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8.6双曲线


8.6 双曲线

考点梳理 一、双曲线的定义 绝对值 等于常 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的__________ 数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线. 两个定点 F1、F2 叫做双曲线的______ 焦点 ,两焦点的距离|F1F2| 焦距 叫做双曲线的______.

二、双曲线的标准方程和几何性质 标准

方程 x2 y2 y2 x2 a2-b2=1(a>0,b>0) a2-b2=1(a>0,b>0)

图形

范围 对称性 性 质

x ≥a 或 x≤-a ____________

y ≥a 或 y≤-a ____________

x 轴、y 轴 x 轴,y 轴 对称轴:__________ 对称轴:__________ 坐标原点 对称中心:__________ 坐标原点 对称中心:__________
顶点坐标: (-a,0) , A1__________ (a,0) A2__________ 顶点坐标: (0,-a) , A1__________ (0,a) A2__________

顶点

渐近线

b y=± x a __________

a y=± x b __________

c 2 2 离心率 a + b a ,e∈(1,+∞)其中 c=________ e=______
性 质 实虚轴 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|= 2a ;线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长 ______ 2b ;a 叫做双曲线的实半轴,b 叫做 |B1B2|=______ 双曲线的虚半轴

a、b、c 关系

a2+b2 c>a>0,c>b>0) c2=__________(

考点自测 1.双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( ? 2 ? ? 5 ? ? 6 ? A.? ,0? B.? ,0? C.? ,0? D.( 3,0) ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?

)

2 y 解析:将双曲线方程化为标准方程为:x2- 1 =1,∴a2=1, 2 ? 6 ? 1 3 6 2 2 2 2 b =2,∴c =a +b =2,∴c= 2 ,故右焦点坐标为? ,0?. ? 2 ? 答案:C

x2 y2 2.设双曲线a2- 9 =1(a>0)的渐近线方程为 3x± 2y=0,则 a 的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1

x2 y2 解析:双曲线a2- 9 =1 的渐近线方程为 3x± ay=0,与已知 方程比较系数得 a=2. 答案:C

3.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( A.2 B.2 2 C.4 D.4 2

)

x2 y2 解析:双曲线方程可变为 4 - 8 =1,所以 a2=4,a=2,2a =4. 答案:C

x2 y2 4.设 F1 和 F2 为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点, 若 F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 ( ) 3 5 A.2 B.2 C.2 D.3

2b c 2 解析:依题意得 tan60° = c ,b= ,因此该双曲线的离心 3 c c 率是a= 2 =2,选 B. c -b2 答案:B

x2 y2 x2 y2 5.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)和椭圆16+ 9 =1 有相 同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的 方程为__________.

7 解析:由题意知,椭圆的焦点坐标是(± 7,0),离心率是 4 . 2 7 c 故在双曲线中 c= 7,e= 4 =a,故 a=2,b2=c2-a2=3,故 x2 y2 所求双曲线的方程是 4 - 3 =1. x2 y2 答案: 4 - 3 =1

疑点清源 1.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的 “六点”(两 个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点),“四线”(两条对称轴、 两条渐近线), “两形”(中心、 焦点以及虚轴端点构成的三角形, 双曲线上一点和两焦点构成的三角形 ) 研究它们之间的相互联 系.

x2 y2 x2 y2 2 .与双曲线 a2- b2= 1 共渐近线的双曲线方程为 a2- b2= λ(λ≠0). c2-a2 c2 b 3.双曲线的形状与 e 的关系:k=a= a = a2-1= e2-1,e 越大,即渐近线的斜率的绝对值就越大,这时双曲线 的形状就从扁狭逐渐变得开阔. 由此可知, 双曲线的离心率越大, 它的开口就越阔.

题型探究 题型一 双曲线定义的应用 例 1 已知定点 A(0,7)、B(0,-7)、C(12,2),以 C 为一个焦 点作过 A、B 的椭圆,求另一焦点 F 的轨迹方程.

解析:设 F(x,y)为轨迹上的任意一点, ∵A、B 两点在以 C、F 为焦点的椭圆上, ∴|FA|+|CA|=2a,|FB|+|CB|=2a(其中 a 表示椭圆的长半 轴), ∴|FA|+|CA|=|FB|+|CB|, ∴|FA|-|FB|=|CB|-|CA|= 122+92- 122+52=2, ∴|FA|-|FB|=2. 由双曲线的定义知,F 点在以 A、B 为焦点,2 为实轴长的 双曲线的下半支上, 2 x ∴点 F 的轨迹方程是 y2-48=1(y≤-1).

点评:本题是典型的定义法求轨迹,解时要注意:|FA|-|FB| =2,没有“绝对值”,因此,它仅是双曲线的下半支.

x2 y2 变式探究 1 已知双曲线 C:9 -16=1 的左、 右焦点分别为 F1、F2,P 为 C 右支上的一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2 的面 积等于( ) A.24 B.36 C.48 D.96

解析:依题意得|PF2|=|F1F2|=10,由双曲线的定义得 |PF1| 1 - |PF2| = 6 , |PF1| = 16 , 因 此 △ PF1F2 的 面 积 等 于 2 ×16× ?16?2 2 10 -? 2 ? =48,选 C. ? ? 答案:C

题型二 求双曲线的标准方程 例 2 根据下列条件,求双曲线的标准方程: x2 y2 (1)与双曲线 9 -16=1 有共同的渐近线,且过点(-3,2 3); x2 y2 (2)与双曲线16- 4 =1 有公共焦点,且过点(3 2,2).

x2 y2 4 解析:方法一:(1)双曲线 9 -16=1 的渐近线为 y=± 3x, 4 可判定点(-3,2 3)在两直线 y=± 3x 所分区域的包含 x 轴的 区域内,所以焦点在 x 轴上. x2 y2 设双曲线的方程为a2-b2=1, ?b 4 ?a=3, 9 2 2 由题意,得? 解得 a = , b =4. 2 2 4 ? ?2 3? ??-3 - b2 =1, ? a2 x2 y2 所以双曲线的方程为 9 - 4 =1. 4

x2 y2 (2)设双曲线方程为a2-b2=1. 由题意易求 c=2 5. 又双曲线过点(3 2,2), ?3 2?2 4 ∴ a2 -b2=1. 又∵a2+b2=(2 5)2, ∴a2=12,b2=8. x2 y2 故所求双曲线的方程为12- 8 =1.

方法二: x2 y2 (1)设所求双曲线方程为 9 -16=λ(λ≠0), 1 将点(-3,2 3)代入得 λ=4, x2 y2 1 所以双曲线方程为 9 -16=4. x2 y2 (2)设双曲线方程为 - =1, 16-k 4+k 将点(3 2,2)代入得 k=4(k=-14 舍去), x2 y2 所以双曲线方程为12- 8 =1.

点评:求双曲线的方程,关键是求 a、b,在解题过程中应 熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系,并注意方程思想的应用.若 已知双曲线的渐近线方程 ax± by=0,则可设双曲线方程为 a2x2 -b2y2=λ(λ≠0).

变式探究 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程: 5 (1)虚轴长为 12,离心率为4; 3 (2)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± 2x.

解析: (1)设双曲线的标准方程为 x2 y2 y2 x2 a2-b2=1 或a2-b2=1(a>0,b>0). c 5 由题意知:2b=12,a=4且 c2=a2+b2, ∴b=6,c=10,a=8. x2 y2 y2 x2 ∴标准方程为64-36=1 或64-36=1.

3 (2)设以 y=± 2x 为渐近线的双曲线方程为 x2 y2 4 - 9 =λ(λ≠0). 当 λ>0 时,a2=4λ, 9 ∴2a=2 4λ=6?λ=4; 当 λ<0 时,a2=-9λ, ∴2a=2 -9λ=6?λ=-1. x2 y2 y2 x2 ∴双曲线的方程为 9 -81=1 或 9 - 4 =1. 4

题型三 双曲线的性质 例 3 双曲线的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,两条渐近线分 别为 l1,l2,经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B → |,|AB → |,|OB → |成等差数列,且BF → 与FA → 同向. 两点.已知|OA (1)求双曲线的离心率; (2)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4, 求双曲线的方程.

解析: x2 y2 (1)设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0) 右焦点为 F(c,0)(c>0),则 c2=a2+b2. 不妨设 l1:bx-ay=0. l2:bx+ay=0. |b×c-a×0| → 则|FA|= 2 2 =b, a +b → |= OF2-AF2=a. |OA

→ |2+|OA → |=|OB → |2,且|OB → |=2|AB → |-|OA → |, 因为|AB →| | AB → |2+|OA → |2=(2|AB → |-|OA → |)2, 所以|AB 于是得 tan∠AOB= = → |OA| 4 1 → → 3,又BF与FA同向,故∠AOF=2∠AOB. 2tan∠AOF 4 所以 = . 1-tan2∠AOF 3 1 解得 tan∠AOF=2或 tan∠AOF=-2(舍去) b 1 因此a=2,a=2b,c= a2+b2= 5b, 5 c 所以双曲线的离心率 e=a= 2 .

(2)由 a=2b 知,双曲线的方程可化为 x2-4y2=4b2.① 1 由 l1 的斜率为2,c= 5b 知, 直线 AB 的方程为 y=-2(x- 5b).② 将②代入①并化简,得 15x2-32 5bx+84b2=0. 设 AB 与双曲线的两交点的坐标分别为 32 5b 84b2 (x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2= 15 ,x1· x2= 15 .③ AB 被双曲线所截得的线段长 l= 1+?-2?2· |x1-x2|= 5[?x1+x2?2-4x1x2]④ 4b 将③代入④,并化简得 l= 3 ,而由已知 l=4,故 b=3,a x2 y2 =6.所以双曲线的方程为36- 9 =1.

点评:本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线 方程、平面向量以及三角等基础知识和解析几何的基本思想方 法,考查推理及运算能力.

变式探究 3 已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标 轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; → ⊥MF →; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF
1 2

(3)求△F1MF2 的面积.

解析: (1)∵e= 2,∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ. ∵过点(4,- 10),∴16-10=λ,即 λ=6. ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)证明:方法一:由(1)可知,双曲线中 a=b= 6, ∴c=2 3,∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), m m ∴ kMF1 = , kMF2 = , 3+2 3 3-2 3 m2 m2 kMF2 = kMF1 · =- 3 . 9-12 ∵点(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3, → ⊥MF →. k =-1,∴MF ⊥MF . ∴MF 故k ·
MF1 MF2

1

2

1

2

方法二: → =(-3-2 3,-m),MF → =(2 3-3,-m), ∵MF 1 2 →· → =(3+2 3)×(3-2 3)+m2=-3+m2, ∴MF MF ∵M 点在双曲线上,∴9-m2=6,即 m2-3=0, →· → =0. ∴MF MF
1 2 1 2

→ ⊥MF →. ∴MF 1 2 (3)△F1MF2 的底|F1F2|=4 3, △F1MF2 的高 h=|m|= 3,∴ S

F1MF2

=6.

y2 -b2=t(t≠0). 4.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要 令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程 x2 y2 x2 y2 a2-b2=0 就是双曲线a2-b2=1 的两条渐近线方程.

名师归纳 ?方法与技巧 1.两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心. 2.焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b. x2 y2 x2 3.与双曲线a2-b2=1 共用渐近线的双曲线的方程可设为a2

?失误与防范 1.区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆 a,b,c 关系, 在椭圆中 a2=b2+c2,而在双曲线中 c2=a2+b2. 2.双曲线的离心率大于 1,而椭圆的离心率 e∈(0,1). x2 y2 b y2 3. 双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)的渐近线方程是 y=± ax, a2 x2 a -b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± bx. 4.若利用弦长公式计算,在涉及直线斜率时要注意说明斜 率是否存在. 5.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线 与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相 切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.

随堂检测 1.(2013· 福建卷)双曲线 x2-y2=1 的顶点到其渐近线的距离 等于( ) 1 2 A.2 B. 2 C.1 D. 2

解析:本题考查了双曲线的顶点、渐近线、点到直线距离公 式 x2-y2=1 的一个顶点为 A(1,0), 一条渐近线为 y=x, 则 A(1,0) 1 2 到 y=x 的距离为 d= = 2 . 2 答案:B

x2 y2 2.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 C:a2-b2=1(a>0, 5 b>0)的离心率为 2 ,则 C 的渐近线方程为( ) 1 1 A.y=± 4x B.y=± 3x 1 C.y=± x 2x D.y=±

5 c 解析:本题考查双曲线渐近线方程.由题意得a= 2 ,即 c 2 5 5 1 b 1 b 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 a,而 c =a +b ,∴a +b =4a ,b =4a ,a2=4,∴a=2, 1 渐近线的方程为 y=± 2x,选 C. 答案:C

π x2 y2 3.(2013· 湖北卷)已知 0<θ<4,则双曲线 C1:sin2θ-cos2θ=1 y2 x2 与 C2:cos2θ-sin2θ=1 的( ) A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等

解析:本题考查双曲线的性质. 由双曲线的性质 c2=a2+b2 知,C1:c2=sin2θ+cos2θ=1, C2:c2=cos2θ+sin2θ=1.∴C1 与 C2 的焦距相等,故选 D. 答案:D

x2 y2 4. (2013· 天津卷)已知抛物线 y =8x 的准线过双曲线a2-b2= 1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为 2,则该双曲线的 方程为________.
2

解析:本题考查了双曲线中 a,b,c 之间的关系. 抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=-2,则双曲线的一个焦点 c 为(-2,0),即 c=2,离心率 e=a=2,a=1,由 a2+b2=c2 得 b2 y2 2 =3,∴双曲线的方程为 x - 3 =1. 2 y 答案:x2- 3 =1

x2 y2 5.(2013· 辽宁卷)已知 F 为双曲线 C: 9 -16=1 的左焦点, P,Q 为 C 上的点,若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0)在 线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________.

解析:本题考查双曲线的定义. 由 A 的坐标可知, A 为双曲线的右 焦点,则|PF|=|PA|+2a,|QF|=|QA|+ 2a ,∴ |PF| + |QF| = |PQ| + 4a = 4b + 4a =28,∴△PQF 的周长为 28+16=44. 答案:44


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