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13级:3.1.1数系的扩充与复数的概念


3.1.1数系的 扩充与复数的概念

一、问题引入 解下列方程 在实数集下解方程:

x ? 2x ? 2 ? 0
2

在有理数集下解方程: x 2 =2

2

复数的发展史 虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时 是无法接受的,认为她是想象的,不存在的┉ 但这丝

毫不影响数学家对虚数单位的研究: 第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时 期意大利有名的数学“怪杰”卡丹,他是 1545年开始讨论这种数的,当时复数被他 称作“诡辩量”┉ 几乎过了100年,笛卡尔才给这种“虚幻 之数”取了一个名字——虚数.
3

又过了140年,欧拉还是说这种数只是存 在于“幻想之中”,并用 (imaginary, 即虚幻的缩写)来表示它的单位.
后来德国数学家高斯给出了复数的定 义,但他们仍感到这种数有点虚无缥缈, 尽管他们也感到它的作用. 1830年,高斯详细论述了用直角坐标 系的复平面上的点表示复数 ,使复数有 了立足之地,人们才最终承认了复数.到今 天复数已经成为现代科技中普遍运用的数 学工具之一. 4

数系的扩充
计数的需要
表示相反意义的量 解方程x+3=1 测量、分配中的等分 解方程3 x=5 度量的需要 解方程x2=2 解方程x2=-1
5

自然数(正整数与零)
整数 有理数 实数

R

Q

Z

N

问题解决
x2=2
( 规定: 2) ? 2
2

x2=-1 规定:i2=-1 i可以与实数进行四则 运算,在进行四则运算 时,原有的加法与乘法 的运算律(包括交换律、 结合律和分配律)仍然 成立.

可以与其它数进 行四则运算,在进行四 则运算时,原有的加法 与乘法的运算律(包括 交换律、结合律和分 配律)仍然成立.
2
6

一、新课教学
1、复数的概念
我们已知知道: 对于一元二次方程 x 2 ? 1 ? 0 没有实数根.

x ? ?1
2

人们为了解决这一类问题于是
引入一个新数:
7

i

满足

i ? ?1
2

并且规定: (1)i2 ? ?1;

(2)实数可以与 i 进行四则运算,在进
行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律 (包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。

定义: 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
说明: 1)、全体复数所形成的集合叫做复 数集,一般用字母C表示 . 8

2)复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部 虚部 其中

i 称为虚数单位。
?C R?

问题: 复数集C和实数集R之间有什么关系?
? 实数 b ? 0 ? ? 纯虚数 a ? 0, b ? 0 ? ? 虚数 b ? 0 ? ? 非纯虚数 a ? 0, b ? 0 ?

3)a+bi
9

韦恩图表示复数集、实数集、虚数集、纯 虚数集之间的关系用:

复数 纯虚数 实数
虚数
我们知道若 a ? bi ? 0 则

0 a ? _____
10

0 b ? _____

如何定义两个复数的相等?
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.
若 a, b, c, d ? R ,

a ? bi ? c ? di

?a ? c ? ? ?b ? d

一般地:对两个复数只能说相等或不相等; 不能比较大小。若两个复数均为实数则可以 比较大小,一个实数与一个虚数或两个虚数 则不能比较大小
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二、例题讲解
例 1. 判断下列各数, 哪些是实数?哪些 是虚数?若是虚数请指出实部与虚部.
(1) 3 ? 2i;        ( 2) ( 3) ? ( 5) 3? 1 1 2 i;     ) ? 0.2i; (4 1 ? m i ( m ? R ); 1 i
12

?

3i;

2 m ?1 ?
3

( 7 ) i ;         ) 1 ? (8

;

例2 已知 ( 2 x ? 1 ) ? i ? y ? ( 3 ? y ) i ,其中x , y ? R 求 x与 y .

解题思考: 复数相等 的问题
转化

求方程组的解 的问题

一种重要的数学思想:转化思想
1、若x,y为实数,且

?
求x,y
13

x ? y ? x ? yi ? 2 ? 4i
2 2

?

2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) i=0,求x的值.

例3、复数Z=i+i2+i3+i4的值是( B )
A. -1 B.0
n?Z
*

C.1

D.i

i
i
14

4n

? 1
? -1

i
i

4 n ?1
4n?3

? i
? ?i

4n?2

三、课堂练习
1.使复数 lg(m -2m-2)+(m +3m+2)i 是 纯虚数,则实数 m 的取值是
2 2

m=3

.

2.设 C = {复数},A = {实数},B = {纯虚数}, 全集 U = C,那么下面结论正确的是( A.A∪B = C C.A∩
15
UB

D)

B.

UA

=B
UB

= Φ D.B∪

=C

三、课堂练习
3.“复数 a + bi (a,b,c∈R)为纯虚数” 是“a = 0”的什么条件 A.充分但不必要条件 B.必要不充分条件 ( )

A

4.已知关于 t 的一元一次方程 t + (2 + i) t + 2xy + (x – y)i = 0 (x, y∈R). (1)当方程有实数根时,求点(x,y)的轨 迹方程; (2)求方程的实根的取值范围.
16

2

三、课堂小结

1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念: 复数的代数形式: z ? a ? bi (a ? R, b ? R ) 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等 a ? bi ? c ? di
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?a ? c ? ? ?b ? d

四、1、练习: P104 1、2、3 2、作业:《红对勾》P55第28课


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