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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5综合检测


综合检测
一、选择题 1.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2+1,则 a9+a10+a11 的值为 A.39 B.40 C.57 D.58 ( ) ( )

2.在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=4∶3∶2,则 cos A 的值是 1 A.- 4 1 B. 4 2 C.- 3 2 D. 3

3.公比为

2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 a5 等于 A.1 B.2 C.4 D.8

(

)

4.若 a>b,则下列不等式正确的是 1 1 A. > a b C.a2>b2 B.a3>b3 D.a>|b|

(

)

1 1 5. 已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是{x|- <x<- }, 则不等式 x2-bx-a<0 的解集是( 2 3 A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞) 1 1 C.?3,2? ? ? 1 1 D.?-∞,3?∪?2,+∞? ? ? ? ? π 6.在△ABC 中,若 a=2,b= 2,A= ,则 B 等于 4 π A. 12 π 5 C. 或 π 6 6 π B. 6 π 11 D. 或 π 12 12 ( ) ( )

)

7.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a2+a10=4,则 S11 的值为 A.12 B.18 C.22 D.44

8.已知各项都为正数的等比数列{an}的公比不为 1,则 an+an+3 与 an+1+an+2 的大小关系是 ( A.an+an+3<an+1+an+2 B.an+an+3=an+1+an+2 C.an+an+3>an+1+an+2 D.不确定的,与公比有关 )

9.已知公差不为 0 的等差数列的第 4,7,16 项恰好分别是某等比数列的第 4,6,8 项,则该等比 数列的公比是 A. 3 B. 2 C.± 3 D.± 2 ) ( )

2 1 10.已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( x y A.m≤-2 或 m≥4 C.-2<m<4 二、填空题 B.m≤-4 或 m≥2 D.-4<m<2

11. 正项等比数列{an}满足 a2a4=1, 3=13, n=log3an, S b 则数列{bn}的前 10 项和是________. 12.已知 f(x)=32x-k·x+2,当 x∈R 时,f(x)恒为正值,则 k 的取值范围为________. 3 a+b+c 13.在△ABC 中,A=60° ,b=1,其面积为 3,则 =________. sin A+sin B+sin C 14.已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内 部,则 z=-x+y 的取值范围是________. 三、解答题 15.若不等式(1-a)x2-4x+6>0 的解集是{x|-3<x<1}. (1)解不等式 2x2+(2-a)x-a>0; (2)b 为何值时,ax2+bx+3≥0 的解集为 R. 16.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,asin A+csin C- 2asin C=bsin B. (1)求 B;(2)若 A=75° ,b=2,求 a,c. 17.已知{an}是首项为 19,公差为-2 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和. (1)求通项 an 及 Sn; (2)设{bn-an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Tn. 18. 一艘客轮在航海中遇险, 发出求救信号. 在遇险地点 A 南偏西 45° 方向 10 海里的 B 处有一艘海难搜救艇收到求救信号后立即侦察, 发现遇险客轮的航行方向为南偏东 75° ,正以每小时 9 海里的速度 向一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时 21 海里. (1)为了在最短的时间内追上客轮,求海难搜救艇追上客轮所需的时间; (2)若最短时间内两船在 C 处相遇,如图,在△ABC 中,求角 B 的正弦值. 1 19.在数列{an}中,a1=1,2an+1=?1+n?2·n (n∈N*). ? ? a
?an? (1)证明数列?n2?是等比数列,并求数列{an}的通项公式; ? ?

1 (2)令 bn=an+1- an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 2 20. 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐, 已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物,

6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养至少含 64 个单 位的碳水化合物, 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、 42 晚餐 的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童 分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

答案
1.C 2.A 3.A 4.B 5.A 6.B 7.C 8.C 9.C 10.D 11.-25

2 39 12.(-∞,2 2) 13. 3 14.(1- 3,2) 15.解 (1)由题意知 1-a<0 且-3 和 1 是方程(1-a)x2-4x+6=0 的两根,

? 4 =-2 ∴?1-a 6 ?1-a=-3
1-a<0 3 解得 x<-1 或 x> . 2

,解得 a=3.

∴不等式 2x2+(2-a)x-a>0,即为 2x2-x-3>0,

3? ? ∴所求不等式的解集为?x|x<-1或x>2?.
? ?

(2)ax2+bx+3≥0,即为 3x2+bx+3≥0, 若此不等式解集为 R,则 b2-4×3×3≤0,∴-6≤b≤6. 16.解 (1)由正弦定理得 a2+c2- 2ac=b2, 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 故 cos B= 2 . 2

又 B 为三角形的内角,因此 B=45° . (2)sin A=sin(30° +45° ) =sin 30° 45° cos +cos 30° 45° sin = 2+ 6 . 4

2+ 6 bsin A 故 a= = =1+ 3, sin B 2 bsin C sin 60° c= =2× = 6. sin B sin 45° 17.解 (1)∵{an}是首项为 a1=19, 公差为 d=-2 的等差数列, ∴an=19-2(n-1)=21-2n,

1 Sn=19n+ n(n-1)×(-2) 2 =20n-n2. (2)由题意得 bn-an=3n 1, 即 bn=an+3n 1, ∴bn=3n 1-2n+21, ∴Tn=Sn+(1+3+…+3n 1) 3n-1 =-n2+20n+ . 2 18.解 (1)设搜救艇追上客轮所需时间为 t 小时,两船在 C 处相遇. 在△ABC 中,∠BAC=45° +75° =120° ,AB=10,AC=9t,BC=21t. 由余弦定理得:BC2=AB2+AC2-2AB· cos∠BAC, AC· 1 所以(21t)2=102+(9t)2-2×10×9t×?-2?, ? ? 化简得 36t2-9t-10=0, 2 5 解得 t= 或 t=- (舍去). 3 12 2 所以,海难搜救艇追上客轮所需时间为 小时. 3 2 (2)由 AC=9× =6, 3 2 BC=21× =14. 3 3 6× 2 3 3 AC· sin∠BAC 6· 120° sin 在△ABC 中,由正弦定理得 sin B= = = = . BC 14 14 14 3 3 所以角 B 的正弦值为 . 14 19.(1)证明 由条件得 an+1 1 an an = ·2,又 n=1 时, 2=1, n ?n+1?2 2 n
- - - -

?an? 1 故数列?n2?构成首项为 1,公比为 的等比数列. 2 ? ?

an 1 n2 从而 2= n-1,即 an= n-1. n 2 2 ?n+1?2 n2 2n+1 (2)解 由 bn= - n= n , 2n 2 2 2n+1 3 5 得 Sn= + 2+…+ n , 2 2 2 2n-1 2n+1 1 3 5 S = + +…+ n + n+1 , 2 n 22 23 2 2

两式相减得 1 1 1 2n+1 2n+5 1 3 Sn= +2?22+23+…+2n?- n+1 ,所以 Sn=5- n . ? ? 2 2 2 2 20.解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元, 则依题意, 得 z=2.5x+4y,且 x,y 满足

?x≥0,y≥0, ?12x+8y≥64, ?6x+6y≥42, ?6x+10y≥54, ?

?x≥0,y≥0, ?3x+2y≥16, 即? x+y≥7, ?3x+5y≥27. ?

作出可行域如图, 让目标函数表示的直线 2.5x+4y=z 在可行域上平移, 由此可知 z=2.5x +4y 在 B(4,3)处取得最小值. 因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足要求.


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