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高考经典物理模型:电磁学导棒问题


电磁学导棒问题归类分析
高考物理试卷和理科综合试卷,电磁学的导棒问题复现率很搞,且多为分值较大 的计算题.为何导棒问题频繁复现,原因是:导棒问题是高中物理电磁学中常用的最典 型的模型,常涉及力学和热学问题,可综合多个物理高考知识点.其特点是综合性强、 类型繁多、物理过程复杂,有利于对学生综合运用所学的知识从多层面、多角度、全方 位分析问题和解决问题的能力考查;导棒问题是高考中的重点、难点、热点、焦点问题. 导棒问题在磁场中大致可分为两类:一类是通电导棒,使之平衡或运动;其二是导 棒运动切割磁感线生电.运动模型可分为单导棒和双导棒. (一)通电导棒问题 通电导棒题型,一般为平衡和运动型,对于通电导棒平衡型,要求考生用所学物体 的平衡条件(包含∑F=0,∑M=0)来解答,而对于通电导棒的运动型,则要求考生用所学 的牛顿运动定律、动量定理以及能量守恒结合在一起,加以分析、讨论,从而作出准确 地解答. 例 1:如图(1-1-1)所示,相距为 d 的倾角为α 的光滑平行导轨(电源ε 、r 和电阻 R 均已知)处于竖直向上的匀强磁场 B 中,一质量为 m 的导棒恰能处于平衡状态,则该磁

y
α N Ncos B

场 B 的大小为

; B 由竖直向上逐渐变成水平向左的 当 .上

过程中,为保持棒始终静止不动,则 B 的大小应是

b Nsin α FB α mg h
图(1-1-2)

x

述过程中,B 的最小值是

. 分析和解:此题主要用来考查考生对物

B R ε r

a α

b α
图(1-1-1)

体平衡条件的理解情况,同时考查考生是否 能利用矢量封闭三角形或三角函数求其极值

h

的能力.

将图(1-1-1)首先改画为从右向左看的侧面图,如图(1-1-2)所示,分析导棒受力,并 建立直角坐标系进行正交分解,也可采用共点力的合成法来做. 根据题意∑F=0,即∑Fx=0;∑Fy=0;∑Fx=FB–Nsinα =0 ①

N α FB= > = h

N α
FB

tg? ?
∑Fy=Fcosα –mg=0 ②,①/②得:

FB mg ③

mg mg 图(1-1-3)

由 安 培 力 公 式 FB=BId ④ ; 全 电 路 区 姆 定 律

I?

?
R ? r ⑤,
B? mgtg ( R ? r ) ? ? ?d

联立③④⑤并整理可得

(2)借助于矢量封闭三角形来讨论,如图(1-1-3)在磁场由竖直向上逐渐变成水平的过 程中, 安培力由水平向右变成竖直向上, 在此过程中, 由图(1-1-3)看出 FB 先减小后增大, 最终 N=0,FB=mg,因而 B 也应先减小后增大.
sin? ? FB mg

(3)由图(1-1-3)可知,当 FB 方向垂直于 N 的方向时 FB 最小,其 B 最小,故

I? mg sin? ? B d R?r ③ , 联 立 ① ② ③ 可 得 R?r , 即 ① , 而 FB ? BId ② ,
Bmin ? mg sin? ( R ? r ) Bd

?

?

评析:该题将物体的平衡条件作为重点,让考生将公式和图象有机地结合在一起, 以达到简单快速解题的目的,其方法是值得提倡和借鉴的. (二)棒生电类: 棒生电类型是电磁感应中的最典型模型、生电方式分为平动切割和转动切割,其模 型可分为单导棒和双导棒.要从静态到动态、动态到终态加以分析讨论,其分析动态是 关键.对于动态分析,可从以下过程考虑:闭合电路中的磁通量发生变化 ? 导体产生 感应电流 ? 导体受安培力和其他力作用 ? 导体加速度变化 ? 速度变化 ? 感应电流变 化 ? 周而复始地循环最后加速度减小至零 ? 速度达到最大 ? 导体做匀速直线运动. 我 们知道,电磁感应现象的实质是不同形式能量的转化过程,因此,由功能观点切入,分 清楚电磁感应过程中能量转化关系,往往是我们解决电磁感应问题的关键,当然也是我 们处理这类题型的有效途径. 1、单导棒问题 例 1:(2001 年全国高考试题)如图(2-1-1)所示,一对平行光滑轨道放置在水平面上, 两轨道间距 L=0.20m,电阻 R=1.0Ω ;有一导棒静止地放在轨道上,与两轨道垂直,棒及 轨道的电阻皆可忽略不计,整个装置处于磁感应强度 B=0.50T 的匀强磁场中,磁场方向 垂直轨道面向下.现用一外力 F 沿轨道方向拉棒,使之做匀加速运动,测得力 F 与时间

t 的关系如图(2-1-2)所示.求棒的质量 m 和加速度 a. 分析和解:此题主要用来考查学生对基本公式掌握的情况,是

a

×××× × ×L × R × F ×××× b f 图(2-1-1)

否能熟练将力电关系式综合在一起, 再根据图象得出其 a 和 m 值. 从 图中找出有用的隐含条件是解答本题的关键. 解法一:导棒在轨道上做匀加速直线运动,用 v 表示其速度,t 表示时间, 则有 v=at ①, 棒切割磁感线, 产生感应电动势 ? ? BLv ②,
I?

?
R ③,杆所受安培力 FB=BIL ④,再由

在棒、轨道和电阻的闭合电路中产生感应电流

牛顿第二定律∑F=ma 故 F–FB=ma ⑤,联立求解①~⑤式得 两点代入⑥式,可得 a=10m/s2,m=0.1kg.

F ? ma ?

B 2 L2 at R ⑥.在图线上取

解法二:从 F–t 图线可建立方程 F=1+0.1t ①,棒受拉力 F 和安培力 FB 作用,做匀 加速直线运动, 其合力不随时间 t 变化, 并考虑初始状态 FB=0, 因而 FB 的大小为 FB=0.1t ②, 再由牛顿第二定律:∑F=ma 有 F–FB=ma ③,联立①②③可得 ma=1 ④.又∵FB=BIL ⑤,而
I?

?
R ⑥, ? ? BLv ⑦,联立⑤⑥⑦得
a? 0.1R B L
2 2

FB ?

B 2 L2 v B 2 L2 at FB ? R ⑧,而 v=at,故 R ⑨,②/
m? 1 ? 0.1kg a .

?

0.1?1.0 (0.50) ? (0.20)
2 2

? 10(m / s 2 )

⑨得:

⑩,再由④与⑩式得

评析:解法一采用了物理思维方法,即用力学的观点,再结合其 F-t 图象将其所求 答案一一得出.解法二则采用了数学思维方法,先从 F-t 图象中建立起相应的直线方程, 再根据力学等知识一一求得,此解法不落窠臼,有一定的创新精神.我们认为,此题不 愧为电磁学中的经典习题,给人太多的启发,的确是一道选拔优秀人才的好题. 例 2:如图(2-1-2)所示,两根竖直放置在绝缘地面上的金属框架上端接有一电容量 为 C 的电容器,框架上有一质量为 m,长为 L 的金属棒,平行于地面放置,与框架接触 良好且无摩擦,棒离地面的高度为 h,磁感应强度为 B 的匀强磁场与
c

框架平面垂直,开始时电容器不带电,将棒由静止释放,问棒落地时
××× ××× h ××× 图(2-1-2)

的速度多大?落地时间多长? 分析和解:此题主要用来考查考生对匀变速直线运动的理解,这

种将其电容和导棒有机地综合在一起,使之成为一种新的题型.从另一个侧面来寻找电 流的关系式,更有一种突破常规思维的创新,因而此题很具有代表性. 经分析,导棒在重力作用下下落,下落的同时产生了感应电动势.由于电容器的存 在,在棒上产生充电电流,棒将受安培力的作用,因此,棒在重力作用和安培力的合力 作用下向下运动,由牛顿第二定律∑F=ma,得故 mg–FB=ma ①,FB=BiL ②.

由于棒做加速运动,故 v、a、ε 、FB 均为同一时刻的瞬时值,与此对应电容器上瞬 时电量为 Q=C·ε ,而ε =BLv.设在时间△t 内,棒上电动势的变化量为△ε ,电容器上
i? ?Q ?t

电量的增加量为△Q,显然△ =BL△v ③,△Q=C·△ ε ε
a? ?v ?t

④,再根据电流的定义式

⑤,

⑤′,联立①~⑤′得:

a?

mg m ? B 2 L2 C ⑥

由⑥式可知,a 与运动时间无关,且是一个恒量,故棒做初速度为零的匀加速直线
v? 2mgh m ? B 2 L2 C ⑧,落地时间
? 2h(m ? B 2 L2 C ) mg

运动,其落地速度为 v,则 v ? 2ah ⑦,将⑥代入⑦得:
t? 2h mg

可由

h?

1 2 t? at 2 ,得

2h a ,将⑥代入上式得

m ? B 2 L2 C



评析:本题应用了微元法求出△Q 与△v 的关系,又利用电流 和加速度的定义式,使电流 i 和加速度 a 有机地整合在一起来求 解,给人一种耳目一新的感觉.读后使人颇受启示. 例:如图(2-1-3)所示,倾角为θ =30°,宽度为 L=1m 的足够

B

F

L

a θ
图(2-1-3)

b

长的 U 型平行光滑金属导轨固定在磁感应强度 B=1T,在范围充分大的匀强磁场中,磁 场方向垂直导轨平面斜向上,现用平行导轨、功率恒为 6w 的牵引力 F,牵引一根质量 m=0.2kg、电阻 R=1Ω 放在导轨上的导棒 ab,由静止沿导轨向上移动(ab 棒始终与导轨接 触良好且垂直).当金属导棒 ab 移动 S=2.8m 时,获得稳定速度,在此过程中金属导棒 产生的热量为 Q=5.8J(不计导轨电阻及一切摩擦,g 取 10m/s2) 问(1)导棒达到稳定速度是多大? (2)导棒从静止达到稳定速度所需时间是多少? 分析和解:此题主要用来考查考生是否能熟练运用力的平衡条件和能量守恒定律来

巧解此题.

N FB θ I

F

当金属导棒匀速沿斜面上升有稳定速度 v 时,导棒受力如图 (2-1-4)所示, 由力的平衡条件∑F=0, F–mgsinθ –FB=0 ①, B=BIL 则 F
I?

mg 图(2-1-4)

?
R ③,ε =BLv ④,又∵F=P/v ⑤,由①②③④⑤可得

②,

P B 2 L2 v ? mg sin? ? ?0 2 2 2 2 v R , 整理得 PR ? mg sin?v ? R ? B L v ? 0 , 代入有关数据得 v ? v ? 6 ? 0 ,

解得 v=2m/s,v=–3m/s(舍去).
Pt ? mg sin? ? S ? 1 mv2 ? Q 2 ,代入数据可得 t=1.5s.

(2)由能量转化和守恒

评析:此题较一般电磁感应类型题更能体现能量转化和守恒过程,因此,在分析和 研究电磁感应中的导棒问题时,从能量观点去着手求解,往往更能触及该问题的本质, 当然也是处理此类问题的关键和一把金钥匙. 2、双导棒问题: 在电磁感应现象中,除了单导棒问题外,还存在较多的双导棒问题,这类问题的显 著特征是:两导棒在切割磁感线时,相当于电池的串联或并联,组成闭合回路,而且, 求解此类型问题最佳途径往往从能量守恒、 动量守恒的角度出发, 用发展、 变化的眼光, 多角度、全方位地发散思维,寻求相关物理量和公式,挖掘隐含条件,采用“隔离法” 或“整体法”(系统法)快捷作出解答.因此,双导棒问题更能反映考生的分析问题和解 决问题的能力,特别是方法、技巧、思路均反映在解题中,是甄别考生层次拉大差距的 优秀试题. 例 1:(1993 年全国高考题)如图(2-2-1)所示两金属导棒 ab 和 cd 长均为 L,电阻均为 R,质量分别为 M 和 m,M>m.用两根质量和电阻均可忽略不可伸长的柔软导线将它们 连成闭合回路,并悬挂于水平、光滑、不导电的圆棒两侧,两金属导棒 都处于水平位置,整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中,磁
R a M b

感应强度为 B,若金属导棒 ab 正好匀速向下运动,求运动的速度. 分析和解: 此题主要用来考查考生对力学中的受力分析、 力的平衡、 电磁感应、 欧姆定律和安培力公式的掌握. 此题也可从不同方法去解答.

R m c d 图(2-2-1)

解法一:采用隔离法,假设磁场 B 的方向是垂直纸面向里,ab 杆向下匀速运动的 速度为 v,则 ab 棒切割磁感线产生的感应电动热大小 ? 1 ? BLv ,方向由 a→b,cd 棒以 速度 v 向上切割磁感线运动产生感应电动势大小为 ? 2 ? BLv ,方向由 d→c.回路中的电
i?

?1 ? ? 2
2R

流方向由 a→b→d→c,大小为

?

2BLv ? BLv 2R ①,ab 棒受到安培力向上,cd 棒

受到安培力向下,大小均为 FB 即

FB ? BiL ?

B 2 L2 v R ②,当 ab 棒匀速下滑时,令棒受到的

导线拉力为 T,则对 ab 有 T+FB=mg ③,对 cd 有:T=FB+mg ④,由③④解得 2FB=(M-m)g
(M ? m) gR B 2 L2 v v? ? (M ? m) g 2B 2 L2 . R ⑤,再由②⑤可得 ,故 2

解法二:采用整体法,把 ab、cd 柔软导线视为一个整体,∵M>m,∴整体动力为 (M–m)g ①,ab 棒向下,cd 棒向上,整体所受安培力与整体动力相等时正好做匀速向下
( M ? m) g ? 2 ( M ? m) gR B 2 L2 v ?v? R 2 B 2 L2 .

运动,则

解法三:采用能量守恒法,将整个回路视为一个整体系统,用其速度大小不变,故 动能不变.ab 棒向下,cd 棒向上运动过程中,因 Mg>mg,系统的重力势能减少,将转
Mgv ? mgv ?
2 ?总

化为回路的电能,电能量转化守恒定律
v? (M ? m) gR 2B 2 L2

2 R ①,而ε



=2ε

②,ε =BLv ③,

联立①②③可得



评析:此题为典型的双导棒在磁场中运动的问题.并且两根棒都切割磁感线产生感 应电动势,对整个回路而言,相当于电池组的串联,整个回路中有电流流过,两棒都受 安培力, 在未达到稳定速度前, 两棒均做变加速运动, 当加速度减为零时, 速度为最大. 从 以上三种解法来看,其解法三更显简便,思维灵活,故该题对考生的考查确实具有针对 性. 例 2:(2001 高考春招试题)如图(2-2-2)所示,两根足够长的固定的平行金属导轨位 于同一水平面内,两导轨间距为 L.导轨上面横放着两根导体棒 ab 和 cd,构成矩形回 路.两根导体棒的质量皆为 m,电阻皆为 R,回路中其余部分的电阻可不计.在整个导

轨平面内都有竖直向上的匀强磁场,磁感应强度为 B.该两导体棒可沿导轨无摩擦地滑 行.开始时,棒 cd 静止,棒 ab 有指向棒 cd 的初速度度 v0,若两导体棒在运动中始终 不接触,求:

b L a

B d B v0 c 图(2-2-2)

(1)在运动中产生的焦耳热最多是多少?
3 (2)当 ab 棒的速度变为初速度的 4 时,cd 棒的加速度是多少?

分析和解:此题主要用来考查考生对双棒运动的动态分析和终态推理以及两个守恒 定律的熟练掌握情况.此题是一道层次较高的典型水平面双棒试题. ab 棒向 cd 棒运动时,ab 棒产生感应电动势,由于通过导轨和 cd 棒组成回路,于 是回路中便产生感应电流,ab 棒受到与运动方向相反的安培力作用做减速运动,而 cd 棒则在安培力作用下做加速运动.在 ab 棒的速度大于 cd 棒的速度时,回路中总有感应 电流,ab 棒继续减速,cd 棒继续加速,而棒速度达到相同后,回路面积保持不变,磁 通量不变化,即不产生感应电流,两棒的相同的速度 v 做匀速直线运动. (1)从初始至两棒达到速度相同的过程中,两棒组成的系统动量守恒,则有 mv0=2mv
1 2 1 1 2 mv0 ? (2m)v 2 ? Q Q ? mv0 2 4 ①,再根据能量守恒 2 ②,联立①②两式得: . 3 (2)设 ab 棒的速度变为初速的 4 时,cd 棒的速度为 v′,则再次由动量守恒定律可 3 mv0 ? m v0 ? mv' 4 知 I?

? ? ( v0 ? v' ) BL 4 ③, 此时回路中的感应电动势和感应电流分别是:
a? FB m ⑦,联立 ①~

3

?
2 R ⑤,此时 cd 棒所受安培力 FB=BIL ⑥,cd 棒的加速度
B 2 L2 v 0 4 mR .

④,

⑦得

a?

评析:此题将分析双棒的初态、过渡态、终态以及整个过程的运动情况,各个物理 量的变化情况和动量守恒、能量守恒天然联系在一起,确实达到了命题人综合考查考生 各方面分析问题和解决问题能力的目的.充分体现了命题专家以综合见能力的命题意 图,即“着眼综合、立足基础、突出能力. ”此题的确是一道经典考题.

通过对以上高考例题的分类处理、解析,从中发现,电磁学中的导棒问题内涵的确 丰富、灵活、新颖,涉及面广、易于拓展和延伸,的确不愧为电磁学中的精华部分.高 考试题是经典题目,通过分析和求解,更能启迪思维和培养各种能力,由于篇幅限制, 此处不能将历年高考导棒试题列出,希望大家收集并加以适当的训练.


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