 g ( x) 的极值点. ? ?2 ,又由 a 2 ? 4b ? 8 ,得 b ? ?1 ,故 f ( x ) ?

所以 1 ? ?1 ? a ,即 a

1 3 x ? x2 ? x . 3

解法二:同解法一得 g ( x)

2 1 ? f ( x) ? [(1 ? a ? b) x ? ? a] 3 2 1 3 a 3 ? ( x ? 1)[ x 2 ? (1 ? ) x ? (2 ? a)] . 3 2 2

因为切线 l 在点

A(1,f (1)) 处穿过 y ? f ( x) 的图象,所以 g ( x) 在 x ? 1 两边附近的函数值异号,于是存在

m1,m2 ( m1 ? 1 ? m2 ).
当 m1

? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, g ( x) ? 0 ; ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, g ( x) ? 0 .
3a ? ? 3a ? ? x 2 ? ?1 ? ? x ? ? 2 ? ? ,则 2 ? ? 2? ?

或当 m1

设 h( x ) ?

当 m1

? x ? 1 时, h( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, h( x) ? 0 ; ? x ? 1 时, h( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, h( x) ? 0 .
? 1 是 h( x) 的一个极值点,则 h(1) ? 2 ?1 ? 1 ?

或当 m1

由 h(1) ? 0 知 x 所以 a

3a ?0, 2

? ?2 ,又由 a 2 ? 4b ? 8 ,得 b ? ?1 ,故 f ( x ) ?

1 3 x ? x2 ? x . 3


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