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2011年金台区高二年级数学学科《必修5》第三章质量检测试题


2011 年金台区高二年级数学学科《必修 5》 第三章质量检测试题 学校:西关中学 命题人:牛占林 张东月

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、若 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是 A. a ? c ? b ? c B. ac ? bc (



C.

c2 ?0 a ?b

D. (a ? b)c ? 0
2

ax ? 1 的解集为 {x | x ? 1或x ? 2} ,则 a 值( ) x ?1 1 1 1 A. a ? B. a ? C. a ? D. 以上答案均不正确 2 2 2 1 1 3.不等式 ? 的解集是( ) x 2 A. (??, 2) B. (2, ??) C. (0, 2) D. ?? ?,0? ? (2, ??)
2. 不等式 4.原点和点(1,1)在直线 x ? y ? a 两侧,则 a 的取值范围是( A. a ? 0 或 a ? 2 5、已知正数 x、y 满足 B. 0 ? a ? 2 C. a ? 0 或 a ? 2 ) D. 0 ? a ? 2 ( )

8 1 ? ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值是 x y

A.18 B.16 C.8 D.10 2 6:对任意 a∈[-1,1],函数 f(x)=x +(a-4)x+4-2a 的值恒大于零,则 x 的取值范围是( A 1<x<3 B x<1 或 x>3 C 1<x<2 D a<1 或 x>2 2 2 7.已知集合 M={x|x <4 } ,N={x|x -2x-3<0 } ,则集合 M∩N=( ) (A){x|x<-2 } (B){x|x>3} (C){x|-1<x<2 } (D){x|2<x<3 }



8.某高速公路对行驶的各种车辆最大限速为 120 km / h ,行驶过程中,同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m ,用不等式表示为( ) A. v ? 120km / h 或 d ? 10m C. v ? 120km / h 或 d ? 10m (B) a ≤1

?v ? 120km / h B. ? ?d ? 10m
D. v ? 120km / h 或 d ? 10m ) (C) a <1 (D)a≥1 )

9 若对任意 x ?R,不等式 x ≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是( (A)a<-1

10 .已知函数 f ?x ? ? ? (A) (C)

?x | ?1 ? x ? 2 ?1? ?x | x ? 2 ?1?

?? x ? 1 ? x ?1

x?0 ,则不等式 x ? ?x ? 1? f ?x ? 1? ? 1的解集是( x?0
(B) (D)

?x | x ? 1?

?x | ?

2 ?1 ? x ? 2 ?1

?
4 4 4 4

11、设直角三角形两直角边的长分别为 a 和 b,斜边长为 c,斜边上的高为 h,则 a ? b 和 c ? h 的大小

关系是 A. a ? b ? c ? h
4 4 4 4 4 4 4

( B. a ? b ? c ? h D.不能确定
4

)

C. a ? b ? c ? h
4 4 4

4

12、已知等比数列 {an } 的各项均为正数,公比 q ? 1 ,设 P ? 系是 A.P > Q

B.P < Q

a3 ? a9 , Q ? a5 ? a7 ,则 P 与 Q 的大小关 2 ( ) C.P = Q D.无法确定

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、 填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把最佳的答案填在该题的横线上) 13.不等式 2
x2 ? 2 x ? 4

?

1 的解集为 2

_________



1 1? ? 14.若不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 解集为 ? x | ? ? x ? ? ,则 a ? b 的值为 2 3? ?
? 15、设 x, y 满足 x ? 4 y ? 40, 且 x, y ? R , 则 lg x ? lg y 的最大值是





16、设 a>0,且 a ? 1,函数 f(x)=alg(x2 -2a+1)有最小值,则不等式 loga(x2-5x+7) >0 的解集为____ _______. 17、某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万元, 要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x ? ____ 18. 1 ? (3 ? 2 x) ? 25的解集是
2



三、解答题: (本大题共 5 小题,共 60 分。写出详细的解答或证明过程) 19.(14 分)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为 x 、 y (单位:m)的矩形上部是等 腰直角三角形 要求框架围成的总面积 8cm2 问 x 、 y 分别为多少(保留根号) 时用料最省?

y

x

20.(14 分)当 a ? 0 时,解关于 x 的不等式 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 。

21.(16 分)制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测,甲、乙 项目可能的最大盈利率分别为 100﹪和 50﹪, 可能的最大亏损分别为 30﹪和 10﹪. 投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超 过 1.8 万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?

22.(16 分)已知二次函数 f (x ) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集为 (1,3) . (1)若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的根,求 f (x ) 的解析式; (2)若 f (x ) 的最大值为正数,求 a 的取值范围.

试题结构 1. 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分试题结构 2. 非选择题以填空题,解答题题为主要题型。 命题意图 1.试卷依据教材,以重视双基为基准,以计算为重点考查学生分析问题、解决问题的能力、 及建立数学知识之间综合联系的能力。 2.重视不等式的基本知识和基本技能,注重综合能力的考查。注重试题形式和内容的新颍, 增强学习的兴趣。 试题说明 本试题 满分 150 分,时间 90 分钟完卷。 典型例题 21 题,考察了学生将实际问题转化成数学模型的能力,及分析问题,解决问题的能力和 学生的抽象思维能力。 参考答案 一、选择题:DCDBA BCCBC CA 15. 2 16.(2,3) 17. _20_ 18. (?1,1) ? (2,4)

二、填空题: 13 {x|-3≤x≤1} 三、解答题: 19.解析: xy ? x2 ? 8 ,
l ? 2x ? 2 y ? 2( 2 3 16 x) ? ( ? 2 ) x ? ? 2 2 x

14. -14

1 4

∴ y?

8?

x2 4 ? 8 ? x ( 0 ? x ? 4 2 ) 于是, 框架用料长度为 x x 4

4 6?4 2

当( + 2 ) x =

3 2

16 ,即 x ? 8 ? 4 2 m 时等号成立 x

此时

y ? 2 m ,用料最省。

20.解:因为 a ? 0 ,不等式可化为 ( x ? )( x ? 1) ? 0 ,下面对 ①当 ②当

1 a

1 和 1 的大小讨论: a

1 ? 1 ,即 a ? 1 时,不等式化为 ( x ? 1) 2 ? 0 ,解集为空集; a
1 1 ? ? ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时,不等式解集为 ? x | x ? 或x ? 1? ; a a ? ?

③当 ? 1 ,即 a ? 1 时,不等式解集为 ? x | x ? 或x ? 1? 。

1 a

? ?

1 a

? ?

21.解:设投资人分别用 x 万元、 y 万元投资甲、乙两个项目. 则:
? x ? y ? 10 ?0.3x ? 0.1y ? 1.8 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?
M (4,6)

y
(0,18) (0,10)

,目标函数为: z ? x ? 0.5 y 。

上述不等式表示的平面区域如图所示 (含边界) 阴影部分表示 ,
x

O

(6,0)

x ? 0 .5 y ? 0

(10,0)

可行域. 作直线 l 0 : x ? 0.5 y ? 0 , 并作平行于 l 0 的一组直线 z ? x ? 0.5 y ,( z ? R) , 与可行域相交, 其中有一条直线经过可行域上的 M 点,且与直线 x ? 0.5 y ? 0 距离最大,这里 M 点是直线
x ? y ? 10 和 直 线 0.3x ? 0.1y ? 1.8 的 交 点 . 解 方 程 组 : ?
?x ? 4 ? x ? y ? 10 得? ,此时, ?y ? 6 ?0.3x ? 0.1y ? 1.8

z ? 1? 4 ? 0.5 ? 6 ? 7 (万元). 答:投资人分别 4 万元和 6 万元时,才能使可能的盈利最大。

22.解: (1) ? f ( x) ? 2 x ? 0 的解集为 (1,3) ,所以可设: f ( x) ? 2 x ? a( x ? 1)( x ? 3) 且 a ? 0 ,因而
f ( x) ? a( x ? 1)( x ? 3) ? 2x ? ax 2 ? (2 ? 4a) x ? 3a ①;

由 f ( x) ? 6a ? 0 得 ax 2 ? (2 ? 4a) x ? 9a ? 0

②,
5a 2 ? 4a ? 1 ? 0 ,

因 为 方 程 ② 有 两 个 相 等 的 根 , 所 以 ? ? [?(2 ? 4a)]2 ? 4a ? 9a ? 0 , 即
1 解得a ? 1或a ? ? . 5

由于 a ? 0, 舍去a ? 1.将a ? ? 代入①得 f (x) 的解析式 f ( x) ? ? x 2 ? x ? 。

1 6 3 5 5 5 2 1 ? 2a 2 a ? 4a ? 1 ) ? (2)由 f ( x) ? ax 2 ? 2(1 ? 2a) x ? 3a ? a( x ? 及 a ? 0 ,可得 f (x) 的最大值为 a a ? a 2 ? 4a ? 1 a 2 ? 4a ? 1 ? 0, ?? ? .由 ? 即 a 2 ? 4a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?2 ? 3或 ? 2 ? 3 ? a ? 0 .故当 a a ?a ? 0, ? 1 5

f (x) 的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是 (??,?2 ? 3) ? (?2 ? 3,0) 。


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