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【步步高 通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题五 第一讲


专题五

空间向量与立体几何
空间几何体

第一讲

1.棱柱、棱锥 (1)棱柱的性质 侧棱都相等,侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;过不相 邻的两条侧棱的截面是平行四边形;直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形. (2)正棱锥的性质 侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形,斜高相等;棱

锥的高、斜高和斜高在底面内的射影 构成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某 侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面内的射影、斜高 在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形. 2.三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几 何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高; (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图 的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样. 3.几何体的切接问题 (1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对 角线长. (2)柱、锥的内切球找准切点位置,化归为平面几何 问题. 4.柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆) (1)表面积公式 ①圆柱的表面积 S=2πr(r+l); ②圆锥的表面积 S=πr(r+l); ③圆台的表面积 S=π(r′2+r2+r′l+rl); ④球的表面积 S=4πR2. (2)体积公式 ①柱体的体积 V=Sh; 1 ②锥体的体积 V= Sh; 3 1 ③台体的体积 V= (S′+ SS′+S)h; 3

4 ④球的体积 V= πR3. 3

1. (2013· 广东)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是

(

)

A.4 16 C. 3 答案 B

14 B. 3 D.6

解析 由三视图知四棱台的直观图为

1 14 由棱台的体积公式得:V= (2×2+1×1+ 2×2×1×1)×2= . 3 3 2. (2013· 四川)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 ( )

答案 D 解析 由三视图可知上部是一个圆台,下部是一个圆柱,选 D. 3. (2013· 江西)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且 AB∥CD,正方 体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为 m,n,那么 m+n=

(

)

A.8 答案 A

B.9

C.10

D.11

解析 取 CD 的中点 H,连接 EH,HF.在四面体 CDEF 中,CD⊥EH,CD⊥FH,所以 CD⊥平面 EFH,所以 AB⊥平面 EFH,所以正方体的左、右两个侧面与 EF 平行,其余 4 个平面与 EF 相交,即 n=4.又因为 CE 与 AB 在同一平面内,所以 CE 与正方体下底面 共面,与上底面平行,与其余四个面相交,即 m=4,所以 m+n=4+4=8. 4. (2013· 新课全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1), (1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得 到正视图可以为 ( )

答案 A 解析 根据已知条件作出图形:四面体 C1-A1DB,标出各个点的坐标如图(1)所示,可

以看出正视图为正方形,如图(2)所示.故选 A.

5. (2013· 福建)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组 合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是________. 答案 12π 解析 由三视图知,该几何体为正方体和球组成的组合体,正方体的对角线为球的直

径.所以 2R=2 3,即 R= 3,球的表面积为 S=4πR2=12π.

题型一 空间几何体的三视图 例1 (1)(2012· 广东)某几何体的三视图如图所示,它的体积为 ( )

A.12π

B.45π

C.57π

D.81π

(2)(2012· 陕西)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该 几何体的左(侧)视图为 ( )

审题破题 根据三视图先确定原几何体的直观图和形状,然后再解题. 答案 解析 (1)C (2)B (1)由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两几何体组合而成,直观图如图所示.

圆锥的底面半径为 3,高为 4,圆柱的底面半径为 3,高为 5, 1 1 ∴V=V 圆锥+V 圆柱= Sh1+Sh2= ×π×32×4+π×32×5=57π. 3 3 (2)还原正方体后,将 D1,D,A 三点分别向正方体右侧面作垂线. D1A 的射影为 C1B,且为实线,B1C 被遮挡应为虚线. 反思归纳 将三视图还原成直观图是解答该类问题的关键,其解题技巧是对常见简单几 何体及其组合体的三视图,特别是正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等几 何体的三视图分别是什么图形,数量关系有什么特点等都应该熟练掌握,会画出其直观 图,然后由三视图验证. 变式训练 1 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是________ cm3.

答案 18 解析 由几何体的三视图可知,该几何体由两个直四棱柱构成,其直观图

如图所示.上底面直四棱柱的长是 3 cm,宽是 3 cm,高是 1 cm,故其体 积为 9 cm3,下底面直四棱柱的高是 3 cm,长是 1 cm,宽是 3 cm,其体积 为 9 cm3.故该几何体的体积为 V=18 cm3. 题型二 空间几何体的表面积和体积 例2 如图所示,已知 E、F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 A1A、CC1 的

中点,求四棱锥 C1—B1EDF 的体积.

审题破题 本题可从两个思路解题: 思路一:先求出四棱锥 C1—B1EDF 的高及其底面积,再利用棱锥的体积公式求出其体积; 思路二:先将四棱锥 C1—B1EDF 化为两个三棱锥 B1—C1EF 与 D—C1EF,再求四棱锥 C1—B1EDF 的体积. 解 方法一 连接 A1C1,B1D1 交于点 O1,连接 B1D,过 O1 作

O1H⊥B1D 于 H.∵EF∥A1C1,EF?平面 B1EDF 且 A1C1?平面 B1EDF,∴A1C1∥平面 B1EDF. ∴C1 到平面 B1EDF 的距离就是 A1C1 到平面 B1EDF 的距离. ∵平面 B1D1D⊥平面 B1EDF, ∴O1H⊥平面 B1EDF,即 O1H 为棱锥的高. B1O1· DD1 6 ∵△B1O1H∽△B1DD1,∴O1H= = a. B1D 6 1 11 11 6 1 ∴VC1—B1EDF= S 四边形 B1EDF· O1H= ·· EF· B1D· O1H= ·· 2a· 3a· a= a3. 3 32 32 6 6 方法二 连接 EF,B1D. 设 B1 到平面 C1EF 的距离为 h1,D 到平面 C1EF 的距离为 h2,则 h1+h2=B1D1= 2a. 由题意得,VC1—B1EDF=VB1—C1EF+VD—C1EF

1 1 = · S△C1EF· (h1+h2)= a3. 3 6 反思归纳 (1)求规则几何体的体积,关键是确定底面和高,要注意多角度、多方位地观

察,选择恰当的底面和高,使计算简便. (2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为几个规则几 何体,再进一步求解. 变式训练 2 (1)(2013· 湖南)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该 正方体的正视图的面积不可能等于 A.1 答案 C 解析 由俯视图知正方体的底面水平放置,其正视图为矩形,以正方体的高为一边长, 2-1 另一边长最小为 1,最大为 2,面积范围应为[1, 2],不可能等于 . 2 (2)(2012· 江苏)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB= AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥 A-BB1D1D 的体积为 ________ cm3. 答案 6 解析 关键是求出四棱锥 A-BB1D1D 的高. 连接 AC 交 BD 于 O,在长方体中, ∵AB=AD=3,∴BD=3 2且 AC⊥BD. 又∵BB1⊥底面 ABCD,∴BB1⊥AC. 又 DB∩BB1=B,∴AC⊥平面 BB1D1D, 1 3 2 ∴AO 为四棱锥 A-BB1D1D 的高且 AO= BD= . 2 2 ∵S 矩形 BB1D1D=BD×BB1=3 2×2=6 2, 1 ∴VA-BB1D1D= S 矩形 BB1D1D· AO 3 1 3 2 = ×6 2× =6(cm3). 3 2 题型三 多面体与球的有关问题 例3 (1)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3,∠ASC=∠BSC=30° , 则棱锥 S—ABC 的体积为 A.3 3 B.2 3 C. 3 D.1 ( ) B. 2 C. 2-1 2 D. 2+1 2 ( )

(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表 面积为 A.πa
2

( 7 B. πa2 3 11 C. πa2 3 D.5πa
2

)

审题破题

(1)SC 是直径,是本题突破点,由此可得∠SAC,∠SBC 为直角.(2)确定球

的位置,寻找图中的直角三角形,通过直角三角形求球的直径. 答案 解析 (1)C (2)B (1)如图,过 A 作 AD 垂直 SC 于 D,连接 BD.

由于 SC 是球的直径, 所以∠SAC=∠SBC=90° , 又∠ASC=∠BSC =30° ,又 SC 为公共边, 所以△SAC≌△SBC. 由于 AD⊥SC,所以 BD⊥SC. 由此得 SC⊥平面 ABD. 1 所以 VS—ABC=VS—ABD+VC—ABD= S△ABD· SC. 3 由于在 Rt△SAC 中,∠ASC=30° ,SC=4, SA· CA 所以 AC=2,SA=2 3,由于 AD= = 3. SC SB· CB 同理在 Rt△BSC 中也有 BD= = 3. SC 又 AB= 3,所以△ABD 为正三角形, 1 1 1 所以 VS—ABC= S△ABD· SC= × ×( 3)2· sin 60° ×4= 3,所以选 C. 3 3 2 (2)由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为 a. 如图,设 O、O1 分别为下、上底面中心,且球心 O2 为 O1O 的中点,又 3 3 a AD= a,AO= a,OO2= ,设球的半径为 R, 2 3 2 1 2 1 2 7 2 2 2 则 R =AO2= a + a = a . 3 4 12 7 7 ∴S 球=4πR2=4π× a2= πa2. 12 3 反思归纳 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点或

线作截面,把空间问题化归为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关 系. (2)若球面上四点 P、A、B、C 构成的线段 PA、PB、PC 两两垂直,且 PA=a,PB=b, PC=c,则 4R2=a2+b2+c2,把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图形), 从而显示出球的数量特征,这种方法是一种常用的好方法. 变式训练 3 (1)(2012· 课标全国)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为 2 3 2 2 A. B. C. D. 6 6 3 2 答案 A 解析 由于三棱锥 S-ABC 与三棱锥 O-ABC 底面都是△ABC,O 是 SC 的中点,因此 三棱锥 S-ABC 的高是三棱锥 O-ABC 高的 2 倍,所以三棱锥 S-ABC 的体积也是三棱 锥 O-ABC 体积的 2 倍. ( )

在三棱锥 O-ABC 中,其棱长都是 1,如图所示, 3 3 S△ABC= ×AB2= , 4 4 6 3?2 = , ?3? 3 1 3 6 2 ∴VS-ABC=2VO-ABC=2× × × = . 3 4 3 6 高 OD= (2)两球 O1 和 O2 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的内部,且互相外切,若球 O1 与过点 A 的正方体的三个面相切, 球 O2 与过点 C1 的正方体的三个面相切, 则球 O1 和球 O2 的表面积之和的最小值为 A.(6-3 3)π C.(6+3 3)π 答案 A 解析 设球 O1,O2 的半径分别为 r1,r2, 由题意知 O1A+O1O2+O2C1= 3, 而 O1A= 3r1,O1O2=r1+r2,O2C1= 3r2, 3- 3 ∵ 3r1+r1+r2+ 3r2= 3.∴r1+r2= , 2
2 2 2 从而 S1+S2=4πr2 1+4πr2=4π(r1+r2) ?r1+r2?2 ≥4π· =(6-3 3)π. 2

12-?

( B.(8-4 3)π D.(8+4 3)π

)

典例

(12 分)如图所示, 在三棱锥 P—ABC 中, △PAB 是等边三角形, ∠PAC=∠PBC=90° .

(1)证明:AB⊥PC; (2)若 PC=4,且平面 PAC⊥平面 PBC,求三棱锥 P—ABC 的体积. 规范解答 (1)证明 由 PA=PB,∠PAC=∠PBC=90° ,且 PC 为△PAC 与 △PBC 的公共边,则△PAC≌△PBC, 因此 AC=BC, 取 AB 中点 D, 连接 PD, CD, 则 PD⊥AB, CD⊥AB, 因此 AB⊥平面 PDC,又 PC?平面 PDC,所以 AB⊥PC.[6 分] (2)解 作 BE⊥PC 垂足为 E,连接 AE. 由△PAC≌△PBC 知 AE⊥PC,则∠BEA=90° .[8 分] 可证△PBE≌△ABE,

又平面 PAC⊥平面 PBC,所以∠BPC=45° . 所以△PBC 为等腰直角三角形,则 E 为 PC 的中点. 1 8 VP—ABC=VP—ABE+VC—ABE= S△ABE· PC= .[12 分] 3 3 评分细则 (1)第(1)问中证明 AB⊥平面 PDC 时没有严格遵循定理, 条件写不全的扣 1 分;

(2)由 AB⊥面 PDC 直接得到 AB⊥PC 不扣分;(3)求三棱锥体积时作底面 ABC 上的高亦 可,参照此标准给分. 阅卷老师提醒 (1)证明线线垂直,要转化为线面垂直;求三棱锥体积,可以适当转化,

充分利用图中的线面垂直关系; (2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,若几何体的底不规则,也需采用同 样的方法,将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形,易于求解.

1. 若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是

(

)

答案 D 解析 A,B 的正(主)视图不符合要求,C 的俯视图显然不符合要求,答案选 D. 2. (2013· 课标全国Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )

A.16+8π 答案 A

B.8+8π

C.16+16π

D.8+16π

解析 将三视图还原成直观图为: 上面是一个正四棱柱,下面是半个圆柱体. 1 所以 V=2×2×4+ ×22×π×4 2 =16+8π. 故选 A. 3. (2013· 辽宁)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上.若 AB=3,AC =4,AB⊥AC,AA1=12,则球 O 的半径为 3 17 A. B.2 10 2 13 C. D.3 10 2 答案 C 解析 ∵AB⊥AC,且 AA1⊥底面 ABC, 将直三棱柱补成内接于球的长方体,则长方体的对角线 l= 13 32+42+122=2R,R= . 2 ( )

4. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m3.

答案 6+π 解析 此几何体是由一个长为 3,宽为 2,高为 1 的长方体与底面直径为 2,高为 3 的圆 锥组合而成的,故 π V=V 长方体+V 圆锥=3×2×1+ ×12×3=(6+π)m3. 3 5. (2012· 山东)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上 的 点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为______.

答案

1 6

解析 利用三棱锥的体积公式直接求解. 1 VD1-EDF=VF-DD1E= S△D1DE· AB 3

1 1 1 = × ×1×1×1= . 3 2 6 6. (2013· 安徽)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是 ________(写出所有正确命题的编号).

1 ①当 0<CQ< 时,S 为四边形; 2 1 ②当 CQ= 时,S 为等腰梯形; 2 3 1 ③当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= ; 4 3 3 ④当 <CQ<1 时,S 为六边形; 4 6 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 . 2 答案 ①②③⑤ 1 解析 ①当 0<CQ< 时,如图(1). 2 在平面 AA1D1D 内,作 AE∥PQ, 显然 E 在棱 DD1 上,连接 EQ, 则 S 是四边形 APQE.

1 ②当 CQ= 时,如图(2). 2 显然 PQ∥BC1∥AD1,连接 D1Q, 则 S 是等腰梯形. 3 ③当 CQ= 时,如图(3). 4 1 作 BF∥PQ 交 CC1 的延长线于点 F,则 C1F= . 2 1 作 AE∥BF,交 DD1 的延长线于点 E,D1E= ,AE∥PQ,连接 EQ 交 C1D1 于点 R,由 2 于 Rt△RC1Q∽Rt△RD1E, 1 ∴C1Q∶D1E=C1R∶RD1=1∶2,∴C1R= . 3

3 ④当 <CQ<1 时, 如图(3), 连接 RM(点 M 为 AE 与 A1D1 交点), 显然 S 为五边形 APQRM. 4 ⑤当 CQ=1 时,如图(4). 同③可作 AE∥PQ 交 DD1 的延长线于点 E,交 A1D1 于点 M,显然点 M 为 A1D1 的中点, 1 1 6 所以 S 为菱形 APQM,其面积为 MP×AQ= × 2× 3= . 2 2 2

专题限时规范训练
一、选择题 1. (2012· 福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 ( A.球 答案 D 解析 球、正方体的三视图形状都相同,大小均相等,首先排除选项 A 和 C. 对于如图所示三棱锥 O-ABC, 当 OA、 OB、 OC 两两垂直且 OA=OB=OC 时, 其三视图的形状都相同, 大小均相等,故排除选项 B. 不论圆柱如何设置,其三视图的形状都不会完全相同,故答案选 D. 2. 某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是 ( ) B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 )

A.8 答案 C

B.6 2

C.10

D.8 2

解析 将三视图还原成几何体的直观图如图所示.

它的四个面的面积分别为 8,6,10,6 2,故最大的面积应为 10. 3. (2012· 课标全国)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 2, 则 此球的体积为 A. 6π C.4 6π 答案 B B.4 3π D.6 3π ( )

解析 利用截面圆的性质先求得球的半径长. 如图, 设截面圆的圆心为 O′,M 为截面圆上任一点, 则 OO′= 2,O′M=1, ∴OM= ? 2?2+12= 3, 即球的半径为 3, 4 ∴V= π( 3)3=4 3π. 3 4. (2013· 湖北)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成, 其体积分别记为 V1、V2、V3、V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何 体均为多面体,则有 ( )

A. V1 <V2<V4 <V3 C. V2<V1<V3<V4 答案 C

B. V1 <V3<V2<V4 D. V2<V3 <V1<V4

解析 由三视图知自上而下的几何体分别为圆台、圆柱、正方体、棱台,其体积分别为 1 7 V1= π(12+1×2+22)= π, 3 3 V2=π×12×2=2π, V3=23=8, 1 28 V4= (4+ 4×16+16)×1= , 3 3 ∴V2<V1<V3<V4. 5. 将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体 BDA1C1,这个正四面体的体积是正方体 体积的 1 A. 2 2 C. 3 答案 B 解析 1 1 设正方体的棱长为 1,依题意知截去的一个角为三棱锥,其体积为:V1= × 3 2 ( 1 B. 3 1 D. 4 )

1 ×1×1×1= . 6 1 1 因为共截去相同的四个角,所以正四面体 BDA1C1 的体积 V=1-4× = . 6 3 1 VBDA1C1 3 1 ∴ = = . V正方体 1 3 6. (2012· 湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能 是 ... ( )

答案 D 解析 根据几何体的三视图知识求解. 由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部分是一个矩形,矩形中间无实线和虚线, 因此俯视图不可能是 D. 7. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3,它的三视图中的俯视图如图所示, 侧视图是一个矩形,则这个矩形的面积是 ( )

A.4 C.2 答案 B

B.2 3 D. 3 3 2 a· a=2 3,得 a=2.由俯视图易 4

解析 由题意可设棱柱的底面边长为 a,则其体积为

知,三棱柱的侧视图是以 2 为长, 3为宽的矩形,∴其面积为 2 3.故选 B. 8. 点 A、B、C、D 在同一个球的球面,AB=BC= 2,AC=2,若四面体 ABCD 体积的最 2 大值为 ,则这个球的表面积为 ( ) 3 125π 25π 25π A. B.8π C. D. 6 4 16 答案 C 解析 ∵AB=BC= 2,AC=2,∴△ABC 是直角三角形,∴ABC 的外接圆的圆心是边 AC 的中点 O1,若使四面体 ABCD 体积的最大值只需使点 D 到平面 ABC 的距离最大, 又 OO1⊥平面 ABC,所以点 D 是直线 OO1 与球的交点.设球的半径为 R,则由体积公式 5 25π 有:O1D=2,在 Rt△AOO1 中,R2=1+(2-R)2,解得 R= ,S 球 O= ,故选 C. 4 4

二、填空题 9. (2013· 陕西)某几何体的三视图如图所示,则其体积为________.

答案

π 3

1 1 π 解析 由三视图还原几何体为半个圆锥,则其体积为 V= × ×π×12×2= . 2 3 3 10.在四面体 ABCD 中,AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,则四面体 ABCD 的外接 球的表面积为________. 77 答案 π 2 解析 构造一个长方体,使得它的三条面对角线分别为 4、5、6,设长方体的三条边分 77 别为 x,y,z,则 x2+y2+z2= ,而长方体的外接球就是四面体的外接球,所以 S=4πR2 2 77 = π. 2 11.(2012· 上海)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的体积为______. 3 答案 π 3 解析 先利用圆锥侧面积公式求出半径. πl=2πr, ? ? 设圆锥底面半径为 r,母线长为 l,高为 h,则?1 2 ? ?2πl =2π,
?l=2, ? 1 3 ∴? ∴h= 3.∴V 圆锥= π×12× 3= π. 3 3 ? ?r=1,

12.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________________________.

答案 解析

3 +π 3 该几何体是一个圆柱和一个三棱锥组合而成,圆柱的体积为 π×12×1=π,三棱

锥的底面是等腰直角三角形,斜边长为 2,所以面积为 1,三棱锥的高为 3,所以体积 1 3 3 为 ×1× 3= ,所以组合体的体积为 +π. 3 3 3 三、解答题 13. (2012· 江西)如图所示, 在梯形 ABCD 中, AB∥CD, E、 F 是线段 AB 上的两点, 且 DE⊥AB, CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4 2,DE=4.现将△ADE,△CFB 分别沿 DE,CF 折 起,使 A,B 两点重合于点 G,得到多面体 CDEFG.

(1)求证:平面 DEG⊥平面 CFG; (2)求多面体 CDEFG 的体积. (1)证明 因为 DE⊥EF,CF⊥EF, 所以四边形 CDEF 为矩形. 由 GD=5,DE=4,得 GE= GD2-DE2=3. 由 GC=4 2,CF=4,得 FG= GC2-CF2=4, 又因为 AB=AE+EF+FB=12,所以 EF=5. 在△EFG 中,有 EF2=GE2+FG2,所以 EG⊥GF. 又因为 CF⊥EF,CF⊥FG,所以 CF⊥平面 EFG. 所以 CF⊥EG,所以 EG⊥平面 CFG. 又 EG?平面 DEG,所以平面 DEG⊥平面 CFG. (2)解 如图,在平面 EGF 中, 过点 G 作 GH⊥EF 于点 H, EG· GF 12 则 GH= = . EF 5 因为平面 CDEF⊥平面 EFG, 所以 GH⊥平面 CDEF, 1 所以 V 多面体 CDEFG= S 矩形 CDEF· GH=16. 3 14.下图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,EC∥PD,且 PD= AD=2EC=2.

(1)请画出该几何体的三视图; (2)求四棱锥 B—CEPD 的体积. 解 (1)该组合体的三视图如图所示.

(2)∵PD⊥平面 ABCD,PD?平面 PDCE, ∴平面 PDCE⊥平面 ABCD.∵四边形 ABCD 为正方形, ∴BC⊥CD,且 BC=DC=AD=2. 又∵平面 PDCE∩平面 ABCD=CD,BC?平面 ABCD. ∴BC⊥平面 PDCE. ∵PD⊥平面 ABCD,DC?平面 ABCD,∴PD⊥DC. 又∵EC∥PD,PD=2,EC=1, ∴四边形 PDCE 为一个直角梯形,其面积: 1 1 S 梯形 PDCE= (PD+EC)· DC= ×3×2=3, 2 2 1 ∴四棱锥 B—CEPD 的体积 VB—CEPD= S 梯形 PDCE· BC 3 1 = ×3×2=2. 3


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