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专题七 组合杂题与概率统计讲义


专题七

组合杂题与概率统计讲义

板块一:计数原理与涂色问题
加法原理 (分类计数原理) :完成一件事, 如果有 n 类办法, 1 类办法中有 a1 种不同方法, 第 第 2 类办法中有 a2 种不同方法·第 n 类办法中有 an 种不同的方法, · · 那么完成这件事有 N= a1+ a2+ a1+·+an 种不同方法. ·

· 加法原理要求每一种方法都可以独立完成任务,关键是分类要不重不漏!

乘法原理(分步计数原理) :完成一件事需要 n 个步骤,完成第一个步骤有 a1 种方法,完成 第二个步骤有 a2 种方法·完成第 n 个步骤有 an 种方法, · · 那么,完成这件工作共有 N= a1× 2× a a1× · an 种方法. ·× · 乘法原理关键在于合理分步,缺少任何一步都无法完成任务!

【2010】从 3 中不同颜色的花卉中选种到如图的三块区域内,同一区域种同一颜色,则相邻 区域种不同颜色的概率是( A. )

2 9

B.

4 9

C.

1 3

D.

1 6

【2008】如图,一个田字形的区域 A、B、C、D 栽种观赏植物,要求同一个区域中种同一 种植物,相邻两块(有公共边的两块)种不同的植物,现有 4 种不同的植物可供选择, 那么有 种栽种方案.

A C

B D

【2009】在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如右图) ,要求同一场地中种同一种植
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物,相邻的两块种不同的植物。现有 4 种不同的植物可供选择,则有

种栽种方案。

A F E D B C

【拓展】在正五边形的五个区域栽种观赏植物(如图),要求同一场地种同一种植物,相邻两 块种不同植物.现有 4 种不同植物可供选择,则有_____种栽种方案.

E D C

A B

板块二:分类枚举与排列组合
【2009】将 1,2,3,4,5 这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续 三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( ) A.2 种 B.3 种 C.4 种 D.5 种

【2009】把一枚六个面编号分别是 1,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷了 2 次,若两个正面朝上的编号分别为 m,n,则二次函数 y = x + mx + n 的图像与 x 轴有 两个不同交点的概率是( )
2

A.

5 12

B.

11 18

C.

17 36

D.

13 36

【2008】从长度分别为 1,2,3,4,5 的五条线段中,任取三条的不同取法共有 n 种,在这
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些取法中,以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为 m,则 A. 1 10 B. 1
5

m 等于( n



C.

3 10

D.

2 5

【2010】把 9 名志愿者的名额分派到三个部门工作,若每个部门至少 1 人,且人数不同,则 有_____种不同的分派方法.

板块三:抽屉原理巧解题

抽屉原理 1: n+1 个苹果放到 n 个抽屉中, 把 那么必有一个抽屉里有 2 个或 2 个以上的苹果; 抽屉原理 2:把 mn+k(0<k<n)个苹果放到 n 个抽屉中,那么必有一个抽屉含有 m+1 或 m+1 个以上的苹果;

【热身】某校初中三年级共有 210 名学生,则至少有多少名同学出生的月份是相同的?

【2008】将平面上每点都染上红蓝两色之一,求证:其上存在两个相似三角形,相似比为 2008 且每个三角形的三个顶点都同色.

板块四:综合应用
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【2010】10. 将 1,2,·,20 这 20 个数分为 A、B 两组,使得 A 组各数的平均数比 B 组各数 ·· 的平均数大 1,则 A 组有( A. 9 B. 10 )个数. C. 11 D. 12

【2008】一只小船从甲港到乙港逆流航行需 2 小时,水流速度增加一倍后,再从甲港到乙港 需 3 小时,问水流速度增加后,从乙港返回甲港需航行( A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.2 小时 )

D.1.5 小时

【2011】利用面积可以解释代数恒等式的正确性,也可以解释不等式的正确性. (1)根据右侧所示的图形写出一个代数恒等式; (2)已知正数 a、b、c 和 m、n、l,满足 a+m=b+n=c+l=k.试构造边长为 k 的正方形,利用 图形面积来说明 al+bm+cn< k .
2

a b a

b a

b b a

【西交大少年班 2008 年——2011 年数学考试中涉及组合杂题与概率统计的所有题目】
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【2008】3. 从长度分别为 1,2,3,4,5 的五条线段中,任取三条的不同取法共有 n 种, 在这些取法中,以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为 m,则 A. 1 10 B. 1
5

m 等于( n



C.

3 10

D.

2 5

【2008】4.一只小船从甲港到乙港逆流航行需 2 小时,水流速度增加一倍后,再从甲港到 乙港需 3 小时,问水流速度增加后,从乙港返回甲港需航行( A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.2 小时 )

D.1.5 小时

【2008】17. 如图,一个田字形的区域 A、B、C、D 栽种观赏植物,要求同一个区域中种同 一种植物,相邻两块(有公共边的两块)种不同的植物,现有 4 种不同的植物可供选择, 那么有 种栽种方案。

A C

B D

【2008】23. (本题满分 7 分)将平面上每点都染上红蓝两色之一,求证:其上存在两个相 似三角形,相似比为 2008 且每个三角形的三个顶点都同色。

【2009】8. 把一枚六个面编号分别是 1,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷 了 2 次,若两个正面朝上的编号分别为 m,n,则二次函数 y = x + mx + n 的图像与 x 轴 有两个不同交点的概率是( )
2

A.

5 12

B.

11 18

C.

17 36

D.

13 36

【2009】11. 将 1,2,3,4,5 这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意 连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( A.2 种 B.3 种 C.4 种 D.5 种 )

【2009】17. 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如右图) ,要求同一场地中种同一
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种植物,相邻的两块种不同的植物。现有 4 种不同的植物可供选择,则有 案。

种栽种方

A F E D
【2010】1. 气球 A 离树上的喜鹊 3 米,气球 B 离该喜鹊 5 米,则气球 AB 相距( A. 2 米 B. 8 米 C. 6 米 D. 以上均有可能 )

B C

【2010】3.中央电视台举行青年舞蹈大奖赛,9 个评委给某选手的打分是 84,93,96,84, 91, 87,79, 84,86.按规则去掉一个最高分和一个最低分,则剩下的分数的标准差是 ( )

A. 80

B.

2 30 3

C.

80 7

D.

4 35 7

【2010】8.从 3 种不同颜色的花卉中选种到如图的三块区域内,同一区域种同一颜色,则相 邻区域种不同颜色的概率是( A. ) C.

2 9

B.

4 9

1 3

D.

1 6

【2010】10. 将 1,2,·,20 这 20 个数分为 A、B 两组,使得 A 组各数的平均数比 B 组各数 ·· 的平均数大 1,则 A 组有( A. 9 B. 10 )个数. C. 11 D. 12

【2010】 17. 把 9 名志愿者的名额分派到三个部门工作, 若每个部门至少 1 人, 且人数不同, 则有_____种不同的分派方法. 【2011】9.某民办初中在校学生逐年递增,2009 年、2010 年、2011 年依次为 a 人, (a+b) 人, (a+2b) (a, 为正整数) 该民办小学在校初中人数在这两年里平均年增长率为_____. 人 b , 【2011】16.利用面积可以解释代数恒等式的正确性,也可以解释不等式的正确性.(6 分) (1)根据右侧所示的图形写出一个代数恒等式; 分) (3 (2)已知正数 a、b、c 和 m、n、l,满足 a+m=b+n=c+l=k.试构造边长为 k 的正方形,利用
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图形面积来说明 al+bm+cn< k .(3 分)

2

a b a

b a

b b a
【2011】17.初三(1)班周末组织登笔架山活动,考虑到男女体能的差异,分男、女两队。 两队同时从山脚出发,沿同一条道路上、下山。已知男、女两队所用的时间比为 2:3.(12 分) (1)直接写出男、女两队行进的速度之比; 分) (2 (2)当男队到达山顶时,女队处于山腰 A 处,且 A 处离山顶尚有 600 米,求山脚距山顶的 路程; 分) (5 (3)在第(2)问所述内容(除最后的问句处)的基础上,设女队从 A 处继续登山,男队 到达山顶后休息片刻,从原路下山,并且在山腰 B 处与女队相遇,请你先根据以上情景, 提出一个相应的问题,再给予解答(要求:①问题的提出不能再增加其他条件;②问题的解 决必须利用上述情景提供的所有已知条件)(5 分) 。

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