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高中数学北师大版选修2-2章节复习课件:第二章


北师大版高中数学选修2-2第 二章《变化率与导数》

法门高中姚连省制作 1

一、教学目标:1、认识到平均变化率是刻画物体 平均变化的快慢的量,瞬时变化率是刻画物体在一 个瞬间的变化快慢的量; 2、理解导数概念的实际背景和几何意义,并能用 导数定义计算简单的幂函数的导数。 3、利用导数公式表和运算法则计算基本初等函数 的导数,并能解决简

单的求曲线的切线的问题。 二、教学重点:导数概念的理解和利用导数公式表 和导数运算法则进行简单函数的导数运算 教学难点:利用极限的语言刻画导数概念和讨论导 数的运算法则 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程
2

知识提要: 1.导数的概念: (1)已知函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增 量⊿x,那么函数y相应地有增量 ⊿y=f(x0+⊿x)-f(x0),比值 ? x 就叫做函数y=f(x) 在x0到x0+⊿x之间的平均变化率; (2)当⊿x→0时, ? x 有极限,就说函数y=f(x) 在x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在x0处的导 数(或变化率),记作
f ( x 0 ) ? lim
/

?y

?y

?y ?x

?x? o

? lim

f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x

?x? o

? lim

f (x) ? f (x0 ) x ? x0


3

x ? x0

1.导数的概念:
(3)如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点 都可导,就说y=f(x)在开区间(a,b)内可导,由 这些导数值构成的函数叫做y=f(x)在区间(a,b) 内的导函数,

记作

f ( x)

/



y

/



?x? 0

lim

?y

?x

? lim

f (x ? ?x) ? f (x) ?x

?x? 0



2.求导数的方法:

(1)求函数的增量⊿y;
?y

(2)求平均变化率 ? x ;

(3)求极限

?x? 0

lim

?y ?x



4

3.导数的几何意义:函数y=f(x)在x0处的导数 的几何意义,就是曲线y=f(x)在点(x0,y0)处
的切线的斜率,即斜率为 线方程为:y- y0=
f (x0 )
/

f (x0 )

/

。过点P的切

(x- x0).

导数的物理意义:如果物体的运动规律是 s=s(t),那么物体在时刻t0的瞬时速度v就是位 移s的导数在t0的值, v=
s (t 0 )
/

5

4.几种常见函数的导数:
C '? 0

(

(C为常数); n )' ? nx (x );

n ?1

n?Q

(sin x )' ? cos x


(ln x )' ? 1 x

(cos x )' ? ? sin x
1 x
x


e

(log

a

x )' ?

log

a


x



( e )' ? e
x

x

( a )' ? a ln a





6

5.导数的四则运算法则:
[ u ( x ) ? v ( x )] ? u ( x ) ? v ( x )
' ' '

[ u ( x ) v ( x )]? ? u '( x ) v ( x ) ? u ( x ) v '( x )

[ C u ( x )]? ? C u '( x )
u 'v ? uv ' ?u ? ? ? ? 2 v ? v ?
'

(v ? 0 )
7

6.复合函数的导数:设函数u= ? (x)在点x处 有导数u′x= ? ′(x),函数y=f(u)在点x的对应 点u处有导数y′u=f′(u),则复合函数y=f( ? (x)) 在点x处也有导数,且 y ' x ? y 'u ?u ' x 或 f′x( ? (x))=f′(u) ? ′(x).

例题探析
例1、求下列函数的导数: ⑴
y ? x
3

? x x

3 2

? ln x


?
4 )

y ? x ( x ? 3 )( x ? 3 )
2



y ? x 1 ? sin 2 x , x ? ( 0 ,

⑷ y ?

e

2 x ?1 3
8

(1 ? 3 x )

解:(1)∵

y? ? ? 1 2
? 3 2

y ?
1
2

x

3

? x ? ln x
3

x
x ?1? x x
2
4

2

? x
? 3 2

?

1 2

? x?

ln x x
2



? x ? ln x ? 2 x ? ?

1 2

x

?1?

1 ? 2 ln x x
3



(2)∵ ∴
(3)∵ y

y ? x ( x ? 3 )( x ? 3 ) ? x ? 9 x
4
3

2

y ? ? 4 x ? 18 x
? x 1 ? sin 2 x ? x (sin x ? cos x )
2

? x sin x ? cos x

? 又∵ x ? ( 0 , ,∴ sin x ? cos x ∴y ? x (cos x ? sin x ) ) 4 ∴ y ? ? 1 ? (cos x ? sin x ) ? x ? ( ? sin x ? cos x ) ? (1 ? x ) cos x ? (1 ? x ) sin x 。
9

(4)? ? y

(e

2 x ?1

) ?(1 ? 3 x ) ? e
3

2 x ?1 3 2

[( 1 ? 3 x ) ] ?
3

[( 1 ? 3 x ) ]

?

2e

2 x ?1

(1 ? 3 x ) ? e
3

2 x ?1

? 3 (1 ? 3 x ) ? ( ? 3 )
2 6

(1 ? 3 x )

?

e

2 x ?1

(11 ? 6 x )
4

(1 ? 3 x )

y 例2、已知曲线C1:



? x

2

y 与曲线C2: ? ? ( x ? 2 )

2

,直线l与C1、C2都相切,求直线l的方程。


解:设l与C1相切于点 P1 ( x 1 , y 1 ) ,l与C2相切于点 P2 ( x 2 , y 2 ) ,直线l的斜率为k。C1:y ? x 2 y ? ? 2 , k ? 2 , P ( k , k ) x , x1 2 4 2 C2: y ? ? ( x ? 2 ), y ? ? ? 2 ( x ? 2 ) , ? ? 2 ( x ? 2 ) , k
2 1

P2 ( 2 ?

k 2

,?

k

2

k

2

4

。由斜率公式得
)

? (? ? (2 ?

k

2

2

) ? k )

4 k 2

4 k 2

k ,解得: ? 0或 k ? 4
10

当 k ? 0 时, ( 0 , 0 ) ,l的方程为 y ? 0 ; P1 当k ? 4 时, ( 2 , 4 ) ,l的方程为 y ? 4 x ? 4 。 P1 例3、已知 f ( x ) ? ax ? bx ? cx ( a ? 0 ) 在
3 2

x ? ?1

处的导数等于0,且 f (1) ? ? 1 ,求a,b,c的值。 解: x ? ? 1 是方程 f ?( x ) ? 0 的根,即
3 ax
2

? ? 2 bx ? c ? 0 的两根, ?

又 f (1) ? ? 1 ,∴ a ? b ? c ? ? 1
a ? 1 2 , b ? 0, c ? ? 3 2

③由①②③得
11

? 0 ? ? 3a ? ? c ? ?1 ? 3a ?

2b



① ②

【课堂小结】
1 . 了解导数的概念,初步会用定义式解决 一些问题; 2. 会用定义式求导数; 3. 了解导数的几何意义; 4. 掌握常见函数的导数公式,并会正确运 用; 掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导 法则。
12

练习:课本 P53 复习题:A组1、2、3、4. 作业:课本 P53 复习题:A组 5; B组2 五、教后反思:

13


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