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2015年湖南省高中数学竞赛试卷A


2015 年湖南省高中数学竞赛(A 卷)
(2015-06-27) 一、选择题(每个 5 分,共 6 题) 1.将选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去年 1 个最低分,7 个剩余分数的平均分为 91,现场做 的 9 个分数的茎叶图有一个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示,则 7 个剩余分数的方差 为 A.

116 9

B.

36 7

C.

36

D.

6 7 7

2.半径为 R 的球的内部装有 4 个有相同半径 r 的小球,则小球半径 r 可能的最大值是 A.

3 2? 3

R

B.

6 3? 6
*

R

C.

1 R 1? 3

D.

5 2? 5

R

3.已知数列{an}和{bn}对任意 n ? N ,都有 an ? bn ,当 n ??? 时,数列{an}和{bn}的极限分 别是 A 和 B,则 A. A ? B B.

A? B

C.

A? B

D.

A 和 B 的大小关系不确定

4.对所有满足 1 ? n ? m ? 5 的 m,n,极坐标方程 ? ? A. 6 B. 9 C. 12 D. 15

1
n 1 ? Cm cos ?

表示的不同双曲线条数为

5.使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是 A.

6? 3

B.

3 C.

6? 3

D.

6

6.设 M ? {? | ? ? x ? y , x, y ? Z} ,则对任意的整数 n,形如 4n,4n+1,4n+2,4n+3 的数中,不
2 2

是 M 中的元素的数为 A. 4n B. 4n+1

C.

4n+2

D.

4n+3

二、填空题(每个 8 分,共 6 题) 7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍,则该三角形的周长为: 8.对任一实数序列 A ? (?1, ?2 , ?3 ,...) ,定义△A 为序列 (?2 ? ?1, ?3 ? ?2 , ?4 ? ?3 ,...) ,它的 第 n 项是 ?n ?1 ? ?n ,假定序列△(△A)的所有项都是 1,且 ?19 ? ?92 ? 0 ,则 ?1 的值为:

9.满足使 I ? [

1 1 n ? i ] 为纯虚数的最小正整数 n= 2 2 3

10.将 1,2,3,...,9 这 9 个数字填在如图所示的 9 个空格中,要求每一行从左到右,每一列 从上到下分别依次增大,当 3,4 固定在图中的位置时,填写空格的方法数为: 11.记集合 T ? {0,1, 2,3, 4,5,6}, M ? {

a1 a2 a3 a4 ? ? ? | ai ? T , i ? 1, 2,3, 4} ,将 M 中的元素 7 7 2 73 7 4

按从大到小顺序排列,则第 2015 年数是: 12.设直线系 M : x cos ? ? ( y ? 2)sin ? ? 1(0 ? ? ? 2?) ,对于下列四个命题: ①M 中所有直线均经过一个定点 ②存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上 ③对于任意整数 n(n ? 3) 存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上 ④M 中的直线所能围成的三角形面积都相等 其中真命题的代号是: (写出所有真命题的代号)

三、解答题(共 4 题,满分 72 分) 13.(本小题满分 16 分) 如图所示,AB 为 Rt△ABC 的斜边,I 为其内心,若△IAB 的外接圆的半径为 R,Rt△ABC 的 内切圆半径为 r,求证: R ? (2 ? 2)r .

14.(本小题满分 16 分) 如图,A,B 为椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 的公共顶点,P、Q 分别为双 ( a>b>0) 和双曲线 a 2 b2 a 2 b2

曲线和椭圆上不同于 A、B 的动点,且满足 AP ? BP ? ?( AQ ? BQ)(? ? R,| ? |? 1) 求证: (Ⅰ)三点 O、P、Q 在同一直线上; (Ⅱ)若直线 AP、BP、AQ、BQ 的斜率分别是 k1、k2、k3、k4,则 k1+k2+k3+k4 是定值。

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

15.(本小题满分 20 分) 已 知 整 数 列 {an } , {bn } 满 足 an ?1 ? an ? 1 , bn ?1 ?

1 an ? bn , 对 于 正 整 数 n ,定 义 函数 2

fn ( x) ? x2 ? an x ? bn ,证明:若存在某个 f k ( x) 有两个整数零点,则必有无穷多个 f n ( x) 有
两个整数零点。

16.(本小题满分 20 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1), g ( x) ? e x 。 (Ⅰ) 经过原点分别作曲线 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的切线 l1 和 l2 。 已知两切线的斜率互为倒数,

求证:

e ?1 e2 ? 1 ?a? e e

(Ⅱ)设 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) ,当 x ? 0 时, h( x) ? 1 恒成立,试求实数 a 的聚会范围。

2015 年湖南省高中数学竞赛答案(A 卷)
BBBADC 7.15 13. 8.819 9.3 10.6 11.

386 2401

12.②③

14.

15.

16.


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