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第56届IMO试题解答


20 1 5

年第



期?



? ? 9

竞 赛之窗 ? ?


中 围分 类 号


56





MO

>
? ? 试 题 解 答


G4 24 7 9


? 文 献 标识 码



A ?文 章 编 号

10

0 5?


?

64 1 6



20 1 5 ) 0 9?


?

0 01 9 ?


?

05 ? ?

1.

对于 平 面上
iC f



个 有 限点 集



S S



若对



S ?S .

设 R 为 全体 实 数 的 集 合 求 所 有 的 函 ? ?


中 任意 两 个不 同 的 点 人 圮 均 存 在



点?数 /






?







满 足 对 任 意 实数


*、





均有 ? ?

满足 4 C


?



?



则 称点 集

为 平衡 的





若?f


x + f( x + y )

+f ( x

? ? y)




中 任 意 三个 不 同 的 点





B 、C




均不 存 在?



i + /( * + y ) ?+ a








*)


? ? ?










满足
, ’ ?

PC

则称 点集

?6 整 数 序 列






满足 ? ? 有
?

为 无中心 的


?
n衾3








对 每个 整 数 >
_











^2
?

?

01 5

? ? ;





证 明 对 每个 整 数


均 存在



个?








对 任意整 数 办 < 有


, :

A ?+





?+ a
?

? ? . ,





个点 构 成 的 平衡 点集




?证 明 存 在 两 个正 整 数










? ? 使得对 所 有





确 定 所有 的 整 数 n 多 3 使 得 存 在


满 足 n?多





的整 数






/i



均有 ? ?
? ? 2

个由 使得



个 点 构 成 的 平 衡 且无 中 心 的 点集 ?^ ?u ? ?<
确 定所 有 三 元 正 整 数 数 组 U M


i ? 〇〇 7







? ? ,

<*











? 、 《1





中 的 每 个 数均 为

B (



? ? ?参 考 答 案


的 方幂





的 方 幂是 指 形 如



e N



的 整?
〃 廿

1.

, (









太耕 数 对工 于奇











T ?★ 取 66 ? ? n 边形的 考 虑正 ? ?

3.

在 锐角 A 仙C 中
i ’



A B? > 4 C
?

^? m?m


设 尸 为其

外 接E
垂足




为垂 心 J 为 由 H iU 处所 引 高 @
sc



点 使得 Z ’?
?



为边

的中点
?











为圆 尸 上的
°


? 下 面说 明 点 集 ? 事实 上 点 集
: ,

个 顶 点 构成 的 点 集


? ? &


为平 衡 的

? ? .

中 所有 点 在



? ? 圆周 厂



Z?



90

若M

上 对于



中 任 意两 个不 同 点
i ,



? ? 点〇 分

?

A、 B、

圆 周 尸 为 两段 h 弧


其中



? ? 段 h 弧 内 部 有奇




数个点 集 5 中 的 点 其 中







为这段眶 ? ?

± M m A KQ H?mm


?的 中 点



满足 仏



? ? 皿
, :

圆 相切


? ? ?对 于偶数 G 4 考 虑 如下 构 图 设 圆 尸 的 iC 的外接 圆 以 4 为 4 已 知 ? 0 为 △ Af ? ? n ? 圆 心 为 0 在 0 0 上 取非 常 靠 近 的 灸 五 两点 T 圆 心 的 个 圆 厂 与 线段 5C 交于






_

?1 ? ?





Z)





?

使得 点
在 直线


互 不 相 同 且 按 此 顺序 排 列 ?个 点 岑 A






? ? A 使 得 这 些 点 均 落在 圆 心 角
, ,





上 设


F、 G




?0

与 圆 尸 的 两 个 ?为

30







段圆 弧 上 将这



个点 绕 圆 心 0 顺 ? ?



交点 且使 得 点 4
?0 上 设


F、 B 、 C 、 G
BD F

按 此顺 序 排 列 在 ?时 针旋 转 6 0




为△


?

的 外 接 圆 与 线 段 狀 ?点 岑 绕


? ? 个点 和 馬 凡 将 令 ? 逆 时针 旋 转 60 得 到 点 氺 ?
又得 到















的另



个交点




为A


CG£

的 外 接 圆 与 线段?S



以 的另

个交 点 若直 线




H民 与 弘 不 相 同 ? 则 点 集 S 含 有 n 个不 同 的 点

… 丨







? ? ,

? ? .

且交于 点 夂 证 明 点



在 直线 奶 上 ?下 面 说明 点 集 S 为平 衡 的


? ? .







中 等
?

? ? 数 学

事实 上 对点 集






中 任 意 两 个不 同 点



4、

? 情形







?=









中 有 两 个数 相 等

? ? .

i f


若A






均 在Q 0 上 则












的 距离 相 ?不 妨 设 a




? ? .

等 若


与点




重 合 则 由 上 述 构 造? 于是
?S


〇c







a(














? ? 的 方幕
? ? .

方 法 知 总 存在 另




C ??

使得 A AB C 为 ? 这表 明






c?



均 为 2 的 方幂

? ? .

正 三角 形 因 此 点




到A





的 距 离 也相 等

设Pt


c s l




W G IGO




2)

所 求 n 为 所有 大 于 或等 于 3 的 奇 数 ? 则


?

C ?=?



?









的 方幂


? ? .






为 大 于 或 等 于 3 的 奇数 时 取




为?若


*?

> 0







21

?



f?






为奇数 只 可 能 ? ?


个 由正




边形 的


a r

个 顶 点 所 构 成 的 点集


?



?l

=>







mo d 4

? ? )





中 已 经说 明

为平 衡 的








中任意 ? ?
, ,

三 个不 同 点 的 外 心 为这 个正

边形 的 中 心 ?此 时














C = 3. ? ?

它 不在



中 因此 点集
, ,



也 为 无 中 心 的 ?若



t? =





则沪





为 2 的 方幂 只 可能


s?= 1. ? ?

对 于大 于 或 等 于




的偶 数

不 存 在 平 ?此 时




a?= ?6? =

c? =



? ? .

衡 且无 中 心 的 点 集 ?容 易 验证 2 2 假设 n 个点 的 集 合 S 为 平 衡 的 对 于 S? 情形 2 o 6







) 、 (

2 2 3




) :

均满 足要求

? ? .











互不相 同
6 ?< e
? ? .

? ? .

中 的 任意



个二 元 子集 M








存在









?不 妨 设 2 0


?



点 到 A S 的 距 离 相等 取 定 这 样

个 点 称 ? 由 题 意 知 存 在 非 负 整数
bc


a、



? ? 使得





4 f i



的 关联点 ?






点集



的 二 元 子 集 共有


C?



个 每 个 二 元 ?〇 c 4


?

?=?

? ? ?① 2、 ? ② ? ?




子 集 均确 定


个关 联 点 据抽 屉 原 理 知 点 集?
, ,

_

?

e ?=

?

2^

?③ ? ?
? ? _

中有




个点





其至 少 为 1 C



2 n?


?



人 个



兀 子集 的 关 联 点



名隹 始 史 庇 占

? ?对






?1



?显 然




a ?> 3 ? ?


的 大 小 再 分两 种 情 形 讨论


?⑴ a
至少 为


? ? 2

?

由于



为偶 数 则






个 二? 先证 明 y
?



? ? .

元 子 集 的关联 良? y
因 为以


> 〇



? c ?S

?

^d


? ? )

? ? 为 关联 点 的 二 元 子 集 中 的 两
b e?


?




?





mo d ? 4



? ? ,

点 均不 为
为S







所 以 这f



个二 元 子集 中 的 点 均

但 2^ 0



m od 4





矛盾

? ? .




中 的点

?从而










? ? .

由 于士


? 由 式 ②得 3
?



x 2 ? =? n > r a





其 中 有 两 个二 元
和M


?故 式 ^ 为


c ?= 2 6





? ? .







?模




知 0 为偶 数
? ? .

? ? ?

子 集 有共 同 元 素 记 为
PA







则?若 #






?












不 成立
? ? .

PB




PC


从而 点 集



?若 办 4 则 6 不 是 无 中 心 的 ?容 易 验证 2 6












= l l









1 1



满 足要 求

? ? .

? ? .

幂 这 不可 能 ?





a ?= ?1





6?



?c



c?



?6

均为



的 方?

? ? 1

若_ 则










2 ?+ 2

于是





彡2





? ? ? 代 人 式 ①得


类似 地

彡2



> 2 ?9


°

x 2
36



9 ( 6c



a ) ? = 96





26









?



? ? 8

下 面 分两 种 情 形 讨论 ?


= (





) ?(

66 +

)?



? ? 6

20 1 5

年第 9 期 ? 2
=?

? ? 1








^+



+5











? ? ?④


由于


故2






9 x 2






? ? 但 式④ 仅 被




整 除 不被


⑵…




? ?r


整 除 矛盾



? ? ?/



①+② ①


② 分别 得



?x





? ? Q

a + b a











2 2



+2


? A? /
\ B


? ? 〇 ?/




— ̄

? ? 湖
f[













c ?+ ? l










?
个 不为


由于



C?






?

C? +



中有






的 倍?七 ? ?


? ? 一

\ ?/ /



f\

? ? \

数 故妒




?(

a ?+





或广
_

?





6?

a)



?






ac?





?



多 3 c?

?

6? >

?

2c



知? 图


? ? 1





<2

? ? \
a <2


因此



〇 < b 2?












6?







的 中点 ?从而 为 ? ? 延 长 犯 与 圆 r 交于 点 尺 不 成立 ?
? ? ?










Rm

2?




?(

a +? 6 )



且由于

a + 6 ? < 2 6? < 2




〇 + b





? 于是
? ? .

?

由于4 五


iC 丄 狀 故 以/ /f


? ? _



MF

为 厶 描 ¥ 的 中位线 , 为

? ? 册

代 入 式 ②得
a,








?的 中 点 心 ^ ?设直 线 与 供 交于 点




? ? .





a ?+ ?b



^ ?a

( (? c ?







?



根据




? 幂定 理得 ? ?


36

? ? .

若 : ^
=>

?注 意 到


^ 则

?
4(



BK R Q

? ? EE ^



⑷ 的 外 接圆 厂 厶


77

£1 的 ? ?


外接 圆 尸 ? ^ ^
a( c




分别 是 以 即


为 直径 的 圆 这 ? ?
为 这 两个











4(









>36



两 个 圆 外切 于 点
, ,



/?



的 等幂 ? ?




点 于是 点



在 这 两个 圆 的 根 轴 上 即
? ? .

/?

? ? ?
































? 为 麵 圆 的 公切线 ^














代 入 式 ③得



?故 纽 丄 A







? ? .

a6



c = 3







i ? 设直线 MF 与 f ? ? ?中 点
























交 于点











HR

? ? 的











? 由 于么 厘 为 直 角 三 角 形







? ? 为 斜边 册

k b

















c =





也为 圆 A ? ? ? 軸 S好 为 圆 尸 的 切 线 知 综 上 满 足 条件 的 三元 正 整 数组 共有 6 ?m m ? ? 2 2 3 个 为 22 2 的 二 种排 列 2 6 在 R A 腳f 中 由 册 为斜边 上 的 髙 知 ? ? 3 7 5 的 六 种排 列 的 六种 排 列 SF SM SH SK




容易 验证










也满 足条件

?的 中 点 故



紐 = SK ? ?

































11



?



?

















?







? =?



? ? .





如图
?





延长 听




与圆 尸


交于点


由 Z 4仲
由于

90




故 视 也 为 A 蕭 的 外 接 圆 的 切线
?于是 双 与 △ 學 的 外 接 圆 与 △ ? ?


? ? .



为 圆 尸 的 直径

风故


的外 接圆 均切 于 点 尺 处


? ? .

类似 地


A C/ /肌



?因此
为 平行 四 边 形
? ? .

于是 四 边 形

这 两个 圆 也 在 点



? ? 处娜

22
_

中 等 数 学 ? ?
?





如图





?下面分 两种 情 形 讨论

? ? .



?


情形 1
?



/( 〇 ) 一 〇

? ? .

考 虑? 有 ? ?

/?\ ?/ /












/( 〇 )



/( y ) +




?\? 若



? ? .

y〇

为 / 的不 动 点 在 上式 中 令 y


?

?

y〇

? ? ,

于是



* + /( * +





?

= i

? ? .

\ \ ?/? 从而





/U




?









对所 有实数




成立

? ? .






/?
?

/? 易 验 证 /


* ) ?= 2




为 满 足条件 的 函 数
尸(

? ? .

情形2
?



/( 0 ) ?
?




? ? .

?J ? \?/?






lc

?分别 考 虑
/( ? +/( * /(
= l
?

尸( * +














y)




? ? 有









?)

* +/( * +



? ? ②

+ /( y? +? l +f( y? +? l





+ /( y ) ? ? +






f(








? ? ?③




? 在式① 中 令
b 为




=?





有/









?

=?





? ? .

m? A n a t? a p ? i 由 于 狀 = 4G 而 似

?

/ ?n r

分线 故 点


关于 直 线 如 对称




要证 明 点 X 在 直线 +/ y + ? ? ? + y ?④ Z A FK Z AGL? ?若 九 九 + 均 为 / 的 不 动 点 在 式 ④ 中 ? ? 首先 注 意 到 知 y + 2 也为 / 的 不 动 点 Z a fk Z df g + Z gfa Z dfh ? 令 y y 从而 由 式 ① ② 知 对任 意 的 实 数 * i F K 分 别? 由 D F G £ A F B G D f * + + 2 均为 ? ? / x + / 的不动点 即 四 点共 圆 得?
似 上 只需证 明
= l

?

?f ? ?
?
?

再在 式③ 中 令 ? 的 内 角平

?



T?





有/







?

= 1

? ? .

¥且

dv gw ? ?

/(

I? +



?

+? )
?l

)?



? ? /( y )





?



?



?1







?











?

? ? .

?

?

?

?

?







? ? ,

























?1








_

?

DFG

?



?


_



CE G G BA


_

?

GF A? =

?



?

?/ / ?在 上 式 中 将


* +



* ?+ ? !

)?

+ 2 )?
*?



x +

f{ x

?

+? \

)?

+2

? ? .






)?





代替 得 ? ?




D FK

?



?


?

D BK
?



?/
? ?



* + /( *









x +f( x





? ? .

故Z A FK




?



CE G + CB G





?

GBA ?



?

Z DBK?考 虑
?

尸(*

?












? ? 有




?

CE G ?



?




?

?f x +f x

?
? ? .



) )

= *?

f( x

?

_





)?

/( * ) ? /(




*)

? ? ■

分 别 四 点 共 ?从 上 面两 式 知 / 圆 得 ?奇 函 数
再由 ^ [
CE G
? =?





^ ^^ ,





*)





/(

*)



即/为 ? ?

Z Z



?

C LG



?考虑 P












y)




并利用 /
)?







)?

=?







? ? 有

cb g
?



ca g



?/




I ?+

/(












? ? f( y )

^i Z A FK
5.



?



CLG



CA G ? =

?

Z A GL ?
?


=? - 1 ? +

/(







)?

+y

? ? .

? ? 再 由 / 为 奇 函 数 上式 可 改 写 为 将题 中 等式 记 为 + 设 / 为 满 足 条件 的 个 函 数 ? / + / y + ? / y ?+ y 考虑 戶 * 有? / y + ? ? x + ? ?① ? 将 上 式 与 式 ④ 相 加 知 / y ? 对 所 有 f x +f x + f x +








1?



?









? ? )





















?1



? ? .





?

?l









?

?l











均 为 / ?实 数 7 成 立 的 不 动 点 ?容 易 验 证 /
于是 对任 意 实 数



* , * + / ( *? + ? 1

? ? .





*)





为 满 足 条件 的 函数

? ? .

20 1 5

年第



? ? 期? 2 3

综 上 满 足 条件 的 函 数 为? 再将 & ? 代 入 化 简 有 ? ?




/( *




*?


和 /⑷
n + a











?

n +




6?

?
2? 0 1 5


V ?V? ^ ? ? 2. ? = 2j a + a M
i ?

?







?+ a



Cn



? ? .

由 条件知
n ?+ ? l

^ sn

?对 任 意 > ? ? ^ + ? 并将 两式 作 差 得
a r




a 多 iV r



a 在 上 式 中用 m 代 替 r

? ? ,










IE ?5 ? =?




不相 同


?E


?
?





?



?,









2? ,

?
=?



=n?





?

?


S?
m+






?



?j

S ?a




+a ( C



n )







CJ

? ? .

m+
?

?

? ? l



首 先说 明 集合 M


?


?

+?





? ? 为 有限集 且



^ M




^ 2? 0 1 5
il



S 妖?



?f?



?

?E


?
?

?(
? ? \






? ? )

m ^

乂 ^ 若▲ 集n
饥 n > m

<?

2 〇 16










由式 1 及 ^ 均^ 属? 于 M 取 整 数? ^ C 则 ?芝 ? ;? w c U
2 015
( )


财 中

有多于


个 元 素 设?





2 0 15



) (





m) + 〇





(:



? )















? ? ③

(:









?<



2 ?0 1 5






? ? 知
? ? i

叫。





n + 2

( )





_

c? ? + 2 f

01 5 ? ?











n )

^?


2?
? ? 1











B + 4 +





. .









n + 2 015



?










^ ^


- ,



^〇

16










- ,



+ 2 01 5




?






/ i?

+ ? 1 ? 00 9





2 015







^〇







? ? ? )



由 集合 M 的 定义 知


? 旧?
打 + 2 0 1 6 > n + 2?0 1 5
?

? ? ?^ ?



n? + ? l ?0 0 8 ?+



nn 〇

?b



2?0 1 5 ^ ?(


?


? ? 、
? ? .

6)

不 相交 而
, ,



矛 盾 ?上 述 不等 式将





换成



也 成立

? ? .

因 此 M 为 有 限集 且




矣 M 矣 2? 0 1 5




?回 到式③ 利 用上 面 的 不 等式 估 计 K CJ ? ?


















任 取整 数



V > m ax


M ?与









? ? 〇 的 上下 界 有


下 面 证 明 这 样选 取 的
显然
1?







满 足 要求



?

JV

均 为 正整 数 且 前面证 明 了?
, .

? ? ?+













? ? )

矣 6 (2

015

?^


2?0 1 5

















? ? ?+

对任 意整 数 n 彡







有 如 下分 拆 ? ?






. .







n + 2 01 5

^ ^ 二丫 前面已 说明

、 … ,

J UM U C

?^ ① ?卜 ?夺 与 为 ?
+ ? 1 〇 〇8 +


? ? nnB






2 015





? ? -



?










+? 1? 〇 〇9







?











( ? ? K

2 01 5





? ? )



n ?+ 2? 0 1 5


的 两 个 不 相 交 的 子集 ?



?(

2 ? 0 1 5?



?



) ?(

6?









1?

00 7


? ? ,



Cn

为剩 余 部 分 则


对如 +



?1




?

? ? ?及

1? =


CJ ? = 2 ? 0 1 5 ?







?^ ? / ? L X ? ?



?

j? +?




^n+

?1 ?



+2



?^

11 1 111



2 ?0 1 5?

















? ? ?+

若 4 不 为 空集







定有


^ +2

(:





否?




nin r





不在 集 合
n +2



中 也不 在 集 合 M 中 ?




?


?ong
/i

AW ^ ? ? 2


?



s?












? ? -



矛盾 故


Cn



冬 ? ?②? ?
?

+ ?l ? 00 8 ? +








/i

+3







n + 2 015



) ? ? /



2 ?0 1 5





? ? )





这对

Cn

为空集 即


6 ? = 2 ?0 1 5





然 也成 立 ?








2 ? 0 1 5?





)? (

6?











1 ?0

07


? ? .

计算式 ①两边 的 所 有 元 素 之 和 用 集 合 的 所 有元 素 之 和 有 表示
, ,







X ) ? 结合 以 上 两个 不 等 式 得 ? ?




S?滅 ?


?S


?( 一









〇 〇7

? ? .

?







提供

? ? )


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