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排列与组合.版块七.排列组合问题的常用方法总结1.学生版


排列组合问题的常用方法总 结1

知识内容
1.基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理:做一件事,完成它有 n 类办法,在第一类办法中有 m 1 种不同的方法,在第 二类办法中有 m 2 种方法,……,在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法.那么完成这件事共有 N ? m 1 ? m 2 ? ? ? m n 种不同的方法.又称加法原理. ⑵乘法原

理 分步计数原理:做一件事,完成它需要分成 n 个子步骤,做第一个步骤有 m 1 种不同的方法, 做第二个步骤有 m 2 种不同方法,……,做第 n 个步骤有 m n 种不同的方法.那么完成这件事 共有 N ? m 1 ? m 2 ? ? ? m n 种不同的方法.又称乘法原理. ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类 计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事 才告完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理. 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、 组合问题的基本思想方法, 这两个原理十分重要必须认真学好, 并正确地灵活加以应用. 2. 排列与组合 ⑴排列: 一般地, n 个不同的元素中任取 m ( m ≤ n ) 个元素, 从 按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (其中被取的对象叫做元素) 排列数:从 n 个不同的元素中取出 m ( m ≤ n ) 个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的排列数,用符号 A m 表示. n 排列数公式: A m ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? m ? 1) , m , n ? N ? ,并且 m ≤ n . n 全排列:一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个全排列. n 的阶乘:正整数由 1 到 n 的连乘积,叫作 n 的阶乘,用 n ! 表示.规定: 0 ! ? 1 . ⑵组合:一般地,从 n 个不同元素中,任意取出 m 元素中任取 m 个元素的一个组合. 组合数:从 n 个不同元素中,任意取出 m
(m ≤ n)

个元素并成一组,叫做从 n 个

(m ≤ n)

个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个
n!

不同元素中,任意取出 m 个元素的组合数,用符号 C m 表示. n 组合数公式: C m n
? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? m ? 1) m! ? m !( n ? m ) !

, m , n ? N ? ,并且 m ≤ n .

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1

组合数的两个性质:性质 1: C m n

? Cn

n?m

;性质 2: C m? 1 n

? Cn ? Cn
m

m ?1

. (规定 C 0 n

?1)

⑶排列组合综合问题 解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是 分步,是排列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法: 1.特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置; 2.分类分步法:对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做 到分类明确,层次清楚,不重不漏. 3.排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法. 4.捆绑法:某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元 素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列. 5.插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空. 6.插板法: n 个相同元素,分成 m ( m ≤ n ) 组,每组至少一个的分组问题——把 n 个元 素排成一排,从 n ? 1 个空中选 m
? 1 个空,各插一个隔板,有 C n ? 1
m ?1



7.分组、分配法:分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别.一 般地平均分成 n 堆(组), 必须除以 n !,如果有 m 堆(组)元素个数相等,必须除以 m ! 8.错位法:编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里,每个盒子放一个 小球,要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当 n ? 2 ,3,4,5 时的错位数各为 1,2,9,44.关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算,可以用剔除法 转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题. 1.排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途 径: ①元素分析法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; ②位置分析法:以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置; ③间接法:先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组 合数. 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题; 再通过分析确定运用分类计 数原理还是分步计数原理;然后分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;最后列出式 子计算作答. 2.具体的解题策略有: ①对特殊元素进行优先安排; ②理解题意后进行合理和准确分类,分类后要验证是否不重不漏; ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排,以防出现重复; ④对于元素相邻的条件, 采取捆绑法; 对于元素间隔排列的问题, 采取插空法或隔板法; ⑤顺序固定的问题用除法处理;分几排的问题可以转化为直排问题处理; ⑥对于正面考虑太复杂的问题,可以考虑反面. ⑦对于一些排列数与组合数的问题,需要构造模型.

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2

典例分析
直接法 (优先考虑特殊元素特殊位置,特殊元素法,特殊位置法,直接分类讨论) 【例1】 从 5 名外语系大学生中选派 4 名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活 动,要求翻译有 2 人参加,交通和礼仪各有 1 人参加,则不同的选派方法共 有 .

【例2】 北京《财富》全球论坛期间,某高校有 1 4 名志愿者参加接待工作.若每天排早、 中、晚三班,每班 4 人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为
4 A. C 1 2 C 142 C 8 14 4 4 B. C 12 A 12 A 8 14

C.

C 14 C 12 C 8 A3
3

12

4

4

4 D. C 1 2 C 142 C 8 A 3 14 3

【例3】 在平面直角坐标系中,x 轴正半轴上有 5 个点,y 轴正半轴有 3 个点, x 轴上这 5 将 个点和 y 轴上这 3 个点连成 1 5 条线段,这 1 5 条线段在第一象限内的交点最多有 ( ) A. 30 个 B. 35 个 C. 20 个 D. 1 5 个

【例4】 一个口袋内有 4 个不同的红球, 6 个不同的白球, ⑴从中任取 4 个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种? ⑵若取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,从中任取 5 个球,使总分不少于 7 分 的取法有多少种?

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3

【例5】 一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球.

⑴从口袋内取出 3 个球,共有多少种取法? ⑵从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有多少种取法?

⑶从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法?

【例6】 有 1 2 名划船运动员,其中 3 人只会划左舷, 4 人只会划右舷,其余 5 人既会划左舷 也会划右舷.从这 1 2 名运动员中选出 6 人平均分在左、右舷划船参加比赛,有多 少种不同的选法?

【例7】 若 x ?

A

,则 ? A ,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M
x

1

1 1 ? {? 1 , , , , , , , 的 0 1 2 3 4} 3 2

所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为( A. 1 5 B. 1 6 C. 2
8

) D. 2 5

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4

【例8】 从 6 名女生,4 名男生中, 按性别采用分层抽样的方法抽取 5 名学生组成课外小组, 则不同的抽取方法种数为______. A. C 3 6
? C4
2 2 B. C 6

? C4
3

C. C 150

D. A 3 6

?A4

2

【例9】 某城市街道呈棋盘形,南北向大街 3 条,东西向大街 4 条,一人欲从西南角走到东 北角,路程最短的走法有多少种.

【例10】 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 1 1 级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级, 若规定从二楼到三楼用 7 步走完,则上楼梯的方法有______种.

【例11】 亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有 5 名队员,按事先排好的顺序参加擂台赛,双方先 由 1 号队员比赛,负者淘汰,胜者再与负方 2 号队员比赛,直到一方全被淘汰为止, 另一方获胜,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程有多少种?

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5

【例12】 设含有 1 0 个元素的集合的全部子集数为 S , 其中由 3 个元素组成的子集数为 T , 则
T S

的值为(
20 128

) B.
15 128

A.

C.

16 128

D.

21 128

【例13】 设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿 x 轴跳动,每次向正方向或负方向跳动一 个单位,经过 5 次跳动质点落在点 (1 ,0 ) (允许重复过此点)处,则质点不同的运 动方法种数为 .

【例14】 从 1 0 名男同学, 6 名女同学中选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男同 学又有女同学的不同选法共有________种(用数字作答)

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6

【例15】 在 ? A O B 的边 O A 上有 A1 ,A2 ,A3 ,A4 四点, O B 边上有 B1 ,B 2 ,B 3 ,B 4 ,B 5 共 9 个
1 点,连结线段 Ai B j (1 ≤ i ≤ 4 , ≤ j ≤ 5) ,如果其中两条线段不相交,则称之为一

对“和睦线” ,和睦线的对数共有: ) ( A. 60 B. 80 C. 120 D. 160

【例16】 从 7 名男生 5 名女生中,选出 5 人,分别求符合下列条件的选法种数有多少种? ⑴ A 、 B 必须当选; ⑵ A 、 B 都不当选; ⑶ A 、 B 不全当选; ⑷ 至少有 2 名女生当选; ⑸ 选出 5 名同学,让他们分别担任体育委员、文娱委员等 5 种不同工作,但体育 委员由男生担任,文娱委员由女生担任.

【例17】 甲组有 5 名男同学, 3 名女同学;乙组有 6 名男同学、 2 名女同学.若从甲、乙两 组中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( ) A. 150 种 B. 180 种 C. 3 0 0 种 D. 3 4 5 种

【例18】 从 1 0 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有入 选的不同选法的种数为( )
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A. 85

B. 56

C. 49

D. 28

【例19】 某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生,那么不同的选派方案种数为( ) A. 1 4 B. 24 C. 28 D. 48

【例20】 要从 1 0 个人中选出 4 个人去参加某项活动,其中甲乙必须同时参加或者同时不参 加,问共有多少种不同的选法?

【例21】 有四个停车位, 停放四辆不同的车, 有几种不同的停法?若其中的一辆车必须停放 在两边的停车位上,共有多少种不同的停法?

【例22】 某班 5 位同学参加周一到周五的值日,每天安排一名学生,其中学生甲只能安排 到周一或周二,学生乙不能安排在周五,则他们不同的值日安排有( ) A.288 种 B.72 种 C.42 种 D.36 种

【例23】 某班有 30 名男生, 30 名女生,现要从中选出 5 人组成一个宣传小组,其中男、女 学生均不少于 2 人的选法为( )
2 2 A. C 3 0 C 2 0 C 14 6 4 4 C. C 5 0 ? C 13 0 C 2 0 ? C 3 0 C 12 0 5 5 B. C 5 0 ? C 3 0 ? C 5 0 5 2 2 2 D. C 3 0 C 2 0 ? C 3 0 C 3 0 3 2

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8

【例24】 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的

四位数各有多少个 ⑴数字 1 不排在个位和千位 ⑵数字 1 不在个位,数字 6 不在千位.

【例25】 甲、乙、丙、丁、戊 5 名学生进行讲笑话比赛,决出了第一到第五的名次,甲、乙 两名参赛者去询问成绩, 回答者对甲说: “很遗憾, 你和乙都未拿到冠军” 对乙说: , “你当然不会是最差的” .从这个回答分析,5 人的名次排列共有_______(用数字 作答)种不同情况.

【例26】 某高校外语系有 8 名奥运会志愿者,其中有 5 名男生, 3 名女生,现从中选 3 人参 加某项“好运北京”测试赛的翻译工作,若要求这 3 人中既有男生,又有女生,则不 同的选法共有( ) A. 45 种 B. 56 种 C. 90 种 D. 120 种

【例27】 用 5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位数,其中恰好有一个奇数夹在两个偶 数之间的五位数的个数为( ) A. 120 B. 72 C. 48 D. 36

【例28】 某电视台连续播放 5 个不同的广告, 其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥

运宣传广告,要求最后播放的必须是奥运宣传广告,且两个奥运宣传广告不能 连续播放,则不同的播放方式有( ) A. 120 种 B. 48 种 C. 36 种 D. 1 8 种

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9

【例29】 从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,

要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这 6 人中,甲、乙两人不 去巴黎游览,则不同的选择方案共有_____种(用数字作答) .

【例30】 从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少

有 1 名女生,则选派方案共有( A. 108 种 B. 186 种

) C. 2 1 6 种

D. 2 7 0 种

【例31】 甲组有 5 名男同学, 3 名女同学;乙组有 6 名男同学、 2 名女同学.若从甲、乙两 组中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( ) A. 150 种 B. 180 种 C. 3 0 0 种 D. 3 4 5 种

【例32】 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分

配方案有_______种(用数字作答) .

【例33】 用数字 1, 2, 3, 4, 5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位偶数共有( A. 48 个 B. 36 个 C. 24 个 D. 1 8 个



【例34】 一生产过程有 4 道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等 6 名工人 中安排 4 人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人,第四
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道工序只能从甲、丙两工人中安排 1 人,则不同的安排方案共有( A. 24 种 B. 36 种 C. 48 种 D. 72 种



【例35】 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排.若男生甲不站两端,3 位女生中有且只 有两位女生相邻,则不同排法的种数为 ( ) A.36 B.42 C. 48 D.60

【例36】 从 6 名女生,4 名男生中, 按性别采用分层抽样的方法抽取 5 名学生组成课外小组, 则不同的抽取方法种数为______. A. C 3 ? C 2 6 4
2 B. C 6 ? C 3 4

C. C 150

2 D. A 3 ? A 4 6

【例37】 7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排 3 人,则 不同的安排方案共有 种(用数字作答) .

【例38】 给定集合 An ①当 i , ②任取 m ?

? {1 , 2 , 3 , ? , n } ,映射 f : An ? An

满足:

j ? An , i ? j

时, f ( i ) ? f ( j ) ; ,则有 m ? { f (1) , f (2) , ? , f ( m )} .
? A3 是

A n ,若 m ≥ 2

则称映射 f : An 一个“优映射”.

? An

是一个“优映射”.例如:用表 1 表示的映射 f : A3 表1

表2
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i
f (i )

1 2

2 3

3 1


i
f (i )

1

2 3

3

4

已知表 2 表示的映射 f : A4 个满足条件的映射) ; ⑵若映射 f : A1 0
? A1 0

? A4

是一个优映射,请把表 2 补充完整(只需填出一

是“优映射”,且方程 f ( i ) ? i 的解恰有 6 个,则这样的“优映

射”的个数是_____.
i
f (i )

1 2

2
3

3

4 4

1

【例39】 将 7 个不同的小球全部放入编号为 2 和 3 的两个小盒子里,使得每个盒子里的球的 个数不小于盒子的编号,则不同的放球方法共有__________种.

【例40】 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒 子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( ) A.10 种 B.20 种 C.36 种 D.52 种

【例41】 一个口袋内有 4 个不同的红球, 6 个不同的白球, ⑴从中任取 4 个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种? ⑵若取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,从中任取 5 个球,使总分不少于 7 分 的取法有多少种?

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【例42】 正 整 数
a2n? 1 ? a

a1 a 2? a ? a2n? n
2? n 2

2

a? ( 1 ? N , ?n 1 ) 称 为 凹 数 , 如 果 a1 ? a 2 ? ? ? a n n n 2

,且

? ? ? a n , 其 中 a i ? {0 , , , , i ? 1 , , ) 1 2 ? 9}( 2 ?

,请回答三位凹数

a1 a 2 a 3 ( a1 ? a 3 ) 共有

个(用数字作答) .

【例43】 2 0 1 0 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选

派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只 能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 ( ) A. 36 种 B. 1 2 种 C. 1 8 种 D. 48 种

【例44】 某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成.如果

第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两 人中产生,则不同的传递方案共有_______种. (用数字作答)

【例45】 某人手中有 5 张扑克牌,其中 2 张为不同花色的 2,3 张为不同花色的 A,有 5 次 出牌机会, 每次只能出一种点数的牌但张数不限, 此人有多少种不同的出牌方法?

【例46】 从 7 人中选派 5 人到 10 个不同交通岗的 5 个中参加交通协管工作,则不同的

选派方法有(
A. C 7 A1 0 A5 种
5 5 5


B. A75 C 150 P55 种 C. C 150 C 75 种 D. C 75 A150

【例47】 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口 4 人,则不同

的分配方案共有(
4 4 A. C 142 C 8 C 4 种


4 4 C. C 12 C 8 A 3 种 D. 3

4 4 B.3 C 142 C 8 C 4 种

C 12 C 8 C 4 A3
3

4

4

4



【例48】 袋中装有分别编号为 1, 2, 3, 4 的 4 个白球和 4 个黑球, 从中取出 3 个球, 则取出球

的编号互不相同的取法有(


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A. 24 种

B. 28 种

C. 32 种

D. 36 种.

【例49】 现有男、 女学生共 8 人,从男生中选 2 人,从女生中选 1 人分别参加数学、物理、

化学三科竞赛,共有 90 种不同方案,那么男、女生人数分别是( A.男生 2 人,女生 6 人 B.男生 3 人,女生 5 人 C.男生 5 人,女生 3 人 D.男生 6 人,女生 2 人.



【例50】 将 4 个小球任意放入 3 个不同的盒子中,

⑴若 4 个小球各不相同,共有多少种放法? ⑵若要求每个盒子都不空,且 4 个小球完全相同,共有多少种不同的放法? ⑶若要求每个盒子都不空,且 4 个小球互不相同,共有多少种不同的放法?

【例51】 将 7 个小球任意放入 4 个不同的盒子中,每个盒子都不空,

⑴若 7 个小球完全相同,共有多少种不同的放法? ⑵若 7 个小球互不相同,共有多少种不同的放法?

【例52】 四个不同的小球,每球放入编号为 1 、 2 、 3 、 4 的四个盒子中.

⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸

随便放(可以有空盒,但球必须都放入盒中)有多少种放法? 四个盒都不空的放法有多少种? 恰有一个空盒的放法有多少种? 恰有两个空盒的放法有多少种? 甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种?

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【例53】 设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿 x 轴跳动,每次向正方向或负方向跳 1 个 单位,若经过 5 次跳动质点落在点 ? 3 ,0 ? 处(允许重复过此点) ,则质点不同的运 动方法共___________种;若经过 m 次跳动质点落在点 ? n ,0 ? 处(允许重复过此 点) ,其中 m ≥ n ,且 m ? n 为偶数,则质点不同的运动方法共有_______种.

3 5} 【例54】 设集合 I ? {1 ,2 , ,4 , ,选择 I 的两个非空子集 A 和 B ,要使 B 中最小的数大于

中最大的数,则不同的选择方法共有( A.50 种 B.49 种 C.48 种
A

) D.47 种

2 3 4} 3} 【例55】 f 是集合 M ? {1 , , , 到集合 N ? {1 ,2 , 的映射, g 是集合 N 到集合 M 的映

射,则不同的映射 f 的个数是多少? g 有多少?满足 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) ? f ( d ) ? 8 的映射 f 有多少?满足 f [ g ( x )] ? x 的映射对 ( f ,g ) 有多少?

【例56】 排球单循坏赛,胜者得 1 分,负者 0 分,南方球队比北方球队多 9 支,南方球队

总得分是北方球队的 9 倍, 设北方的球队数为 x . ⑴试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分; ⑵证明: x ? 6 或 x ? 8 ; ⑶证明:冠军是一支南方球队.

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【例57】 已 知 集 合

A ? ?1 , 2 , 3 ? 4 函 数 f ( x ) , ,

的定义域、值域都是 A ,且对于任意 的任意的一个排列,定义数表

i ? A , f (i ) ? i

.设

a1 , a 2 , a 3 , a是 1 , 2 , 3 , 4 4

a2 a3 a4 ? ? a1 ? ? ? f ( a1 ) f ( a 2 ) f ( a 3 ) f ( a 4 ) ?

,若两个数表的对应位置上至少有一个数不同,就说这 ) D. 24

是两张不同的数表,那么满足条件的不同的数表的张数为( A. 2 1 6 B. 108 C. 48

间接法(直接求解类别比较大时) 【例58】 有五张卡片,它的正反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将它 们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?

【例59】 从 0 , 2 , 4 中取一个数字,从 1 , 3 , 5 中取两个数字,组成无重复数字的三位数,

则所有不同的三位数的个数是( A. 36 B. 48 C. 52

) D. 54

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【例60】 以三棱柱的顶点为顶点共可组成

个不同的三棱锥.

【例61】 设集合 S

? ?1 , 2 , 3 , ? , 9 ?

,集合 A ? ? a1 D. 8 3

, a 2 , a3 ?

是 S 的子集,且 a1 )

, a2 , a3

满足

a1 ? a 2 ? a 3

, a3

? a2 ≤ 6

,那么满足条件的子集 A 的个数为(

A. 78

B. 76

C. 84

【例62】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且

甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为( A. 1 8 B. 24 C. 30 D. 36



【例63】 某高校外语系有 8 名奥运会志愿者, 其中有 5 名男生,3 名女生, 现从中选 3 人

参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作,若要求这 3 人中既有男生,又有女生, 则不同的选法共有( ) A. 45 种 B. 56 种 C. 90 种 D. 120 种

【例64】 对于各数互不相等的正数数组 ? i1 , i2 , ? ? ? , in ? ( n 是不小于 2 的正整数) ,如果在
p ? q

时有 i p ? i q ,则称“ i p 与 iq ”是该数组的一个“顺序” ,一个数组中所有“顺

序”的个数称为此数组的“顺序数” .例如,数组 ? 2 , 4 , 3 , 1 ? 中有顺序“ 2 , 4 ” , “2 , 3 ” 其 , “顺序数” 等于 2 . 若各数互不相等的正数数组 ? a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ? 的 “顺序数”是 4 ,则 ? a 5
, a 4 , a 3 , a 2 , a1 ?

的“顺序数”是_________.

智康高中数学.板块七.排列组合问题的常用方法总结 1.题库

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3 【例65】 已知集合 A ? {5} , B ? {1 ,2} , C ? {1 , ,4} ,从这三个集合中各取一个元素构

成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( ) A. 33 B. 34 C. 35 D. 36

【例66】 甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上

的人不区分站的位置,则不同的站法种数是

(用数字作答) .

【例67】 设有编号为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 的五个球和编号为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 的五个盒子,

现将这五个球放入 5 个盒子内, ⑴只有一个盒子空着,共有多少种投放方法? ⑵没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法? ⑶每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多 少种投放方法?

【例68】 在排成 4 ? 4 的方阵的 1 6 个点中, 中心 4 个点在某一个圆内, 其余 1 2 个点在圆外,

在 1 6 个点中任选 3 个点构成三角形,其中至少有一顶点在圆内的三角形共有 ( ) A. 3 1 2 个 B. 3 2 8 个 C. 3 4 0 个 D. 2 6 4 个

【例69】 从甲、 乙等 1 0 名同学中挑选 4 名参加某项公益活动, 要求甲、 乙中至少有 1 人参加,
智康高中数学.板块七.排列组合问题的常用方法总结 1.题库 18

则不同的挑选方法共有( A. 70 种 B. 112 种

) C. 140 种 D. 168 种

【例70】 若关于 x ,y 的方程组 ? 数目为( A. 36 ) B. 1 6

?ax ? by ? 1 ? x ? y ? 17
2 2

有解,且所有解都是整数,则有序数对 ( a , ) 的 b

C. 24

D. 32

【例71】 从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医 生都有,则不同的组队方案共有( ) A. 70 种 B. 80 种 C. 100 种 D. 140 种

【例72】 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的 选法共有( ) A. 6 种 B. 1 2 种 C. 30 种 D. 36 种

? 9 【例73】 A ? ?1 ,2 , , ? ,则含有五个元素,且其中至少有两个偶数的 A 的子集个数为

_____.

【例74】 在由数字 0,1,2,3,4 所组成的没有重复数字的四位数中,不能被 5 整除的

数共有_______个.

【例75】 在 ? A O B 的 O A 边上取 4 个点,在 O B 边上取 5 个点(均除 O 点外) ,连同 O 点共 1 0 个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,可作出三角形的个数为多少?
智康高中数学.板块七.排列组合问题的常用方法总结 1.题库 19

【例76】 a , , ,d , 共 5 个人,从中选 1 名组长 1 名副组长,但 a 不能当副组长,不同的选 b c e 法总数是( ) A. 20 B. 1 6 C. 1 0 D. 6

【例77】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且

甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为( A. 1 8 B. 24 C. 30 D. 36



【例78】 三行三列共九个点,以这些点为顶点可组成___

_个三角形.

【例79】 从 5 名奥运志愿者中选出 3 名,分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作,

每人承担一项,其中甲不能从事翻译工作,则不同的选派方案共有( A. 24 种 B. 36 种 C. 48 种 D. 60 种



【例80】 某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人) ,其中甲

和乙不同去,则不同的选派方案共有种( A. 1 3 2 0 B. 2 8 8 C. 1 5 3 0

) D. 6 7 0

【例81】 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少要甲型与乙型电视机各 一台,则不同的选法有_____种(用数字作答)

智康高中数学.板块七.排列组合问题的常用方法总结 1.题库

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