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广东省高州长坡中学2011届高三12月月考(数学)


广东省高州长坡中学 2011 届高三 12 月月考(数学)
一.选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 1.若集合 P ? y y ? 0 , P ? Q ? Q, 则集合 Q 不可能是 A. y y ? x 2.若 1 ? x A. ? 1 3.若 sin 2? ? ? A. ?

?

?


/>


?

2

?

B. y y ? 2

?

x

?

C. y y ? lg x

?

?

D. ? ( D. 2 ( ) )

?

3 3

?

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ?
B. 0

? a9 x9 , 则 a1 ? a2 ?
C. 1

? a9 ?

24 ? ? ? , ? ? ? ? ,0 ? ,则 sin ? ? cos ? 的值为 25 ? 4 ?
B.

1 5

1 5

C. ?

7 5

D.

7 5

4.函数 y ? f ( x) 是中心在原点的椭圆的两段弧(如图) ,则不等式 f ( x) ? f (? x) ? x 的解集为

? C. ?x ? 2 ? x ? ?

A. x ? 2 ? x ? 0或 2 ? x ? 2

2或0 ? x ?

? 2?



B. x ? 2 ? x ? ? 2或 2 ? x ? 2

? D. ?x ?



?

2 ? x ? 2且x ? 0

?

5.已知直线 y ? 2 及 y ? 4 与函数 y ? 3 x 图象的交点分别为 A.B,与函数 y ? 5 x 的交点分别为 C.D, 则直线 AB 与 CD A.平行 C.相交,且交点在第四象限 ( ) B.相交,且交点在第三象限 D.相交,且交点在原点

6.已知 ?AOB ,点 P 在直线 AB 上,且满足 OP ? 2tPA ? tOB ? t ? R ? ,则 A.

PA PB

?(



1 3

B.

1 2

C. 2

D. 3 )

7.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1 , an?1 ? 3S n (n ? 1,2,...),则 log4 S10 ? ( A.9 C. log 4 B.10

49 ? 1 3

D. log 4

410 ? 1 3

8.斜率为

x2 y2 2 的直线与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于不同的两点,且这两个交点在 x 轴上的射影恰好 2 a b
( C. )

是椭圆的两个焦点,该椭圆的离心率为 A.

2 2

B.

1 2

3 3

D.

1 3

9.将正方体 ABCD 沿对角线 AC 折成一个直二面角,则异面直线 AB 和 CD 所成的角是( A.30° B.45° C.60° D.90°



10 . 在 同 一 平 面 内 , 已 知 OA ? (cos? , sin ? ) , OB ? (cos? , sin ? ) , 且 OA ? OB ? 0 . 若

OA' ? (cos? ,2 sin ? ) , OB' ? (cos? ,2 sin ? ) ,则 ?A' OB ' 的面积等于
A.





1 4

B.

1 2

C .1

D.2

二、填空题: (每小题 4 分,共 28 分) 11.已知 z1 ? 2 ? i , z2 ? 1 ? 3i ,则复数

i z2 ? 的虚部为 z1 5

. .

12. 如图, 若一个空间几何体的三视图中, 直角三角形的直角边长均为 1, 则该几何体的体积为

正视图

侧视图

俯视图

13.点 O 为坐标原点,给定一个点 A(4,3) ,而点 B( x,0) 在 x 轴的正半轴上移动, l ( x) 表示线段 AB 的长, 则 ?AOB 中两边长的比值

x 的最大值为 l ( x)



14.A.B 之间有 6 条网线并联,它们通过的最大信息量分别为 1,1,2,2,3,4,现从中任取 3 条网线, 使这 3 条网线通过的最大信息量的和不小于 6 的取法共有 种. 15. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 过定点 ( p,0) 作两条互相垂直的直线 l1 . 若 l1 与抛物线交于点 P. Q, l2 ,

l 2 与抛物线交于 M.N 两点, l1 的斜率为 k 。某同学已求得弦 PQ 的中点坐标为 (
出弦 MN 的中点坐标 .

p p ? p, ) ,请写 2 k k

?x ? y ? 1 ? 0 ? 16.已知 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 xy 的最大值为 ?y ? 1 ?



17.数列 ?an ? 的各项均为正数,观察流程图,当 k ? 5 时, S ? 通项公式为 .

4 9 ;当 k ? 10 时, S ? .则该数列的 13 28

开始 输入 a1,d,k S=0,M=0,i=1 i=i+1 S=S+M

M=

1 ai ai ?1

ai ?1 ? ai ? d

i<k
N 输出 S 结束

Y

三、解答题:

(? ? 0,0 ? ? ? 18. 已知向量 a ? (sin(?x ? ? ),2) , b ? (1, cos(?x ? ? )) ,
的图象的相邻两对称轴之间的距离为 2,且过点 M (1, ) . (1)求 f ( x) 的表达式;

?
2

). 函数 f ( x) ? (a ? b) ? (a ? b)

7 2

) 的值. (2)求 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (2009

19. 口袋里装有大小相同的 4 个红球和 8 个白球, 甲. 乙两人依规则从袋中有放回摸球, 每次摸出一个球. 规 则:若一方摸出红球,则此人继续摸球;若一方摸出白球,则由对方下一次摸球.每次摸球都相互独 立,并由甲先进行第一次摸球. (1)求第三次由甲摸球的概率; (2)写出在前三次摸球中,甲摸得红球的次数的分布列,并求数学期望.

20. (缺图)如图, 四棱锥 P-ABCD, PA⊥ 平面 ABCD, ABCD 是直角梯形, DA⊥ AB, CB⊥ AB, PA=2AD=BC=2,

AB= 2 2 ,设 PC 与 AD 的夹角为 ? . (1)求点 A 到平面 PBD 的距离; (2)求 ? 的大小;当平面 ABCD 内有一个动点 Q 始终满足 PQ 与 AD 的夹角为 ? ,求动点 Q 的轨迹 方程.

21.抛物线 C1 : y 2 ? 4mx(m ? 0) 的准线与 x 轴交于 F1 ,焦点为 F2 ;以 F1 . F2 为焦点,离心率 e ? 椭圆 C 2 与抛物线 C1 的一个交点为 P. (1)当 m ? 1 时,求椭圆的方程;

1 的 2

(2)在(1)的条件下,直线 l 经过椭圆 C 2 的右焦点 F2 ,与抛物线 C1 交于 A1 . A 2 两点,如果弦长

A1A 2 等于 ?PF 1 F2 的周长,求直线 l 的斜率;
(3)是否存在实数 m ,使得 ?PF 1 F2 的边长是连续的自然数.

22.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? b , (a, b ? R) (1)若函数 y=f(x)的图象切 x 轴于点(2,0) ,求 a.b 的值; (2)设函数 y=f(x) ( x ? (0,1)) 的图象上任意一点的切线斜率为 k,试求 k ? 1 的充要条件; (3)若函数 y=f(x)的图象上任意不同的两点的连线斜率小于 1,求 a 的取值范围.

参考答案

一、选择题:本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分。 1 2 3 4 5 6 题号 C A B A D B 答案 二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11. 1 16. 4 12.

7 A

8 A

9 C

10 C

1 3

13.

5 3

14. 15

2 15. pk ? p , ? pk

?

?

17. an ? 3n ? 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ? 3 ? cos ? 2? x ? 2? ?

T ?4?

2? ? ,? ? ? . 2? 4

5? ? ?? ? 7 f (1) ? 3 ? cos ? ? 1 ? 2? ? ? ,? 2? ? 或 2? ? 6 6 ?2 ? 2

?? 5? ? ?? ?? ? f ( x ) ? 3 ? cos ? ? x ? ? 或? f ( x ) ? 3 ? cos ? ? x ? 6? 6 ? ?2 ?2 ?
(2) T ? 4

…………9 分

? f (1) ? f (2) ?
? 6027 1 2

? f (2009) ? 502? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4)? ? f (1)
. ……………14 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (1) P ? 第三次由甲摸球 ? ?

5 9

……………5 分

(2) X

0

1

2

3

P

14 27 17 27

10 27

2 27

1 27
……………14 分

EX ?

20. (本小题满分 14 分) 解: (1) (缺图)以 A 为坐标原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴建立空间直角坐标系

PD ? ? 0,1, ?2 ? , PB ? 2 2,0, ?2 ,设面 PBD 的法向量为 n ? ? x, y, z ? , 则

?

?

PD ? n ? 0, PB ? n ? 0 ,得面 PBD 的一个法向量为 n ? 1, 2 2, 2 ,
所以点 A 到平面 PBD 的距离 d ? (2) ? ? 60
0

?

?

AP ? n 2 ? 22 11 n

……………7 分

,设 Q ? x, y,0 ? , 则 AD ? ? 0,1,0 ? , PQ ? ? x, y, ?2 ?

? cos 600 ?

AD ? PQ AD ? PQ

?

y x ? y ?4
2 2

?

1 2
……14 分

化解得 3 y 2 ? x 2 ? 4 21. (本小题满分 14 分) 解: (1) c ? 1, a ? 2 ,椭圆方程 (2) ?PF1 F2 的周长 2a ? 2c ? 6

x2 y2 ? ? 1, 4 3

………3 分

? A1 A2 ? ? sin 2 ? ?

4 ? 6 ,其中 ? 为直线 A1 A2 的倾斜角(需要证明) sin 2 ? 2 , tan 2 ? ? 2 ?直线 A1 A2 的斜率为 ? 2 ……10 分 3

(3)假设实数 m ,使得 ?PF 1 F2 的边长是连续的自然数. 经分析,在 ?PF1 F2 中, PF1 最长, PF2 最短, F1F2 ? 2c ? 2m

? F1F2 ? 2m, PF1 ? 2m ? 1, PF2 ? 2m ? 1,
? P m ? 1, 4m ? m ? 1? 代入椭圆
22. (本小题满分 15) 解: (1) a ? 3, b ? ?4 ……3

?

?

x2 y2 ? ? 1得 m ? 3 4m 2 3m 2

……15

(2)k= f / ( x) ? ?3x2 ? 2ax, x ? (0,1) ,
2 对任意的 x ? (0,1) k ? 1 ,即 ?3 x ? 2ax ? 1 对任意的 x ? (0,1) 恒成立

1 1 ? 2a ? ? 3x 对任意的 x ? (0,1) 恒成立。 x x 1 1 令 g(x)= ? 3 x ,h(x)= 3 x ? , x x
等价于 3 x ?



1 1 h( x) max ? a ? g ( x) min , x ? (0,1) 2 2

1 3 ? 3 x ? 2 3 ,当且仅当 x ? 时“=”成立, g ( x)min ? 2 3 x 3
h(x)= 3 x ?

1 在(0,1)上为增函数, h(x)max<2 x
……9

?1 ? a ? 3
(3)设 x1 , x2 ? R,

x ? x2 , k ? 且 1

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?1 x2 ? x1

不妨设 x1 ? x2 ,则 f ? x2 ? ? x2 ? f ? x1 ? ? x1 令 F ? x ? ? f ? x ? ? x ,则 F ? x ? 为 R 上的减函数,

? F ? ? x ? ? ?3x2 ? 2ax ? 1 ? 0 对 x ? R 恒成立,
即 3 x ? 2ax ? 1 ? 0 对 x ? R 恒成立
2

? ? 0 ? ? 3 ? a ? 3 ……15


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