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第三章3.2第3课时一元二次不等式解法(习题课)


第三章

不等式

3.2 一元二次不等式及其解法 第 3 课时 一元二次不等式解法 (习题课)

[学习目标] 1.从实际情境中抽象出一元二次不等式 模型. 2.将其他不等式化为一元二次不等式并求解. 3. 一元二次不等式的解集是实数集 R 和空集?的含义及应 用.

a a a · b > 0 a· b<0 . 1.分式 >0?________; <0?________ b b 2.设二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 R,则有
> 0 且 Δ=b2-4ac____ a____ < 0.

3.设二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集为?,则有
2 a____ 0 且 Δ = b -4ac____ < ≤ 0.

[思考尝试· 夯基] 1.下列不等式的解集是?的为( A.x2+2x+1≤0
?1?x C.?2? -1<0 ? ?

)

B. x2≤0 1 1 D.x-3>x

解析:因为 A 解为:x=-1,B 解为:x=0,C 解为: x>0

答案:D

2. 如果 A={x|ax2-ax+1<0}=?, 则实数 a 的集合 为( ) A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4} B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4}

解析:当 a=0 时,有 1<0,故 A=?,当 a≠0 时, ? ?a>0 若 A=?,则有? ?0<a≤4, 2 ? ?Δ=a -4a≤0

综上,a∈{a|0≤a≤4}. 答案:D

3.已知集合 P={0,m},Q={x|2x2-5x<0,x∈Z}, 若 P∩Q≠?,则 m 等于( A.1 2 C.1 或 5 B.2 D.1 或 2
? 5 ,x∈Z?={1,2}, 2 ?

)

? ? 解析:因为 Q=?x?0<x< ? ?

所以 m=1 或 2.
答案:D

4. 若关于 x 的不等式 x2-ax-a>0 的解集为(-∞, +∞),则实数 a 的取值范围是________. 解析:Δ=a2-4(-a)<0,所以-4<a<0. 答案:-4<a<0

5.若产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数 关系式是 y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N),若每 台产品的售价为 25 万元, 则生产者不亏本(销售收入不小 于总成本)时的最低产量是________台. 解析:y-25x=-0.1x2-5x+3 000≤0, 所以 x2+50x-30 000≥0, 得 x≤-200(舍去)或 x≥150,

又因为 0<x<240,x∈N, 所以 150≤x<240,x∈N. 答案:150

类型 1 三个二次间关系的应用 [典例 1] 已知方程 x2+2mx-m+12=0 的两根都大 于 2,求实数 m 的取值范围. 解:法一:设方程 x2+2mx-m+12=0 的两根为 x1, x2,由题意知:

2 2 ? ? Δ = 4 m - 4 (- m + 12 ) ≥ 0 , m ? ? +m-12≥0, ? ? ?x1+x2=-2m>4, 即?m<-2, ? ? ? ? ?(x1-2)(x2-2)>0. ?3m+16>0,

?m≤-4或m≥3, ? ? 16 m <- 2 , 解得? ?- <m≤-4. 3 ? 16 ?m>- , 3 ?
? 16 ? 所以实数 m 的取值范围是?- 3 ,-4? ? ?

法二:设函数 f(x)=x2+2mx-m+12,则 ?Δ≥0, ? ? 2 f ( 2 )= 2 + 2m · 2-m+12>0, ? ? b 2m ?-2a=- 2 >2, ? ?m≤-4或m≥3, ? ? 16 16 即?m>- 3 , ?- <m≤-4. 3 ? ?m<-2, ?

? 16 ? 所以实数 m 的取值范围是?- 3 ,-4?. ? ?

归纳升华 注意二次函数、 一元二次方程与一元二次不等式的联 系,解不等式时注意利用相应二次函数的图象,解不等式 组时注意利用数轴直观求解.

[变式训练] 已知方程 x2+(2m-3)x+m2-15=0 的 两个根一个大于-2, 一个小于-2.求实数 m 的取值范围. 解:设函数 f(x)=x2+(2m-3)x+m2-15. 则由题意:
2 2 ? Δ =( 2 m - 3 ) - 4 ( m -15)>0, ? ? ? ?f(-2)<0,

? ?-12m+69>0, 即? 2 ? ?m -4m-5<0, 所以-1<m<5.

类型 2 一元二次不等式恒成立问题 [典例 2] 已知不等式 ax2+(a-1)x+a-1<0 对于所 有的实数 x 都成立,求 a 的取值范围.

解:若 a=0,原不等式为一次不等式,可化为 -x -1<0, 显然它对于任意的 x 不都成立,所以 a=0 不符合题 目要求.

若 a≠0,原不等式为二次不等式,由于所给不等式 对所有实数 x 都成立, 所以对应二次函数的图象抛物线必 须开口向下,且判别式 Δ<0, ? ?a<0, 即? 2 ? ( a - 1 ) -4a(a-1)<0, ?
2

① ②

1 整理②,得 3a -2a-1>0,解得 a<- 或 a>1. 3

?a<0, ? 1 所以? 所以 a<- . 1 3 ?a<- 或a>1. 3 ?
? 1? 所以 a 的取值范围是?-∞,-3?. ? ?

归纳升华 (1)不等式 ax2+bx+c>0 的解集是全体实数(或恒成 立)的条件:①当 a=0 时,b=0,c>0;②当 a≠0 时, ? ?a>0, ? ? ?Δ<0.

(2)不等式 ax2+bx+c<0 的解集是全体实数(或恒成 立)的条件:①当 a=0 时,b=0,c<0;②当 a≠0 时, ? ?a<0, ? ? ?Δ<0. 类似地,还有 f(x)≤a 恒成立?[f(x)]max≤a;f(x)≥a 恒成立?[f(x)]min≥a.

[变式训练] 已知关于 x 的不等式(a2-4)x2+(a+2)x -1≥0 的解集是空集,求实数 a 的取值范围. 解:当 a2-4=0 时,a=±2, 当 a=-2 时,解集为?; 当 a2-4≠0 时,要使解集为?,
2 ? a ? -4<0, 6 则有? 解得-2<a< . 5 ? Δ < 0 , ?

? 6? 所以 a 的取值范围是?-2,5?. ? ?

类型 3 一元二次不等式的实际应用 [典例 3] 某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的 投入成本为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万元/辆,年销售量 为 1 000 辆. 本年度为适应市场需求, 计划提高产品档次, 适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 <x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.75x,同时预计年 销售量增加的比例为 0.6x.设年利润= (出厂价-投入成 本)×年销售量.

(1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比 例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成 本增加的比例 x 应在什么范围内? 解:(1)依题意,得 y=[1.2(1+0.75x)-(1+x)]· 1 000(1+0.6x)=1 000(- 0.06x2+0.02x+0.2),

所以本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式为 y=1 000(-0.06x2+0.02x+0.2). (2)依题意,得 1 000(-0.06x2+0.02x+0.2)>(1.2-1)×1 000 化简, 得 3x2-x<0, 1 解得:0<x< , 3

即:为使本年度的年利润比上年有所增加,投入成本
? ? 1? 增加的比例 x 的范围是?x?0<x<3?. ? ? ?

归纳升华 解不等式应用题的四步 (1)阅读理解、认真审题,把握问题中的关键量、找 准不等关系. (2)引入数学符号,用不等式表示不等关系(或表示成 函数关系).

(3)解不等式(或求函数最值). (4)回扣实际问题.

[变式训练] 汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后 还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离 为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要 因素.在一个限速 40 km/h 的弯道上,甲、乙两车相向而 行,发现情况不对后同时刹车,但还是撞了.事发后, 现场测量甲车的刹车距离超过 12 m,但不超过 15 m;乙 车的刹车距离超过 10 m,但不超过 12 m.

又知甲、乙两种车型的刹车距离 s(m)与车速 x(km/h) 之间分别有如下关系:s 甲=0.1x 甲+0.01x2 甲,s 乙=0.05x 乙 +0.005x2 乙,问谁应负主要责任?

解:由题意得下列不等式: 12<0.1 x 甲+0.01 x2 甲≤15① 10<0.05 x 乙+0.005 x2 乙≤12②

①化为 1 200<10 x 甲+x2 甲≤1 500,
2 ? x ? 甲+10 x甲-1 200>0, 即? 2 ? ?x甲+10 x甲-1 500≤0.

③ ④

由③x 甲>30 或 x 甲<-40(舍去). 由④得-5-5 61≤x 甲≤-5+5 61, 由③④得 30<x 甲≤-5+5 61<35.

同理解②得 40<x 乙≤-5+5 97<45. 因此乙车车速超出了 40 km/h 的规定, 乙车司机应负 主要责任.

1.解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数 集 R 和空集?的几何意义,准确把握一元二次不等式的 解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内 在联系.

2.解不等式的关键在于保证变形转化的等价性.简 单分式不等式可化为整式不等式求解:先通过移项、通 分等变形手段将原不等式化为右边为 0 的形式, 然后通过 符号法则转化为整式不等式求解.转化为求不等式组的 解时,应注意区别“且”“或”,涉及最后几个不等式 的解集是“交”,还是“并”.

3.不等式对任意实数 x 恒成立,就是不等式的解集 为 R,对于一元二次不等式 ax2+bx+c>0,它的解集为 R
? ?a>0, 的条件为? 一元二次不等式 2 ? Δ = b - 4 ac < 0. ?

ax2+bx+

? ?a>0, c≥0 的解集为 R 的条件为? 一元二次不等 2 ? ?Δ =b -4ac<0. ? ?a<0, 2 式 ax +bx+c>0 的解集为?的条件为? ? ?Δ ≤0.


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