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2.4史密斯圆图2.4 史密斯图图在集总参数元件电路中的应用(补充)(2013完成)


2.4史密斯圆图 在微波技术和测量中, 在微波技术和测量中,经常需要计算阻抗和反射系数等参 数,但采用前面所讨论的解析计算法将会遇到大量繁琐的复数 运算, 运算,所以, 所以,在工程中常采用阻抗圆图来进行图解法计算。 在工程中常采用阻抗圆图来进行图解法计算。 阻抗( 阻抗(导纳) 导纳)圆图的构成: 圆图的构成:
?等Γ圆 ? 阻抗圆图 ?等R圆 绘于一个平面上 ?等X

圆 ?

?等Γ圆 ? 导纳圆图 ?等G圆 绘于一个平面上 ?等B圆 ?

史密斯圆图是传输线理论中的辅助的图解工具, 史密斯圆图是传输线理论中的辅助的图解工具 , 用于研究 阻抗或导纳的变换是非常方便的。 阻抗或导纳的变换是非常方便的。 史密斯圆图概括了前面讨论 的传输线理论的许多特点, 的传输线理论的许多特点 ,使用方便, 使用方便, 具有一定的直观性, 具有一定的直观性 , 在 微波工程领域已经沿用了半个多世纪。 微波工程领域已经沿用了半个多世纪。 随着扫频信号源、 随着扫频信号源、 网络 分析仪等现代微波测试系统的发展, 分析仪等现代微波测试系统的发展,将史密斯圆图显示在计算 机屏幕上, 机屏幕上, 能够快速直观地显示出阻抗或导纳随频率变化的轨 迹。一个实用的史密斯圆图附于本书末。 一个实用的史密斯圆图附于本书末。 史密斯圆图( 史密斯圆图(阻抗圆图)中参数用归一化参数: 中参数用归一化参数:

归一化输入阻抗

归一化负载阻抗 归一化特性阻抗 归一化输入导纳

Z (z) R(z)+jX(z) z (z) = i = =r (z) + jx(z) i Z Z C C ZF zF = ZC

ZC zC = =1 ZC
Yin ( z ) G ( z ) + jB ( z ) yin ( z ) = = = g ( z ) + jb( z ) YC YC
yC = YC =1 YC

归一化特性导纳

归一化长度( 归一化长度(电长度) 电长度)

l=

l

λg

2.4.1 阻抗圆图 根据归一化阻抗与反射系数之间的关系式可以绘制出阻抗圆图 。传输线理论给出

1+ Γ z= 1? Γ

z ?1 ( 2.4.1), Γ = z +1

( 2.4.2 )

它们给出了归一化阻抗 z 和反射系数Γ 和反射系数Γ之间的变换关系。 之间的变换关系。这里, 这里, 为了简化, 为了简化,我们省去了归一化输入阻抗 zi 的下脚标, 的下脚标,并简称为归 一化阻抗, 一化阻抗,目的是利用式( 目的是利用式(2.4.1)作成一张图以便查找 z 与Γ的 对应关系和分析传输线电路的匹配状态。 对应关系和分析传输线电路的匹配状态。式(2.4.1)和式( 和式(2.4.2) 为复变函数中的分式线性变换, 为复变函数中的分式线性变换,故 z 平面的圆变换到Γ 平面的圆变换到Γ平面仍然 是圆, 是圆,反之亦然。 反之亦然。直线是半径为无限大的圆的特例。 直线是半径为无限大的圆的特例。 也就是说, 也就是说,为了实现 Γ 与 zi 之间的图解换算, 之间的图解换算,可将反射系 数和反射系数与阻抗的关系叠画在一个复平面上, 数和反射系数与阻抗的关系叠画在一个复平面上,这就构成了阻 抗圆图。 抗圆图。这就构成了阻抗圆图。 这就构成了阻抗圆图。即阻抗圆图是由等反射系数圆族 、等电阻圆族、 等电阻圆族、等电抗圆族及等相位线族组成 等电抗圆族及等相位线族组成。 抗圆族及等相位线族组成。

从物理概念上可以判断Γ 从物理概念上可以判断Γ和

0 ≤ Γ ≤1

( 2.4.3) z = r + jx, r ≥ 0, x ∈ ( ?∞, +∞ ) ( 2.4.4 )
1 + ( Γ ' + jΓ '' ) 1 ? ( Γ + jΓ
' ''

z

的范围为

r + jx =

) (1 ? Γ )

=

1 ? Γ '2 ? Γ ''2
' 2



''2

+j

2Γ ''

(1 ? Γ )

' 2



''2

( 2.4.7 )

式(2.4.3)表明Γ 表明Γ的值落在Γ 的值落在Γ平面的单位圆内。 平面的单位圆内。 1. 等反射系数圆图( 等反射系数圆图(等 Γ 圆)
j (φF ? 2 β z ) jφ ' '' Γ ( z ) = Γ e = Γ e = Γ + j Γ ( 2.4.5) 对无耗线, 对无耗线,有: F F

由式可见, 由式可见,可以将反射系数表示在复平面上, 可以将反射系数表示在复平面上,极坐标系内。 极坐标系内。 zF ? 1 由式 Γ F = 可知, Γ F 是一个常数, 可知,当负载阻抗 zF 一定时, 一定时, 是一个常数, zF + 1 故(2.4.5)式表示的是极坐标内的圆方程在复平面内是一个圆 (2.4.5)式表示的是极坐标内的圆方程在复平面内是一个圆。 式表示的是极坐标内的圆方程在复平面内是一个圆。 也就是说, 在复平面上等反射系数模( 也就是说 ,在复平面上等反射系数模 (等 Γ )的轨迹是以坐 标原点为圆心、 为半径的圆, 这个圆称为等反射系数圆。 标原点为圆心 、 为半径的圆 ,这个圆称为等反射系数圆 。 Γ
F

j (φF ? 2 β z ) jφ ' '' zF ? 1 Γ ( z ) = Γ e = Γ e = Γ + j Γ 2.4.5 ) ( F F Γ = 由式 F z + 1 可知 可知, , F 不同的负载 Z F ZF A B 对应于不同的 Γ F ,也就对应于不同 (A) z (B) 半径的同心圆, 半径的同心圆, 也就是说由式( 也就是说由式(2.4.5) 2.4.5) 可在复平面极坐标 内画出一系列圆族, 内画出一系列圆族,这一系列圆族就是如 这一系列圆族就是如 右图所示。 右图所示。

因为 | Γ F |≤ 1,因此所有的反射系数圆都位于单位圆 Γ = 1 (最大的等 Γ 圆)内 ,这一组圆族称为等反射系数圆族。 这一组圆族称为等反射系数圆族。半 径为零, 即坐标原点为匹配点; 径为零 ,即坐标原点为匹配点 ;半径为1,表示最外面的单位 圆为全反射圆。 如右图所示。 圆为全反射圆 。如右图所示 。

⒉ 等相位线 相位角标度: 标度:
= Γ F e = Γ + jΓ ( 2.4.5 ) 可 由式( 由式(2.4.5)即 Γ( z ) = Γ F e 知,离终端距离为 z处,反射系数的相位为 φ = φF ? 2β z ,此式 表明在极坐标系内 表明在极坐标系内, 极坐标系内,Γ复平面上等相位线是由原点发出的一系列 的射线, 的射线 ,在单位圆外 设置 等相位线 角度的 刻 度尺 , 标出反射系 o 如图所示 数的相位角, Γ 的周期为 2, , π 标度范围为 0o ~ 360 V? 。 Γ( z ) = 处 相应于 驻 波电 压腹 点 ; V+ φ =0 φ = π 处相应于驻波电压节点。
' '' j (φF ? 2 β z ) jφ

电刻度标度: 度标度: z φ = φ ? 2 β z = φ ? 4 π 式 表明, 表明, F F λ 反射系数的相位角与传输线上的电长度 具有一一对应的关系, 具有一一对应的关系,故可在角度的刻 度尺外设置电长度刻度尺。

Γ 的周期为 2π ,即设在传输线上有A、B两
点,且A、B两点相位差为

φ A ? φB = 2π
2β zB ? z A = 2π

2π ,即 φF ? 2β z A ? (φF ? 2β zB ) = 2π
?z = π = π β 2π =

λg
2
ZF

λg

由此可见, 由此可见,线上移动长度 λ 2,在圆图上 反射系数转动一周( φ 改变 2π ),故电长 ),故电长 度刻度尺标度范围为 0 ~ 1 2 ,且零点位置通 常选在 ? = π 处; φ = φF

B z (A)

l

A
(B)

? 2β z

若 z A ≥ zB (A离信源近,B离负载近),则从B到A相角减小, 角减小,圆图中 应顺时针旋转,即从负载端向信号源方向移动时,Γ顺时针旋转 ; 若 zA ≤ ( z B A离负载近,B离信源近),则从B到A相角增大,圆图中 应逆时针旋转, 针旋转,即从信号源向负载方向移动时,Γ逆时针旋转。

为了使用方便, 为了使用方便,有的圆图上标有两个方向的波长数数值, 的波长数数值, 如图所示。 如图所示。向负载方向移动读里圈读数,向波源方向移动读外 圈读数。 等相位线并不画出。 等相位线并不画出。这一点很重要,要牢记,否则很 容易将计算结果搞错。 ? j 2β z ZF 回忆式(2.3.3): Γ = Γ F e A B 线上A、B两点处的反射系数
Γ( z A ) =| Γ F | e
j? A

= ΓF e

? j 2β zA

z (B)

(A)

Γ( z B ) =| Γ F | e j?B = Γ F e? j 2 β zB

则:

Γ( z A ) = Γ( z B )e j (? A ??B ) = Γ( z B )e j?? = Γ( z B )e? j 2 β ( z A ? zB ) ?? = ? A ? ? B = ?2 β ( z A ? z B ) =
j (? A ?? B )



λ 即线上A、B两点处的反射系数关系为 l

( zB ? z A ) = ?4π
λ

l

λ

Γ ( z A ) = Γ ( z B )e
Γ = Γ F e? j 2βl


= Γ ( z B )e

? j 4π

若认为B点就是负载则可用距离l取代式中的z得:

Γ F = Γe j 2 β l

( 2.4.5 ) ( 2.4.6 )

为了帮助记忆,将式 (2.4.5)和式( 和式(2.4.6)用 图2.8表示出来, 表示出来,在距负载 zF为l处有一幅度为1的入 射波, 射波,图中标出了Γ 图中标出了Γ和ΓF 的位置及其表示式, 表示式,要特 别注意指数项的符号。 3、等驻波比圆即等

图 2.8 Γ 与 ΓF的关系

1+ | Γ F | 驻波比与反射系数有 ρ = 1? | Γ | F


ρ

关系, 关系,即一一对应

的关系, 的关系,固有时称等

Γ

圆也为等

ρ

圆,它们形状相同, 状相同,但

标度值不同, 标度值不同,标度值后面讲。

4、等电阻圆和等电抗圆

z=

1+ Γ 1? Γ

( 2.4.1), Γ =

z ?1 z +1

( 2.4.2 )

现将反射系数 Γ 分为实部和虚部两部分,Γ=Γ′+jΓ″,其中Γ′ 为实部,jΓ″为虚部,那么式(2.4.1)可改写为
r + jx = 1 + ( Γ ' + jΓ '' ) 1 ? ( Γ + jΓ
' ''

) (1 ? Γ )

=

1 ? Γ '2 ? Γ ''2
' 2



''2

+j

2Γ ''

(1 ? Γ )

' 2



''2

( 2.4.7 )

由复数相等的充分必要条件可得下述两个方程: 个方程:
r= 1 ? Γ '2 ? Γ ''2

(1 ? Γ )

' 2

x=

+Γ 2Γ ''
' 2

''2

( 2.4.8)
''2

经整理,式(2.4.8)和式( 和式(2.4.9)变为
r ? ? ' ? 1 ? ''2 ?Γ ? ? +Γ =? ? ( 2.4.10 ) 1+ r ? ? ? 1+ r ?
2 2

(1 ? Γ )



( 2.4.9 )

? ''2 1 ? ? 1 ? ' 2 (Γ ? 1) + ? Γ ? ? = ? ? x? ?x? ?

2

2

( 2.4.11)

这是Γ 这是Γ平面上的两个圆的方程。 个圆的方程。

(a)等电阻圆 式 ( 2.4.10) 表明, 表明 , 平面的等 r 直线 映 射为Γ 射为 Γ 平面的等 r 圆 , 是一个以归一化阻抗实部为参变量, 为参变量,其圆心在在实 圆心在在实轴上,点 ? r ? 处 ,半径为 1 的等r圆方程。 圆方程。 ,0

r ? ? ' ? 1 ? ''2 Γ ? + Γ = ? ? ? ? ( 2.4.10 ) 1+ r ? ? ? 1+ r ?

2

2

z

? ? 1+ r

? ?

1+ r

圆心+半径 r 1 由于 + ≡ 1 ,故电阻圆始终和 Γ r = 1 直线相切。不同 1+ r 1+ r 的电阻对应不同的圆, 的电阻对应不同的圆,将这一系列圆族描绘在反射系数复平面 内就构成等电阻圆, 内就构成等电阻圆,如下图所示。 如下图所示。
Γ"

r =1

0

0.5

1

2
r >1

r =∞
Γ'

r <1

r ? ? ' ? 1 ? ''2 ?Γ ? ? +Γ =? ? ( 2.4.10 ) 1+ r ? ? ? 1+ r ?

2

2

圆心坐标

半径

r
0 1/2 1 2

r Γ = 1+ r
'

Γ '' = 0
0 0 0 0 0

1 1+ r
1 2/3 1/2 1/3 0
0 0.5 1

Γ"

r =1

0 1/3 1/2 2/3 1

2
r >1

r =∞
Γ'

r <1



(b)等电抗圆:

( 2.4.11) 式(2.4.11)表明, 平面的等x直线映射为Γ 表明, 射为Γ平面的等x圆, 1 半径为 ? , ? 是一个以归一化阻抗 虚部 为参变量, , 其 圆心在 为参变量 1, ? ? 1 x ? ? 的等x 圆方程 。 如下图所示。 。 如下图所示 x

z

1? ?1? ? (Γ ' ? 1) 2 + ? Γ ''2 ? ? = ? ? x? ? x? ?

2

2

圆心坐标 x 0

Γ =1 1
1 1 1 1

'

1 Γ = x
''

1 半径 x

x>0

Γ"

1 0.5
x =1 2 x >1




2 1
0
x <1

±0.5
±1

±2



Γ'

±1
±0.5
0

-0.5 -1
x<0

±2 ±∞

-2

0.5
0

Γ平面单位圆内的等r圆是完整的圆, 的圆,Γ平面单位圆内的等 x圆只是等x圆的一部分曲线。根据以上所述列出两个表, 个表,表2.1 和表2.2分别说明了

z

平面上的3条等r直线和5条等 x直线如何

映射为Γ 射为Γ平面上的圆, 平面上的圆,并给出了它们的圆心和半径。 并给出了它们的圆心和半径。 表 2.1 等 r直线的映射

Γ"

1 ( c)阻抗圆图 0.5 2 将等反射系数圆( 将等反射系数圆(等 Γ 圆)、等相位 )、等相位 线、等电阻圆、 等电阻圆、等电抗圆叠画在反射系数 A 0 0.5 1 2 B O ∞ Γ' 的复平面内就得到阻抗圆图或称史密斯阻 -0.5 抗圆图。 抗圆图。为了清楚,一般不画出等 Γ 圆、 -2 -1 等相位线, 等相位线,使用者根据需要自行画出。 行画出。如 x<0 图所示。 图所示。 纯电抗圆 端 源 现在来说明阻抗圆图上的一些主 x = 1圆 弧 号 信 要的关键的点、 的点、线、面的意义 向 圆 r = 1 x >1 (见图2.9)和各种参数标注情 0 < x <1 况(见本书末所附史密斯圆图)。 见本书末所附史密斯圆图)。

x >0

(1)匹配点O,即阻抗圆图的中心 点,其坐标为( 坐标为(0,0) 。中心点 的 Γ = 0, z = 1, ρ = 1 ,相应于传输 线上的行波状态。 线上的行波状态。

短路点 纯 电 阻 线

开路点

A

匹配点

O

B
x < ?1

0 > x > ?1
向 负 载 端

x = ?1 圆 弧

(2)纯电抗圆、 纯电抗圆、开路点和短路点。 开路点和短路点。|Γ|=1的单位圆为纯电抗圆。 的单位圆为纯电抗圆。 Γ的正实轴与纯电抗圆的交点为开路点, 的正实轴与纯电抗圆的交点为开路点,开路点(B点),其坐标为 (1,0)。此处对应于r = ∞, x = ±∞ z = ∞ , Γ = 1, ρ = ∞, φ = 0 ;

(

)

Γ的负实轴与纯电抗圆的交点为短路点, 的负实轴与纯电抗圆的交点为短路点, 端 短路点(A点),其坐标为(-1,0)。此处对 源 应于 z = 0, Γ = 1, ρ = ∞, φ = π ; 。 信 号


纯电抗圆 x = 1圆 弧 圆 r = 1 x >1

(3)纯电阻线AB 纯电阻线AB, AB, x = 0, z = r 。 0 < x <1 因为 Γ = ( z ? 1) ( z + 1),所以Γ 所以Γ也 短路点 纯 电 阻 线 是实数。 是实数。当Γ=|Γ| 时,也就是 A 匹配点 O Γ位于Γ OB,其对 位于Γ的正实轴上OB 的正实轴上OB, 0 > x > ?1 应的归一化阻抗

开路点

B
x < ?1

1+ Γ 向 负 z=r= = ρ > 1 ( 2.4.12 ) 载 1? Γ 端 x = ?1 圆 弧 即:正实轴上归一化阻抗的 标度值等于驻波比的标度值。 标度值等于驻波比的标度值。 图 2.9 阻抗圆图的一些重要的点 阻抗圆图的一些重要的点、 、线、面

当Γ=-|Γ| 时,也就是 Γ 位于 Γ 的负实轴AO上,其对应的归 一化阻抗 纯电抗圆 端
z=r= 1? Γ 1+ Γ = K <1

( 2.4.13)


源 号 信

x = 1圆 弧

由此可知纯电阻线上的 r的数值 代表了驻波系数( 代表了驻波系数(r>1)或行波 短路 点 系数( ( r<1 )。 系数 A 即:负实轴上归一化阻抗的标度值等于行波
系数的标度值。 系数的标度值。

0 < x <1
纯电阻线 匹配点

x >1

r = 1圆

开路点

O

B
x < ?1

(4)感性与容性半圆。 感性与容性半圆。 Γ平面单位圆内的上半圆x>0, 所以是感抗; 所以是感抗;Γ平面单位圆内的 下半圆x<0,所以是容抗。 所以是容抗。

0 > x > ?1
向 负 载 端

x = ?1 圆 弧

(5)r=1圆是一个重要的圆, 圆是一个重要的圆,因为它通过匹配点, 因为它通过匹配点,并将圆图分 成0<r<1和r>1两个区域, 两个区域,r=1圆内的点为r>1区域。 区域。 (6)x=1圆弧将上半圆分成0<x<1和x>1两部分, 两部分,x=1圆弧右侧 的点为x>1的区域; 的区域;x=-1圆弧将下半圆分成0>x>-1和x<-1两 部分, 部分,x=-1圆弧右侧的点为x<-1的区域。 的区域。

(7)|Γ|的标注: 的标注:一般圆图上并未标注反射系数的模, 一般圆图上并未标注反射系数的模,匹配点 的|Γ|=0,纯电抗圆的|Γ|=1,中间的|Γ|的值是等分的可用尺子测 量得到的|Γ|的具体数值。 的具体数值。 (8)Γ相位的标注: 相位的标注:在|Γ|=1的大圆上标注了相对波长l/λg的数 值和相位 2 βl 的数值。 的数值。 因为 Γ的周期是半波长, 的周期是半波长, 所以最大的相对 波长数为0.5,相位的范围为0°~±180°。 (9)旋转方向: 旋转方向:圆图还注明了顺时针旋转为向始端( 圆图还注明了顺时针旋转为向始端(信号源 端)方向移动, 方向移动,逆时针旋转为向终端( 逆时针旋转为向终端(负载端) 负载端)方向移动。 方向移动。 (10)r值的标注: 值的标注:r值标注在纯电阻线上, 值标注在纯电阻线上,开路点为∞ ,短路 点为 0,匹配点为 1。 (11)x值的标注: 值的标注:x值标注在 |Γ|=1 大圆的内侧等 x线与 |Γ|=1 大圆的交点处。 大圆的交点处。 (12)等ρ圆。有些圆图上画出用虚线描绘的同心圆, 有些圆图上画出用虚线描绘的同心圆,这些同 心圆是不等间距的, 心圆是不等间距的,与其对应的r值已标注在纯电阻线上。 值已标注在纯电阻线上。 以上所述 12 条虽然有些麻烦, 条虽然有些麻烦,但用熟了就习惯了, 但用熟了就习惯了,迄今为止 还未找到比圆图更一目了然的阻抗、 还未找到比圆图更一目了然的阻抗、导纳、 导纳、反射系数及其相互 变换的图示方法。 变换的图示方法。

讲解例题在最后 阻抗元图例题 【例 2.4】 已知同轴线的特性阻抗 ZC= 75Ω,线上波长 λ= 10cm,负载阻抗 ZF=(50 +j50)Ω,求 (1)负载 ZF在阻抗圆图上的位置; 在阻抗圆图上的位置; (2)驻波比 ρ 和相对于负载 ZF所在截面的驻波相位lmin/λg( 设λg=λ); Z jθ A B (3)反射系数 ΓF的模和相位θ( Γ F = Γ F e ); (4)距终端 l1=7cm、截面 T1处的输 96° 入阻抗 Zb; 向电源电刻度0.116 (5)用矢量作图法画出线上电压电流 分布示意图, 分布示意图,并标出 lmin的位置。 的位置。 解 (1)由 ZF计算归一化阻抗 z F = Z F ZC = 0.67 + j 0.67, z F 位 于图 2.10 的a点。 (2)由a点沿等ρ 点沿等ρ圆(等|Γ| 圆)
z (B) (A)

F

向电源电刻度0.116 96° 旋转, 旋转,与纯电阻线有两个交点, 与纯电阻线有两个交点, 与纯电阻线右半边的交点在r=2.5, 驻波系数 ρ =2.5 处。由 ρ 可计 ρ + 1。 算 | Γ F |,| Γ F |= = 0.43 0 ρ ?1 0.5 由 a 点顺时针方向旋转 到纯电阻线的左半边所对应 的电长度 lmin/λ=0.50.116=0.3842。由图上查出 图 2.10 例题 2.4 的圆图求解示意图 ΓF的相位θ=968°。 计算l1/λ=0.7 =0.5 +0.2, 由a点沿等ρ 点沿等ρ圆顺时针旋转0.7λ到b点(0.116+0.2=0.316), (0.116+0.2=0.316),由于 阻抗的周期为半波长, 阻抗的周期为半波长,所以只需旋转0.2λ便到b点,b点的归一 化阻抗 z b = 1.3 ? j1 ,截面 T1处的阻抗 Z b = z b Z C = (105 ? j 50 ) ? 。
向信 号源 端

图 2.11 是例题 2.4的电压分布示意图。 的电压分布示意图。在这张图的右边是矢量 Γ 与 1 的合成图, 的合成图,垂直向上的矢量为 1,小圆的半径为 ΓF的模, 的模, ΓF与 1 的夹角为 98°, (1 +ΓF)的模便是 z=0点的电压相对值。 点的电压相对值。 顺时针旋转 Γ 矢量, 矢量, 然后取( 然后取(1 + Γ)的模, 的模, 特别是( 特别是(1 + |Γ |)和 (1-|Γ|)就是电压分 布示意图上的最大值与 最小值, 最小值,如图中虚线所 示。

图 2.11 例题 2.4 的电压电流分布示意图

2.4.2 导纳圆图 根据归一化导纳与反射系数之间的关系式同样可以绘制出另 一张圆图, 一张圆图,称作导纳圆图。 称作导纳圆图。但是实际上只要经过适当的变换, 但是实际上只要经过适当的变换, 便可将阻抗圆图变换为导纳圆图。 便可将阻抗圆图变换为导纳圆图。这样, 这样,只需有一张圆图, 只需有一张圆图,解 题时视需要可将其理解为阻抗圆图, 题时视需要可将其理解为阻抗圆图,亦可理解为导纳圆图。 亦可理解为导纳圆图。解 题的过程中有时需要来回变换, 题的过程中有时需要来回变换,并联时使用导纳圆图比较方便 ,处理沿线变化的阻抗的计算问题使用阻抗圆图比较方便, 方便,处 理沿线变化的导纳计算问题还是使用导纳圆图。 用导纳圆图。现在来说明如 何将阻抗圆图变换为导纳圆图, 将阻抗圆图变换为导纳圆图,以及相反的变换过程。 以及相反的变换过程。回忆归 一化阻抗和导纳的表示式 1+ Γ z= = r + jx ( 2.4.14 ) 1? Γ 1 ? Γ 1 + Γe jπ = g + jb ( 2.4.15 ) y= = jπ 1 + Γ 1 ? Γe

式中, 式中,g是归一化电导, 是归一化电导,b是归一化电纳。 是归一化电纳。将归一化阻抗表示式 中的 Γ 变为- 变为-Γ,式(2.4.14)的右边就变为式( 的右边就变为式(2.4.15)的右 边。这意味着作变换 Γ→-Γ,则有 z → y , r → g , x → b , 即归一化阻抗、 即归一化阻抗、归一化电阻和归一化电 抗分别变为归一化导纳、 抗分别变为归一化导纳、归一化电导和 归一化电纳, 归一化电纳,阻抗圆图就变成了导纳圆 图。注意到 ?Γ = Γe jπ ,所以实施变换 Γ→-Γ,就是让反射系数Γ 反射系数Γ在圆图上 旋转180°,如图 2.12 所示。 所示。若归一化 阻抗在阻抗圆图上位于A 阻抗在阻抗圆图上位于A 点,作变换 Γ→-Γ,A点移到B 点移到B点,B点则代表归 一化导纳在导纳圆图上的位置。 一化导纳在导纳圆图上的位置。上述变 换过程, 换过程,并未对圆图作任何修正,并且
z= 1+ Γ = r + jx ( 2.4.14 ) 1? Γ 1 ? Γ 1 + Γe jπ y= = = g + jb 1 + Γ 1 ? Γe jπ

( 2.4.15)

图 2.12 Γ→-Γ 的变换在圆图上的表示

保留了圆图上的所有的已标注好的数字,但是它们的意义变了, 变了, 即 z → y , r → g , x → b 。相反的变换过程同样成立:作变换 导纳圆图变为阻抗圆图。 Γ→-Γ,导纳圆图变为阻抗圆图 。 因为 y = 1 z ,故当 x=0 时 g =1/r,当 r=0 时 b=1/x。由 此可以得出推论:当实施变换Γ 变换Γ→-Γ后,匹配点不变, 匹配点不变,r=1圆 变为g=1 圆,纯电阻线变为纯 电导线, 电导线,x=±1 圆弧变为b= ±1 圆弧, 圆弧,开路点变为短路点, 开路点变为短路点, 短路点变为开路点, 短路点变为开路点,电抗圆变 开路点 为电纳圆, 为电纳圆,电阻圆变为电导圆, 电阻圆变为电导圆, A 上半圆的点表示b>0,呈容性, 容性, 下半圆内的点b<0,呈感性。 感性。导 纳圆图的一些重要的点、 纳圆图的一些重要的点、线、 面示于图2.13。
端 源 号 信 向

纯电纳圆 b = 1 圆弧

0 < b <1
纯电导线 匹配点

b >1

g = 1圆

短路点

O

B
b < ?1

0 > b > ?1
向 负 载 端

b = ?1 圆 弧

图 2.13 导纳圆图的一些重要的点线面

1+ Γ z= = r + jx ( 2.4.14 ) 1? Γ 1 ? Γ 1 + Γe jπ y= = = g + jb ( 2.4.15 ) jπ 1 + Γ 1 ? Γe 由此可见,z 与 Γ 的关系和 y jπ 与 Γ(d )e 的关系相同, 的关系相同,所以, 所以,如果 以单位圆圆心为轴心, 以单位圆圆心为轴心,将复平面上 的阻抗圆图旋转 180o ,即可得到 导纳圆图。 导纳圆图。
组合阻抗-导纳圆图

jΓi

g <0

-2

-1 -0.5

0


2

1

0.5

0 Γr

0.5 2 1
g >0

将阻抗圆图和导纳圆图叠画在一起就构成复合圆图, 合圆图,如图1-9 所示。 所示。 在实际应用中, 在实际应用中,我们会遇到阻抗、 到阻抗、导纳之间的计算, 导纳之间的计算,此时用复 合圆图能方便地得到我们想要计算的结果。

阻抗圆图和导纳圆图叠画

导纳元图例题 导纳元图例题 【例2.5】 电路示于图 2.14。传输 线的特性阻抗ZC=50Ω,线上波长 λ=10cm,负载阻抗 ZF=(75 +j75) Ω,求距终端负载l=2.12cm 处的输 入导纳Yd。 0.192 解 由 ZF计算归一化阻抗
z F = Z F ZC = 1.5 + j1.5, z F 位于图
ZC = 50?
2.12cm

ZF = ( 75 + j75) ?

Yd
0.15 7
0. 19 2

d

a

2.15 的a点,作ΓF→-ΓF变换至b 点(电刻度为0.445 ) ,b点即为 y F 所在的位置, 所在的位置, y b = 0.33 ? j 0.33 。 由 b点顺时针方向在等ρ 点顺时针方向在等ρ圆上
0.4 45

b

0.15

7
0. 19 2

旋转 0.212λ , 0.157 0.212λ到d 0.212-(0.5-0.455)= d点即相应于距终端 2.12cm 处的归 一化输入导纳, 一化输入导纳, y = 1 + j1.22 ,反归 d 0 一化得 0.5 1.22 ? 1 ? 1 。 Yd = y d YC = y d Z C = ? + j ?
? 50 50 ? ?

d

a

b
0.4 45

求解的另一条途径是, 径是,首先由a

点顺时针方向旋转 0.212λ到e点,e点 相应的归一化输入阻抗

z e = 0.4 ? j 0.49

,然后作Γ 然后作Γ→-Γ变换也到d点,其 结果与前解相同。 解相同。

例题1 例题1 已知一特性阻抗 Z C 为 50?的无耗传输线, 输线,端接负载阻抗 Z F 为 200 + j125?,求终端反射系数 Γ F 和驻波比ρ 。 解:① 找出负载 找出负载阻抗点 负载阻抗点
ZF = 4.0 + j 2.5 zF = ZC
zF = 4.0 + j 2.5
O M

13.5O

在阻抗圆图上标出此负载点 z F,如图所示。 如图所示。 ②过阻抗点 z 作等 Γ 圆交正实轴于M点,
F

该点为电压的腹点,查出 rM 即为 ρ = 5.5 。

③查出或量出OZ F 即为 Γ = 0.69 ,延长OZ F 交角度刻度线, 交角度刻度线,即可查 得 ? F = 13.5o 。即

Γ L = 0.69e

j13.5o

例题2 例题2 一线长为 0.81λ 、特性阻抗为 50?的无耗线,负载阻抗为 求其输入阻抗、输入导纳。 输入导纳。 z F = 75 ? j 25?, 求其输入阻抗、
0.106

解 : ① 如图所示, 如图所示 , 先 求出归一化负 载阻抗为

z F = ( 75 ? j 25 ) 50 = 1.5 ? j 0.5

zin = 0.8 + j0.4

在阻抗圆图上标出此负载点 , F zF = 1.5 ? j0.5 其对应的向电源波长数为 0.296 yin = 0.96 ? j0.56 ,如图所示。 如图所示。 0.296 ② 然后, 然后,以 F 点为起点,沿等 Γ 圆顺时针( 圆顺时针(向信源) 向信源)旋转电长度 0.81 = 0.5 + 0.31

z

z

到 zin点,对应的向电源波长数为 0.296 + 0.31 = 0.606=0.5+0.106 (取0.106) 106),查得距负载 0.81λ 处的输入阻抗为

zin = 0.8 + j 0.4

ZC
0.81λ

ZF

③ 将

zin

点旋转 180° , 即得输入导纳

yin



yin = 0.96 ? j 0.56
④ 非归一化值为

Z in = 40 + j 20
Yin = ( 0.017 ? j 0.102 ) S

解法2 除了在组合阻抗-导纳圆图中标出负载点 解法1,如图3-1(b)所示。 所示。 ③在下图中 in 点直接可查出输入导纳为

z L 外,①②同

z

yin = 0.96 ? j 0.56
④同解法1。

0.106

0.296

zL = 1.5 ? j0.5 yin = 0.96 ? j0.56
zin = 0.8 + j0.4

例3 一长度为 2.1λ 的同轴线, 的同轴线,特性阻抗Z C = 70? ,输入阻抗 Z = (175 ? j56 ) ? ,求靠近负载第一个电压腹点和节点的距离。
in

0.329

解:计算 z = Z in = 2.5 ? j 0.8 , in 找出输入点

z

ZC ,读出其逆钟向 in

zF
0.25 0.229
zin = 2.5 ? j0.8

d in

0

(向负载) 向负载)电长度标度

λ

=0.229 。

作等 Γ 圆,从 zin 点逆钟向旋转电 长度 2.1 (只需转0.1)到电长度为

d

ZC

λ

=0.229+0.1= 0.329

ZF
2.1λ

的负载点

zF

,则负载到第一腹点和节点距离的电长度分别为

d max

λ

= 0.329 ? 0.25 = 0.079

d min

λ

= 0.329 ? 0.0 = 0.329

2.4 史密斯图图在集总参数元件电路中的应用( 电路中的应用(补充) 前面介绍了史密斯圆图在分布参数电路中的应用。 数电路中的应用。在射 频电路中, 电路中,也经常会用到集总参数元件,集总参数元件多半 是无耗的电抗元件,如电感和电容。 如电感和电容。集总参数元件既 可以串 联在电路中, 在电路中,又可以并联在电路中, 在电路中,本节介绍史密斯圆图在 集总参数元件电路中的应用。 电路中的应用。 2.4.1 含串联集总参数元件时电路的输入阻抗 在图 2.20(a)所示的电路中, 所示的电路中,负载阻抗ZL与一集总参 数元件Zs相串联,输人阻抗为 Z in = Z L + Z S = RL + RS + j ( X L + X S ) ( 2.16 )

向信源

向负载

由式( 由式(2.16) 可以得到归一化输人阻抗Zin为

zin = zL + zS = rL + rS + j ( xL + xS )

( 2.17 )

利用史密斯阻抗圆图可以求出式( 阻抗圆图可以求出式(2.17) 中的归一化输人 阻抗Zin,如图2.20(b)所 示。式(2. 17)的结果用史密 斯阻抗圆图求解的步骤如下。 如下。

向信源

向负载

(1)在圆图上确定负载 ZL的位置, 的位置,用点A表示。 表示。 (2)由点A沿等电阻圆 移动到点B,以增加归一 化电抗jXS点B的归一化阻 抗为

向信源

向负载

z L + jxS
(3)由点B沿等电抗圆移动到点C,以增加归一化电阻rs, 点 C的归一化阻抗为

zin = zL + jxS + rS

( 2.18)

式(2. 17)中的Zin还有另一种图解方法可以求得, 图解方法可以求得,如图 2.20(a)所示, 所示,步骤如下。 如下。 (1)由点A沿等电抗圆移动到点B’,以增加归一化电阻rs。 (2)由点B’沿等电阻圆移动到点C,以增加归一化电抗拉 jxs。

2.4.2含并联集总参数元件时电路的输入导纳 在图 2. 21(a)所示的电路中, 所示的电路中,负载导纳 YL与一集总参数 元件 YP相并联,输人导纳为 Yin = YL + YP = GL + GP + j ( BL + BP ) ( 2.19 ) 由式( 由式(2.19)可以得到归一化输人导纳yin为 yin = yL + yP = g L + g P + j ( bL + bP ) ( 2.20 ) 式(2.20)的结果可以利用史密斯导纳圆图求出, 导纳圆图求出,如图 2.21(b)所示。 所示。步骤如下。 如下。 向信源

向负载

(1)在圆图上确定负载yL的位置, 的位置,用点A表示。 表示。 (2)由点A沿等电导圆移动到点B,以增加归一化电纳jbp。点 yL + jbP B的归一化导纳为 (3)由点B沿等电纳国移动到点C,以增加归一化电导gp。点 C的归一化导纳为 yin = yL + jbP + g P = yL + y p ( 2.21) 式(2 20)中的 yin还有另一种图解方法可以求得, 图解方法可以求得,如图 2.21(b)所示, 所示,步骤如下。 如下。 (1)由点d沿等电纳圆移动到s’点,以增加归一化电导gp。 (2)由点B’沿等电导圆移动到点C,以增加归一化电纳jbp。 向信源

向负载

2.4.3 含串联或并联集总电抗元件时电路的输入阻抗 这是2.4.1和2.4.2节所述电路的一种特殊情况,电路中串联或 并联的元件是无耗的,即为纯电抗性集总元件。在这种情况下, 有4种可能的组合,如图 2.22所示。 所示。 为了求输人阻抗, 阻抗,应预先计算出集总电抗元件的归一化串联 电抗值jx或归一化并联电纳值jb,并假定归一化负载zL位于圆 图上的点 A。对于图 2. 22所示的 4种可能电路, 电路,从圆图上的点 A开始实行图解计算, 开始实行图解计算,如图 2.23所示( 所示(图 2 .23为史密斯阻抗一 导纳圆图)。 导纳圆图)。情况如下所述。 如下所述。

向信源

向负载

(1)在电路中串联电感 L时,电路如图 2.22(a)所示。 所示。在圆 图上由点 A沿等电阻圆顺时针方向移动 jx = jω L Z, 0 即得到圆图 上归一化输人阻抗所在的点, 阻抗所在的点,如图2.23所示。 所示。1 (2)在电路中串联电容 C时,电路如图2.22(b)所示。 所示。在圆 图上由点A沿等电阻圆逆时针方向移动 jx = ? j ωCZ, 0 即得到圆 图上归一化输入阻抗所在的点, 图上归一化输入阻抗所在的点,如图 2 .23所示。 所示。2 (3)在电路中并联电感 L时,电路如图 2.22(c)所示。 所示。 在圆图上由点 A沿等电导圆逆时针方向移动 jb = ? j ω LY , 0 即 得到圆图上归一化输人导纳所在的点, 导纳所在的点,如图2.23所示。 所示。3

向信源

向负载

(4)在电路中并联电容 C时,电路如图2.22(d) 所示。 所示。在圆 jb = jω C Y 图上由点A沿等电导圆顺时针方向移动 , 0 即得 到圆图上归一化输人导纳所在的点, 导纳所在的点,如图2.23所示。 所示。 4 由图2.23可以看出,当串联或并联电感时, 电感时,点A将沿等电阻圆 或等电导圆向上移动。 或等电导圆向上移动。 当串联或并联电容时, 电容时,A点将沿等电 阻圆或等电导圆向下移动。 阻圆或等电导圆向下移动。

向信源

向负载

例 2.12 已知传输线的特性阻抗 Z0 = 50? ,终端负载阻 抗 Z L = 50 + j 50? .负载与 L = 8nH 的集总电感相并联.如图 2.24 (a)所示。 所示。如果工作频率为1GHz,求输入导纳。 求输入导纳。 解 用史密斯阻抗一导纳圆图求解的示意图如图2.24 (b)所示。 所示。 (1)首先确定并联电感的电纳 jBP = ? j / (ω0 L ) ≈ ? j 0.02S
jbP = jBP / Y0 = ? j1

向信源

(2)归一化负载阻抗为
z L = Z L / Z 0 = 1 + j1

向负载

,zL在圆图上的点 A。 (3)并联电感jb,由点 A沿等电 导圆逆时针方向移动-j1到达点B。

(4)读出点B的归一化输入导纳

yin = 0.5 ? j1.5
计算得到输入导纳为

向信源

Yin = 0.01 ? j 0.03S
向负载 或读出点B的归一化输入阻抗为

zin = 0.2 + j 0.6
计算得到输入阻抗为 Z in = 10 + j 30? 2.4、4 含串联及并联集总电抗元件时电路的输入阻抗 在此应用中, 在此应用中,电路中既有串联集总电抗元件,又有并联集总 电抗元件(如图2. 25所示), 所示),反 ),反复运用2.4.3小节阐述的方法, 述的方法, 就可以求得总的输人阻抗。 阻抗。

例2.13 已知某一含串联及并联集总电抗元件的电路如图 2.26 所示,传输线的特性阻抗 Z0 = 50? ,频率为100 MHz,计算输入 阻抗。 阻抗。 解 用史密斯阻抗一导纳圆图求解 的示意图如图 2. 27所示。 所示。 (1)将图2.26中所有的串联阻 抗及并联导纳归一化, 导纳归一化,得到

zL = Z L / Z0 = 6 jx1 = jω L1 / Z 0 ≈ j 0.36 jb1 = jωC1 / Y0 ≈ j 0.27 jx2 = jω L2 / Z 0 ≈ j1.0 jb2 = jωC2 / Y0 ≈ j 0.38 jx3 = jω L3 / Z 0 ≈ j 0.48

向信源

向负载

(2)圆图上负载ZL在点A. (3)由于串联电感L1,所以由点 A沿等电阻圆向上移动j0.36到达点B。 (4)由于并联电容C1,所以由点 B沿等电导圆向下移动j0.27到达点C。 (5)由于串联电感L2,所以由点 C沿等电阻圆向上移动j1到达点D。 (6)由于并联电容C2,所以由点 D沿等电导圆向下移动j0.38到达点E。 (7)由于串联电感L3,所以由点 E沿等电阻圆向上移动j0.48到达点F。 (8)在圆图上由点F读出归一化阻抗为

zin = 0.5 ? j 0.7

所以输入阻抗为 Zin = 25 ? j35?

zL = Z L / Z0 = 6 jb1 = jωC1 / Y0 ≈ j 0.27 jb2 = jωC2 / Y0 ≈ j 0.38

jx1 = jω L1 / Z 0 ≈ j 0.36 jx2 = jω L2 / Z 0 ≈ j1.0 jx3 = jω L3 / Z 0 ≈ j 0.48


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