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【数学】1.4 生活中的优化问题举例 课件(人教A版选修2-2)


第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例

生活中经常遇到求利润 最大、用料 最省、效率最高等问题 这些问题 , 通常称为优化问题 .通 过 前面的学 ? 习 我们知道, 导数是求函数最大小? , 值的有力工具.本节我们运用导数, 解决一些生活中的优化 问题.

例1、海报版面尺寸的设计: 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报

进行宣传, 现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报,要求版 心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各 空1dm,如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小? 解:设版心的高为xdm,则版心的 宽 128 dm,此时四周空白面积为 2dm
1dm 1dm

x 128 S ( x ) ? ( x ? 4)( ? 2) ? 128 x 512 ? 2x ? ? 8 ( x ? 0) x 512 ? S '( x ) ? 2 ? 2 x

2dm

512 512 S( x) ? 2 x ? ? 8,S '( x ) ? 2 ? 2 x x ? 令S '( x ) ? 0可解得x ? 16 x ? -16舍去) (
列表讨论如下:
x S '(x) S (x) (0,16) 16 0 (16,+∞)

减函数↘

+
增函数↗

极小值

∵S(x)在(0,+∞)上只有一个极值点 ∴由上表可知,当x=16,即当版心高为16dm, 宽为8dm时,S(x)最小 答:当版心高为16dm,宽为8dm时,海报四周的 空白面积最小。

?1? 你是否注意过,市场上等量的小包装的 物品
一般比大包装的贵些 你想从数学上知道它的 ? 道理吗?

例2 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

?2?是不是饮料瓶越大饮料公司的利润越大 , ?

背景知识 某制造商制造并出售球形瓶 装的 某种饮料瓶子的制造成本是 .8πr 2分, 其中r 是 . 0 瓶子的半径,单位是厘米已知每出售 mL 的饮 . 1 料,制造商可获利 .2分,且制造商能制作的瓶子 0 最大半径为6cm.

问题 ?1? 瓶子半径多大时能使每瓶饮料的利 , 润最大? ?2? 瓶子半径多大时每瓶饮料利润最小 , ?

当r ? 2时, f ' ?r ? ? 0.

解 由于瓶子的半径为 , 所以每瓶饮料的利润是 r ? r3 4 3 2? 2 y ? f ?r ? ? 0.2 ? πr ? 0.8πr ? 0.8π? ? r ? , ?3 ? 3 ? 0 ? r ? 6. 令f ' ?r ? ? 0.8π r 2 ? 2r ? 0. ?

?

?

?0,2?时, f ' ?r ? ? 0;当r ? ?2,6?时, f ' ?r ? ? 0. 当r ? 因此,当半径r ? 2时, f ' ?r ? ? 0,它表示f ?r ?单调递增 , 即半径越大 利润越高 半径r ? 2时, f ' ?r ? ? 0,它表 , ; 示f ?r ?单调递减,即半径越大 利润越低 , . ①半径为 cm时, 利润最小 这时f ?2? ? 0, 表示此种 2 ,
瓶内饮料的利润还不够 瓶子成本 此时利润是负值 , . ② 半径为 cm时,利润最大 6 .

y 换一个角度: 如果 我 们不用导 数工具 ,直接 从函数的图象 图 ( ? r3 2? ? ? 1.4 ? 4)上观察,你有什么发现? f ?r ? ? 0.8π? 3 ? r ? ? ? 从 图象上容易看出,当 r ? 3 时, f ?3? ? 0, 即瓶子半径是3cm 时, 2 3 o r 饮料的利润与饮料瓶的 成本恰 好相等;当r ? 3 时,利润才为正值 .

当r ? ?0,2?时, f ?r ?是减函数,你能 图1.4 ? 4 解释它的实际意义吗 ? 通过此问题的解决我们很容易回答开始时 , 的问 题.请同学们自己作出回答 .

例3 磁盘的最大存储量问题

?1?你知道计算机是如何存 储、检索信息的吗 ? ?2?你知道磁盘的结构吗 ? ?3?如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的
信息?

背景知识 计算机把信息存储在磁 盘上.磁盘是带 有磁性介质的圆盘并由操作系统将其格式 , 化成磁 道和扇区磁道是指不同半径所构 . 成的同心圆轨道 , 扇区是指被圆心角分割 成扇形 区域.磁道上的定长的弧可作 为 R 基本存储单元根据其磁化与否 , 可分别记录数据 或1, 这个基本 0 r 单元通常称为比特 ?bit ?.磁盘的 构造如图 .4 ? 3所示. 1
图1.4 ? 3

为了保障磁盘的分辩率, 磁道之间的宽度必须大于 m, 每比特所占用的磁道长度不得小于 n .为了数据 检索的方便, 磁盘格式化时要求要求所有磁道具有 相同的比特数.

问题 : 现有一张半径为 的磁盘, R R 它的存储区是半径介于 与R 的 r 环形区域. r ?1? 是不是 r越小, 磁经盘的存储 量越大? ?2? r为多少时, 磁盘具有最大的 图1.4 ? 3 存储量(最外面的磁道不存储任 何信息) ? 解 存储量 ? 磁道数 ? 每磁道的比特数.

设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽 度必须大于m, 且最外面的磁道不存储任何信息, 所 R ?r 以磁道数最多可达 . m

又由于每条磁道上的比 特数 相同, 为获得最大存储量最内 , 一条磁道必须装满即每条磁 , 2 πr 道上的比特数可达到 .所 n 以, 磁盘总存储量 R ? r 2 πr 2 π f ?r ? ? ? ? r ?R ? r ?. m n mn

R

r
图1.4 ? 3

?1?它是关于r的二次函数, 从函数的解析式上可
以判断,不是r越小, 磁盘的存储量越大 .

?2?为求f ?r ?的最大值,计算f ' ?r ? ? 0.
2π R ' ?R ? 2r ?, 令 f ?r ? ? 0, 解得 r ? . f ?r ? ? mn 2
'

R R R ' ' 当r ? 时, f ?r ? ? 0;当r ? 时, f ?r ? ? 0.因此,当r ? 2 2 2 πR 2 时, 磁盘具有最大存储量最大存储量为 , . 2mn 思考 如果每条磁道存储信息 与磁道的长度成

正比,那么如何计算磁盘的存 储量? 此时, 是不是 r越小 磁盘的存储量越大 , ?

由上述例子 我们不难发现 解决优化问题的基 , , 本思路是 :

优化问题
优化问题的答案

用函数表示的数学问题
用导数解决数学问题

上述解决优化问题的过 程是一个典型的数学 建模过程 .


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