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2009年芜湖一中高一自主招生考试数学试卷(含答案)


芜湖一中 2009 年高一自主招生考试

数 学 试 卷
三 题 号 一 二 13 得 分 14 15 16 17 总分

一、选择题(每小题 6 分,计 36 分) 1.若一元二次方程 x2 ? px ? q ? 0 的两根为 p 、 q ,则 pq 等于( )

A.0 B.1 C.0 或—2 D.0 或 1 2.从 1、2、3、4、5 这些数中任取两个,则它们的和是偶数的概率是( A.



1 10

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

5 ? 3x ? 2x ?1 ?1 ? x ? ? ? 3 2 3.满足不等式组 ? 的所有整数解的个数为( ? x ? 3 ? x ?1 ? 3 ?5



A.20 B.21 C.22 D.23 4.正方形 ABCD 中,E 是 BC 边上一点,以 E 为圆心,EC 为半径的半圆与以 A 为 圆心,AB 为半径的圆弧外切,则 sin ?EAB 的值为( ) A.

3 2

B.

3 4

C.

4 5

D.

3 5

5.二次函数 y ? 1 ? ( x ? a)( x ? b) , ( a 、 b 为常数,且 a ? b )与 x 轴的交点的横坐 标分别为 m 、 n (m ? n) ,则 m 、 n 、 a 、 b 的大小关系是( )

A. m ? a ? b ? n B. m ? n ? a ? b C. m ? a ? n ? b D. a ? b ? m ? n 6.两个相似三角形,它们的周长分别是 36 和 12,周长较大的三角形的最大边边长为 15,周长较小的三角形的最小边边长为 3,则这两个三角形的面积之和是( ) A.54 B.56 C.58 D.60
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二、填空题(每小题 7 分,共 42 分) 7. (7 ? 4 3) ? (7 ? 4 3) =
3 3

(化成最简形式)

8.在直角坐标系 xoy 中,一次函数 y ? k1 x ? b 的图象与反比例函数 y ? 于 A(1,4) 、B(m,

k2 的图象交 x

4 )两点,则一次函数的解析式为 3

9.方程 x ? 3 ? 3 x ? 1的解是 10.已知由 n 个单位正方体堆成的简单几何体的主视图(a)和俯视图(b) ,则 n 的 最大值与最小值的和为

(a) 第 10 题

(b) 第 11 题

11.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,CG//AB,BG 分别交 AD、AC 于点 E、 F,若

EF a GE ? ,那么 ? BE b BE

12.现有纯农药一桶,倒出 20 升后用水补满;然后又倒出 10 升,再用水补满,这时, 桶中纯农药与水的体积之比为 3:5,则桶的容积为 升。 三、解答题(共 5 大题,计 72 分,请写出必要的推理或演算过程。 ) 13. (14 分)求出满足方程 x ? y ? 2( x ? y) ? xy 的所有正整数解。
2 2

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14. (15 分) 如图, 抛物线 y ? ? x2 ? px ? q 与 x 轴交于 A、 B 两点,与 y 轴交于 C 点,且∠ACB=90°, 又 tan ?CAO ? tan ?CBO ? 2 。 (1)求此二次函数的解析式; (2)若平行于 x 轴的直线交抛物线于 M、N 两点,以 MN 为直径的圆恰好与 x 轴相切,求此圆的半径长。

15. (14 分)如图,在五边形 ABCDE 中,∠ABC=∠AED=90°,M 是 CD 的中点, BM=EM,求证:∠BAC=∠EAD。

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16. (14 分)某建筑公司承包了两项工程,分别由两个工程队施工。根据工程进度情 况,建筑公司可随时调整两队的人数。如果从甲队调 70 人到乙队,则乙队人数为 甲队人数的 2 倍;如果从乙队调若干人去甲队,则甲队人数为乙队人数的 3 倍。问 甲队至少有多少人?

17. (15 分)如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,BC=BD=1, AB=AC, CD<1, 且∠BAC+∠BDC=180°, 求 CD 的长。

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高一自主招生数学参考答案
一、选择题(每小题 6 分,计 36 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 D 5 A 6 D

二、填空题(每小题 7 分,共 42 分) 7. 30 3 10.19 三、解答题 13.解:方法一: 原方程可以变形为 x ? ( y ? 2) x ? y ? 2 y ? 0 ,………………5 分
2 2

8. y ? ? 11.

4 16 x? 3 3

9. x ? ? 2 或 x ? ? 1 12.40

b a

这个关于 x 的整系数一元二次方程有整数根,所以它的判别式是完全平方数,即

? ? ( y ? 2)2 ? 4( y 2 ?2 y) ? ?3 y 2 ? 12 y ? 4 ? 16 ? 3( y ? 2)2 是完全平方数,
………………………10 分 由于 0 ? 16 ? 3( y ? 2) ? 16 ,所以 16 ? 3( y ? 2) ? 0,1, 4,9,16
2 2

解得

y ?2, 4 ,于是可得
2 2

?x ? 2 ?x ? 4 ?x ? 4 ,? ,? ……………………14 分 ? ?y ? 4 ?y ? 2 ?y ? 4

方法二: x ? ( y ? 2) x ? y ? 2 y ? 0 ,……………………5 分 因为 ? ? ( y ? 2) ? 4( y ?2 y) ? ?3 y ? 12 y ? 4 ? 16 ? 3( y ? 2) ? 0
2 2 2 2

? ( y ? 2) 2 ?

16 ? 9 ? ?3 ? y ? 2 ? 3 ? ?1 ? y ? 5 3

故 y ? 1, 2,3, 4 ,…………………………10 分

分别代入原方程可得

?x ? 2 ?x ? 4 ?x ? 4 ,? ,? 。………………14 分 ? ?y ? 4 ?y ? 2 ?y ? 4

14.解: (1)设 A、B 两点横坐标分别为 x1 , x2 ,则 q ? ? x1 x2 ? (? x 1 )x 2 ? OA ? OB ,
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由题意知,OC 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高,由直角三角形中的射影定理得

O C2 ? O A ? OB

q 2 ? q ,故 q ? 1 或 q ? 0 ,因此二次函数的图象不过原点, 故 q ? 0 舍去,取 q ? 1 …………………………4 分 由上知 x1 ? x2 ? ?1,C 的纵坐标为 1,
故 又由 tan∠CAO—tan∠CBO=2 得

?

1 1 ? ?2 x1 x2

变形得

?

x 1 ? x2 ?2 x1 x2

亦即

x1 ? x2 ? 2

∴ p?2

综上,二次函数的解析式为

y ? ? x2 ? 2x ? 1


………………7 分

(2)设 M ( x3 , r ) , N ( x4 , r ) , x3 ? x4 ∴ 故
2 r ? ?x3 ? 2x3 ?1

MN ? x4 ? x3

2 r ? ?x4 ? 2x4 ?1

x3 , x4 是方程

? x 2 ?2 x ? r ? 1 ? 0 的两根。
…………………………11 分

∴ x3 + x4 =2, x3 · x4 = r ? 1

∵ 以 MN 为直径的圆与 x 轴相切,

1 ( x4 ? x3 ) ? r 两边平方得 2 1 1 ? ( x4 ? x3 ) 2 ? 4 x4 x3 ? ? r 2 ,即 [22 ? 4(r ? 1)] ? r 2 ? ? 4 4 r ?1 或 r ? 2 解得
故 即 因此,圆的半径是 1 或 2 ………………15 分 15.解:分别取 AC、BD 的中点 F、G,再连结 BF、MF、MG、EG, 因 F 是 AC 中点, ∠ABC=90°所以 又 MG 是△ACD 的中位线, 所以

1 MN? r 2

B F?

1 AC 2

M G?

1 AC 2

故 BF=MG …………………………5 分 同理,GE=MF 又已知 BM=EM, 所以 △BFM≌△MGE 故 ∠BFM=∠MGE …………………………10 分
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而∠CFM=∠CAD=∠DGM 所以 ∠BFC=∠EGD 故∠BAF+∠ABF=∠GAE+∠AEG 由 AF=BF 得 ∠BAF=∠ABF, 同理 ∠GAE=∠AEG ∴2∠BAF=2∠EAG 即 ∠BAC=∠EAD 证毕……………………14 分 16.解:设甲队有 x 人,则乙队有 ? 2( x ? 70) ? 70? 人,即乙队有 (2 x ? 210) 人 ………6 分 设从乙队调 y 人去甲队,甲队人数为乙队人数的 3 倍,则

3(2 x ? 210 ? y) ? x ? y


……………………11 分

x ? 126 ?

4 y ,由 y>0 知,y 至少取 5,即 x ? 126 ? 4 ? 130 5

所以甲队至少有 130 人 ……………………14 分 17.解:作 D 关于 BC 的对称点 E,连结 AE、BE、CE,设 AE 与 BC 交于点 F,由 AD//BC 知,A、E 到 BC 的 距 离 相 等 , 于 是 可 得 AF=FE , 设 CD=CE=x , AF=FE=m ,由∠ BAC+ ∠ BDC=180 °得∠ BAC+ ∠ BEC=180°, 所以 A、B、E、C 四点共圆 由 AB=AC 得∠ABC=∠ACB 所以∠1=∠ACB=∠ 2, (或直接由 AB=AC ? 弧 AB=弧 AC ? ∠1=∠2) 又 ∠EBF=∠EAC,于是 △BFE∽△AEC

BE AE ? ?2m 2 ? A E ? F E ? B E? C E? ( x 1) …………7 分 FE CE BF BE 1 ? ? ,又 BF+CF=1, 由角平分线的性质知: CF CE x 1 x 得 BF ? , CF ? (2) x ?1 x ?1
所以 由(2)及相交弦定理得

x m2 ? A F? F E? B F ? FC ? (x ? 12 )

(3)

…………………………14 分 联立(1) (3) ,消去

m2 得

2?

x ?x ( x ? 1) 2

解得

x ? 2 ?1

………………15 分

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