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掌握双曲线的概念性质和应用 新模板


个性化教学辅导教案
学科: 数学 姓名 任课教师: 年级 授课时间: 2015 年 月 性别 女 日 ( 星期天) 第_ 4 课

教学 掌握双曲线的概念性质和应用 课题 教学 目标 1.双曲线的定义. 2.双曲线的性质和应用.

标准方程(焦点在 x 轴) 双曲线

标准方程(焦点在 y 轴)

r />x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

第一定义: 平面内与两个定点 F (小于 F1 F2 ) F2 的距离的差的绝对值是常数 1, 的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距。

?M MF ? MF
1

2

? 2a? ?2a ? F1F2 ?
y

P

y
x

y

y

x
P

F2
x

F1
教 学 过 程
定义

F2 F1

x

第二定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e , 当e ?1 时,动点的轨迹是双曲线。定点 F 叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的 准线,常数 e ( e ? 1 )叫做双曲线的离心率。

P

y

y

P
x

P

x
P

y F2
y x

F1

F2 F1

x

范围 对称轴

x ? a , y?R

y ?a,x?R

x 轴 , y 轴;实轴长为 2a ,虚轴长为 2b

1

对称中心

原点 O (0, 0)

F1 (?c,0)
焦点坐标

F2 (c,0)

F1 (0, ?c)

F2 (0, c)

焦点在实轴上, c ? a2 ? b2 ;焦距: F 1F 2 ? 2c 顶点坐标 离心率 ( ? a ,0) ( a ,0) (0,

? a ,) (0, a )

e?

c (e ? 1), c 2 ? a 2 ? b2 , e 越大则双曲线开口的开阔度越大 a
a2 c
y?? a2 c
2

x??

准线方程

准线垂直于实轴且在两顶点的内侧;两准线间的距离: 2a
c
a 顶点 A 1 ( A2 )到准线 l1 ( l 2 )的距离为 a ?
2 2

顶点到准线的 距离

c

a 顶点 A ?a 1 ( A2 )到准线 l 2 ( l1 )的距离为 c
a b 焦点 F ? 1 ( F2 )到准线 l1 ( l 2 )的距离为 c ? c a 焦点 F ?c 1 ( F2 )到准线 l 2 ( l1 )的距离为 c
2
2 2

焦点到准线的 距离 渐近线方程 共渐近线的双 曲线系方程

c

y??

b 虚 x ( ) a 实

x??

b y a

(虚) 实

x2 y2 ? ? k (k ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? k(k ? 0) a2 b2

x2 y2 双曲线 2 ? 2 ? 1 与直线 y ? kx ? b 的位置关系: a b
直线和双曲线 的位置

? x2 y2 ?1 ? ? 利用 ? a 2 b 2 转化为一元二次方程用判别式确定。 ? y ? kx ? b ?
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦 AB 的弦长 AB ? 1 ? k 2 (x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 通径: AB ? y2 ? y1

过双曲线上一 点的切线

x0 x y 0 y ? 2 ? 1 或利用导数 a2 b

y0 y x0 x ? 2 ? 1 或利用导数 a2 b

等轴双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)当 a ? b 时称双曲线为等轴双曲线 a2 b2
2

1。 a ? b ; 2。离心率 e ?

2;

3。两渐近线互相垂直,分别为 y= ? x ; 4。等轴双曲线的方程 x 2 ? y 2 ? ? , ? ? 0 ; 5。 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。 共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,通常称 它们互为共轭双曲线。 共轭双曲线有共同的渐近线; 共轭双曲线的四个焦点共圆; 它们的离心率的倒数的 平方和等于 1 。 【课前热身】 1.双曲线 mx2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 2. 方程

y2 x2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的范围是 k ?3 k ?3

3.已知中心在原点,焦点在 y 轴的双曲线的渐近线方程为 y ? ?

1 x ,则此双曲线的离心率为 2

6 4. 已知焦点 F 1 , F2 的距离差的绝对值等于 ,则双曲线 1 (5,0), F 2 (?5,0) ,双曲线上的一点 P 到 F
的标准方程为

【题型范例】 题型一 双曲线定义的应用

已知定点 A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以 C 为一个焦点作过 A,B 的椭圆,求另一 焦点的轨迹方程.

练习 1.如图所示, F 为双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,双曲线 C 上的点 Pi 与 P7?i ?i ? 1,2,3? 关 9 16

于 y 轴对称,则 P 1F ? P 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6 F 的值是( )

3

A.9

B.16
2

C.18

D.27

2.设 P 为双曲线 x ? 的面积为 A. 6 3 (

y2 ? 1 上的一点 F1、 F2 是该双曲线的两个焦点, 若|PF1|: |PF2|=3: 2, 则△PF1F2 12
) B.12 C. 12 3 D.24

知识点二 求双曲线的标准方程 x2 y2 设双曲线与椭圆 + =1 有相同的焦点, 且与椭圆相交, 一个交点 A 的纵坐标为 4, 27 36 求此双曲线的标准方程.

1. 2.

2 2 3 练习 1.已知双曲线 x ? y ? 1 的离心率 e ? 2 3 ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距离是 . 2 2 2 3 a b

求双曲线的方程;

2.已知双曲线的渐近线方程是

y??

x 2 ,焦点在坐标轴上且焦距是 10,则此双曲线的方程为

知识点三

双曲线几何性质的简单应用 已知双曲线渐近线的方程为 2x± 3y=0.

4

(1)若双曲线经过 P( 6,2),求双曲线方程; (2)若双曲线的焦距是 2 13,求双曲线方程; (3)若双曲线顶点间的距离是 6,求双曲线方程.

知识点四

求双曲线的离心率

3 (1)已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的离心率为________; 4 x2 y2 (2)设双曲线 2- 2=1(b>a>0)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0)、(0,b)两点.已知原点到直线 l a b 3 的距离为 c,则双曲线的离心率为________. 4 知识点五 直线与双曲线 x2 y2 直线 l 在双曲线 - =1 上截得的弦长为 4,其斜率为 2,求直线 l 在 y 轴上的截距 3 2

m.

练习 已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程.

知识点六

双曲线的应用

已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线 C 交于不同的两点 M、N,且线段 MN 的垂直平分线过点 A(0,-1),求实数 m 的取值范围.

5

练习 1. 已知直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1交于 A 、 B 点。 (1)求 a 的取值范围;(2)若以 A B 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值; (3)是否存在这样的实数 a ,使 A 、 B 两点关于直线 y ? 若不存在,说明理由。

1 x 对称?若存在,请求出 a 的值; 2

x2 2.设双曲线 C: 2-y2=1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A、B. a (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; → 5→ (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且PA= PB,求 a 的值. 12

【课堂练习】

x2 y2 ? ? ?1 的渐近线方程为 1.双曲线 2 4
0) , (4, 0) ,则双曲线方程为 2.已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 (?4,
3.已知双曲线的两个焦点为 F1 (? 5 ,0) , F2 ( 5,0) ,P 是此双曲线上的一点,且 PF1 ? PF2 ,

| PF1 | ? | PF2 |? 2 ,则该双曲线的方程是
4. 设 P 是双曲线

x 2 y2 - =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 , F1 、 F2 分别是 a2 9

6

双曲线左右焦点,若 PF1 =3,则 PF2 =

x2 y 2 ? ? 1 共焦点且过点 (3 2, 2) 的双曲线的方程 5.与椭圆 25 5
6. (1)求中心在原点,对称轴为坐标轴经过点 P?1 , ? 3? 且离心率为 2 的双曲线标准方程. (2)求以曲线 2 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 10 ? 0 和 y 2 ? 2 x ? 2 的交点与原点的连线为渐近线,且实轴长为 12 的双曲线的标准方程.

7.设双曲线

x2 y2 ? ? 1 (0 ? a ? b) 的半焦距为 c , 直线 l 过 (a , 0) 、(0 , b) 两点, 且原点到直线 l 的 a2 b2

距离为

3 c ,求双曲线的离心率. 4

8.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1 , F2 在坐标轴上,离心率为 2 ,且过点 4, ? 10 . (1)求双曲线方程;(2)若点 M ? 3, m? 在双曲线上,求证: MF 1 ? MF 2 ?0; (3)对于(2)中的点 M ,求 ?F1MF2 的面积.

?

?

???? ? ???? ?

【家庭作业】 1.实轴长为 4 5且过点 A(2,-5)的双曲线的标准方程是( ) x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 20 16 20 16 16 20 16 20 x2 y2 2.如果双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直,则双曲线的离心率为( ) a b A. 2 B.2 C. 3 D.2 2 x2 y2 3.双曲线与椭圆 + =1 有相同的焦点,它的一条渐近线为 y=x,则双曲线方程为( 16 64 A.x2-y2=96
2

)

B.y2-x2=160

C.x2-y2=80

D.y2-x2=24

x 4.F1、F2 为双曲线 -y2=-1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且∠F1PF2=90° ,则△F1PF2 4 的面积是( A.2 )
2 2

B.4

C.8

D.16 )

x y 5.若方程 + =1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是( |k|-2 5-k
7

A.k<-2,或 2<k<5 B.-2<k<5 C.k<-2,或 k>5 D.-2<k<2,或 k>5 x2 y2 3 6.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为 y=± x,若顶点到渐近线的距离为 a b 3 1,则双曲线方程为____________. 7.已知圆 C:x2+y2-6x-4y+8=0.以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶 点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为____________. 8.如图,已知定圆 F1:x2+y2+10x+24=0,定圆 F2:x2+y2-10x+9=0,动圆 M 与定圆 F1、 F2 都外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.

课后 巩固 签字 课后 记 教学主任: 学生:

8


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