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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(福建卷,扫描版,含答案)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数
第 I 卷(选择题共 50 分) 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1、若集合 A.

学(理工类)

A ? ?i, i 2 , i 3 , i 4 ?

( i 是虚数

单位) ,

B ? ?1, ?1?

,则 A

B 等于

??1? B. ?1? C. ?1, ?1?

D. ?

2、下列函数为奇函数的是 A. y ?

x B. y ? sin x C. y ? cos x D. y ? ex ? e? x

x2 y 2 E: ? ?1 PF1 ? 3 F,F 9 16 3、若双曲线 的左、右焦点分别为 1 2 ,点 P 在双曲线 E 上,且 ,


PF2

等于

A.11 B.9 C.5 D.3 4、为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下 统计数据表: 收 入 x (万 元) 支出 元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9

y (万

6.2

7.5

8.0

8.5

9.8

? ? ? ? ? ? 根据上表可得回归直线方程 y ? bx ? a ,其中 b ? 0.76, a ? y ? bx ,据此估计,该社区一户
收入为 15 万元家庭年支出为 A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元

5、若变量

x , y 满足约束条件

? x ? 2 y ? 0, ? ? x ? y ? 0, ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?

则 z ? 2 x ? y 的最小值等于

5 3 ? A. 2 B. ?2 C. 2 D.2 ?
6、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为 A.2 B.1 C.0 D. ?1

-1-

7、若 l , m 是两条不同的直线, m 垂直于平面 ? ,则“ l ? m ”是“ l / /? ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 8、若 a , b 是函数 D.既不充分也不必要条件

f ? x ? ? x2 ? px ? q ? p ? 0, q ? 0?

的两个不同的零点,且 a, b, ?2 这三个

数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于 A.6 B.7 C.8 D.9 , 若 点 p 是 ?ABC

1 AB ? AC , AB ? , AC ? t t 9、已知

所在平面内一点,且

AP ?
A.13

AB AB

?

4 AC AC
,则 PB ? PC 的最大值等于 C.19 D.21

B.15

10、若定义在 R 上的函数 则下列结论中一定错误的是

f ? x?

满足

f ? 0? ? ?1

,其导函数

f ? ? x?

满足

f ? ? x? ? k ? 1



?1? 1 f ? ?? A. ? k ? k

1 ?1? f ? ?? B. ? k ? k ? 1

1 ? 1 ? f? ?? C. ? k ? 1 ? k ? 1

k ? 1 ? f? ?? ? k ?1 ? k ?1 D.

第 II 卷(非选择题共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、

? x ? 2?

5

的展开式中, x

2

的系数等于

.(用数字作答) . , 若在矩形 ABCD

12、若锐角 ?ABC 的面积为 10 3 ,且 AB ? 5, AC ? 8 ,则 BC 等于 13、 如图, 点 A 的坐标为

?1,0?

, 点 C 的坐标为

? 2, 4?

, 函数 .

f ? x ? ? x2

内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于

?? x ? 6, x ? 2, f ? x? ? ? ?3 ? log a x, x ? 2, ( a ? 0 且 a ? 1 )的值域是 14 、若函数

?4, ???

,则实数 a 的取值范围是

.

15 、一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串

x1 x2

xn ? n ? N * ?

,其中

xk ? k ? 1, 2,

, n?

称为第 k 位码元,二元码是通信中常用的码,但在通

信过程中有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1,或者由 1 变为 0)
-2-

已知某种二元码

x1 x2

? x4 ? x5 ? x6 ? x7 ? 0, ? ? x2 ? x3 ? x6 ? x7 ? 0, x7 的码元满足如下校验方程组: ? ? x1 ? x3 ? x5 ? x7 ? 0,

其中运算 ? 定义为: 0 ? 0 ? 0,0 ?1 ? 1,1 ? 0 ? 1,1 ?1 ? 0 其中运算 ? 定义为:0 ? 0=0,0 ? 1=1,1 ? 0=1,1 ? 1=0 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101,那么利用 上述校验方程组可判定 k 等于 .

三、解答题:大小题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 13 分) 某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银 行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则 继续尝试,直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X,求 X 的分布列和数学期望.

17.(本小题满分 13 分) 如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形,AB 丄平面 BEG,BE 丄 EC,AB=BE=EC=2,G, F 分别是线段 BE,DC 的中点. (1)求证:GF//平面 ADE (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值.

18. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 b 已知椭圆 E: a 过点 (0, 2) ,且离心率为 e= 2 .
(1)求椭圆 E 的方程;

9 (- ,0) (2)设直线 l;x=my-1(m∈R)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G 4
与以线段 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.

19.(本小题满分 13 分) 已知函数 f( x) 的图像是由函数 g ( x) = cos x 的图像经如下变换得到:先将 g ( x) 图像上所有点
-3-

的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) ,再将所得到的图像向右平移 (1)求函数 f( x) 的解析式,并求其图像的对称轴方程; (2)已知关于 x 的方程 f( x) + g( x) = m 在*0.2π+内有两个不同的解α ,β 1)求实数 m 的取值范围;

个单位长度.

2)证明:cos(α-β)=

-1

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f( x) = ln(1 + x) ,g(x)=kx(k∈R) (1)证明:当 x > 0时,f(x)< x ;

x > 0 ,使得对任意的 x∈(0,t)恒有 f( x) > g ( x); (2)证明:当 k < 1 时,存在 0
(3)确定 k 的所以可能取值,使得存在 t > 0 ,对任意的 x∈(0,t) ,恒有 | f( x) - g ( x) |< x . 21.本题设有三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答.满分 14 分,如果多做,则按所做 的前两题计分,作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上吧所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将 所选题号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 (1)求 A 的逆矩阵 A ; (2)求矩阵 C,使得 AC=B. (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
-1

2

ì ? x = 1 + 3cos t (t 为参数) í y = 2 + 3sin t xoy ? ? 在平面直角坐标系 中,圆 C 的参数方程为 .在极坐标系(与平
面直角坐标系 线 l 的方程为 (1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值.
-4-

xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,直

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a﹥0,b﹥0,c﹥0,函数 f(x)=∣x+a∣+∣x-b∣+c 的最小值为 4. (1)求 a + b + c 的值;

1 2 1 2 2 a + b +c 9 (2)求 4 的最小值为.

数学试题(理工农医类)参考答案 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 50 分。 1.C 2.D 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 20 分。

11. 80

12. 7

5 13. 12

14. (1, 2]

15.5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知 识,考查运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想,满分 13 分 解: (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A,

(2)依题意得,X 所有可能的取值是 1,2,3

所以 X 的分布列为

. 17.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间 想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转 化思想.满分 13 分. 解法一: (1)如图,取 AE 的中点 H,连接 HG,HD, 又 G 是 BE 的中点,
-5-

所以 GH//AB,且 GH=

AB,

1 所以DF= CD 2 又 F 是 CD 中点, ,
由四边形 ABCD 是矩形得,AB//CD,AB=CD 所以 GH//DF.且 GH=DF 从而四边形 HGFD 是平行四边形,所以 GF//DH, 又 ,所以 . (2)如图,在平面 BEG 内,过点 B 作 BQ//EC,因为 BE 丄 CE,所以 BQ 丄 BE 又因为 AB 丄平面 BEC,所以 AB 丄 BE,AB 丄 BQ 以 B 为原点,分别以 BE, BQ, BA 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向 建立空间直角坐标系,则 A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1) 因为 AB 丄平面 BEC,所以 BA=(0,0,2)为平面 BEC 的法向量,

AF=(2,2,-1) 设 n = (x, y, z) 为平面 AEF 的法向量.又 AE = (2,0,-2),
取 z = 2 得 n=(2,-1,2) .



从而

2 所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为 3 .
解法二:(1)如图,取 AB 中点 M,连接 MG,MF, 又 G 是 BE 的中点,可知 GM//AE, 又 AE 平面 ADE,GM¢平面 ADE, 所以 GM//平面 ADE. 在矩形 ABCD 中,由M,F分别是AB,CD的中点得MF//AD. 又 AD 平面 ADE,MF¢平面 ADE. 所以 MF//平面 ADE. 又因为 GM MF=M,GM 平面 GMF.MFC 平面 GMF. 所以平面 GMF//平面 ADF, 因为 GF 平面 GMF,所以 GF//平面 ADE (2)同解法一. 18.本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运 算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想. 满分 13 分 解法一:(1)由已知得

-6-

x2 y 2 + =1 4 2 所以椭圆 E 的方程为 .
(2)设点

A( x1 y1 ),B( x2 , y 2 ), AB 中点为 H( x0 , y0 ) .

ì x = my - 1 ? 得(m2 + 2) y 2 - 2my - 3 = 0, í x2 y 2 ? + =1 ? 4 2 由?
y1 + y 2 = 2m 3 2 , y1 y 2 = 2 , y 0 = 2 2 m +2 m + 2 从而 m +2 .

所以

9 5 5 25 GH|2 = ( x0 + ) 2 + y0 2 = (my0 + ) 2 + y0 2 = (m 2 +1) y0 2 + my0 + 4 4 2 16 . 所以

|AB|2 ( x1 - x2 )2 + ( y1 - y2 ) 2 (m 2 +1)( y1 - y 2 ) 2 = = 4 4 4 (m2 +1)[( y1 + y2 )2 - 4 y1 y2 ] = = (m2 +1)(y0 2 - y1 y2 ) 4 ,

|GH|2 故

|AB|2 5 25 5m2 3(m2 +1) 25 17m2 + 2 = my0 + (m2 +1) y1 y2 + = + = >0 4 2 16 2(m2 + 2) m2 + 2 16 16(m2 + 2)
|AB| 9 (- ,0) 2 ,故 G 4 在以 AB 为直径的圆外.

|GH|>
所以

解法二:(1)同解法一.

A( x1 y1 ),B( x2 , y 2 ), ,则 (2)设点

9 9 GA = ( x1 + , y1 ), GB = ( x2 + , y2 ). 4 4 y1 + y 2 = 2m 3 , y1 y 2 = 2 , 2 m +2 m +2



所以

-7-

从而

·

5 25 5m2 3(m2 +1) 25 17m2 + 2 = (m2 +1) y1 y2 + m( y1 + y2 ) + = + = >0 4 16 2(m2 + 2) m2 + 2 16 16(m2 + 2)
.

9 (- ,0) 故点 G 4 在以 AB 为直径的圆外.
19. 本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、 抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、 数形结合思想. 满分 13 分. 解法一:(1)将 g ( x) = cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)得到

y = 2cos x 的图像, 再将 y = 2cos x 的图像向右平移 个单位长度后得到
图像,故 f( x) = 2sin x 从而函数 f( x) = 2sin x 图像的对称轴方程为

y = 2 cos( x -

p ) 2 的

f( x) + g( x) = 2sin x + cos x = 5(
(2)1)

2 1 sin x + cos x) 5 5 1 2 , cos j = ) 5 5

= 5 sin( x +j )(其中sin j =

sin( x +j )=
依题意, 值范围是 (- 5, 5) .

m m | |< 1 5 在区间[0.2π ]内有两个不同的解α ,β 当且仅当 5 ,故 m 的取

2)因为α ,β 是方程 5 sin( x +j )=m 在[0.2π ]内的两个不同的解,

sin(a +j )=
所以

m m sin( b +j )= 5, 5.

-8-

m 2 2m2 cos(a - b ) = - cos 2( b +j ) = 2sin ( b +j ) - 1 = 2( ) - 1 = - 1. 5 5 所以
2

解法二:(1)同解法一. (2)1) 同解法一. 2) 因为α ,β 是方程 5 sin( x +j )=m 在区间[0.2π ]内有两个不同的解,

sin(a +j )=
所以

m m sin( b +j )= 5, 5.

20.本小题主要考查导数及其应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识, 考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想. 满分 14 分. 解法一:(1)令 F ( x) = f( x) - x = ln(1 + x) - x, x ? [0,

), 则有

F? ( x) =

1 x - 1= 1+x 1+x

当 x (0,+∞) F(x)<0,所以 F ( x) 在(0+∞)上单调递减, 故当 x > 0时,F ( x) < F (0) = 0,即当x > 0时,f(x)< x .

(2)令 G( x) = f( x) - g ( x) = ln(1 + x) - kx, x ? [0,

), 则有

G? ( x) =

1 - kx + (1 - k) -k= 1+x 1+x

当 k≤0 时, G(x)>0,故 G( x) 在[0+∞]上单调递增, G( x) > G(0) = 0 故对任意正实数

x0 均满足题意.

-9-

(3)

)

- 10 -

(3)
- 11 -

21.选修 4-2:矩阵与变换 本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分 7 分. 解:

? 3 ? 2 A?1 ? ? ? ?4 ? ? 2 所以
-1

?1 ? 1? ? 3 ? ? 2 ? ? ?? 2 2 ? 2 ? ? ? ? ?2 1 ? 2 ?
-1

(2)由 AC=B 得 ( A A) C = A B ,

1? ? 3 ? 3 ? ? ??1 1 ? ? 2? ? C ? A B= 2 = 2 2 ? ? ? ? 0 ?1? ? ? ? ? 2 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? 故
?1

选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力, 考查化归与转化思想.满分 7 分.

解: (2)依题意,圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,即

|1 - ( - 2) + m | 2

= 2,解得m=-3 2 2

选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力,考查化归与转 化思想.满分 7 分.

| a + b| +c 解:(1)因为 f (x) =| x + a | +| x + b | +c ? | (x a) - (x + b) | +c =
当且仅当\ 时,等号成立

又 a > 0, b > 0 ,所以 | a + b |= a + b ,所以 f (x) 的最小值为 a + b + c , 所以 a + b + c = 4

- 12 -

- 13 -


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